2022年常微分方程试题库试卷库3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载常微分方程期终考试试卷 1 一、填空题（ 30%）；1、方程 M x y dx N x y dy 0 有只含 x 的积分因子的充要条件是（有只含y的积分因子的充要条件是 _；、 _称为黎卡提方程,它有积分因子_；、 _称为伯努利方程,它有积分因子_；、如 X 1 , X 2 , , X n 为 n 阶齐线性方程的是_ ；、形如 _的方程称为欧拉方程；n 个解, 就它们线性无关的充要条件 、 如 t和 t都 是x A t x 的 基 解 矩 阵 , 就 t和 t具 有 的 关 系 是_ ；、当方程的特点根为两个共轭虚根是,就当其

2、实部为 的奇点称为 _；二、运算题（）_时,零解是稳固的,对应1、ydxx2y3dy0Ax 的解、xxsint1cos2tA1 , 0并求 expAt 14试求方程组 x2、如、dy34xydy8y20、求方程dyxy2经过（ 0,0）的第三次近dxdxdx似解名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 求dxxy1,dyx精品资料欢迎下载. y5dtdt的奇点 , 并判定奇点的类型及稳固性三、证明题（）、 n 阶齐线性方程肯定存在n 个线性无关解；常微分方程期终试卷 2 一、填空题 30% 1、 形如 _的方程,称为

3、变量分别方程,这里.fx.y分别为x.y的连续函数；名师归纳总结 2、 形 如 _ 的 方 程 , 称 为 伯 努 利 方 程 , 这 里Px .Qx 为x的 连 续 函第 2 页,共 21 页数.n0.1 是常数；引入变量变换,可化为线性方程；3、 如果存在常数L0,使得不等式_对于所有（x,y 1,x,y2R 都成立,L称为利普希兹常数；函数fx,y称为在 R上关于y 满意利普希兹条件；4、 形如 _- 的方程,称为欧拉方程,这里a1a2,是常数；5、 设t 是xAx的基解矩阵,t是xAtxft的某一解,就它的任一解t可表为_- ；一、运算题40% 1. 求方程dy6yxy2的通解；2.求

4、程dyyexy的通解；dxxdxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 求方程x6x 5xe2t精品资料欢迎下载的隐式解；4. 求方程dyxy2通过点（0、）的第三次近似解；dx二、证明题 30% t2tx =0 21 2x,x=x1,在任何不包含原点的区间x21. 试验证t =2 t1是方程组t2tatb上的基解矩阵；n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E）,证明 : 2. 设t 为方程x =Ax（A 为 n名师归纳总结 t1t0 =t- t0 其中 t 0 为某一值 . 第 3 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - -

5、- - - - - - - 精品资料 欢迎下载常微分方程期终试卷 3 一 . 解以下方程 10%*8=80% y =2xyy212dyy-xy23. 2. dx=6 x y-x2 x +2 y dx-xdy=0 4. xy =x2y2+y 6. 8. 已知 fxxftdt=1,x0, 试求函数 fx的一般表达式；0二 证明题 10%*2=20% 19. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,假如 M、N试同齐次函数, 且 xM+yN0, 就xMyN是该方程的一个积分因子；常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分别方程, 它有积分因子 0；、当（）时,方程Mx,ydxNx,y dy称

6、为恰当方程,或称全微分方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 、函数fx ,y 精品资料欢迎下载）；称为在矩形域上关于y 满意利普希兹条件,假如（、对毕卡靠近序列,k x k 1x ；、解线性方程的常用方法有（）；、如 X i t i ,1 ,2 , n 为齐线性方程的 n 个线性无关解,就这一齐线性方程的全部解可表为（）；、方程组 x A t x（）；、如 t 和 t 都是 x A t x 的基解矩阵, 就 t 和 t 具有关系：（）；、当方程组的特点根为两个共轭虚根时,就当其实部（应的奇点称为（）；、当方程组的

7、特点方程有两个相异的特点根时,就当（）时,零解是稳固的,对）时,零解是渐近稳固的,对应的奇点称为（tx）；当（xA t）时,零解是不稳固的,对应的奇点称为（）；xft满 足x 0t的 解 、 如t是xA 的 基 解 矩 阵 , 就（）；二、运算题求以下方程的通解；dy4 eysinx1；00,的第三次近似解；、dxy21dy dx21、；、求方程dyxy2通过dx求解以下常系数线性方程；、xxx0；并通过变换将奇点变为原点,进一步判定奇点的类型及稳固性：、xxte；试求以下线性方程组的奇点,、dxxy,.dyxy5；dtdt三、证明题；、设t 为方程xAx（为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即d

8、x0E ,证明t1t0 tt0其中0t为某一值；, 其 通 解 为常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题（ 30 分）1 dyPx yQx称 为 一 阶 线 性 方 程 , 它 有 积 分 因 子ePxdx_ ；名师归纳总结 2函数fx,y称为在矩形域R 上关于y满意利普希兹条件,假如 _ ；第 5 页,共 21 页3 如nx_ ；x 为毕卡靠近序列nx 的极限,就有x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4方程dyx2y2定义在矩形域精品资料2x欢迎下载y2上,就经过点（0, 0）的解R:2 ,2dx的存在区间是 _ ；t t 2 t5函数组 e ,

9、e , e 的伏朗斯基行列式为 _ ；6如 xi t i ,1 ,2 , n 为齐线性方程的一个基本解组,x t 为非齐线性方程的一个特解,就非齐线性方程的全部解可表为 _ ； 7如 t 是 x A t x 的基解矩阵,就向量函数 t = _是 x A t x f t 的满足初始条件 0t 0 的解；向量函数 t = _ 是 x A t x f t 的满意初始条件 0t 的解；8如矩阵 A 具有n个线性无关的特点向量 v 1 , v 2 , , v n,它们对应的特点值分别为1 , 2 , n,那么矩阵 t = _ 是常系数线性方程组 x Ax 的一个基解矩阵；9满意 _ 的点 x * y *

10、,称为驻定方程组；二运算题（60 分）2 2 310求方程 4 x y dx 2 x y 1 dy 0 的通解；dydye dx x 011求方程 dx 的通解；dy 2 2x ydx12求初值问题 y 1 0 R : x 1 ,1 y 1 的解的存在区间, 并求其次次近似解,给出在解的存在区间的误差估量；13求方程x9x,tsin3 t的通解；.x2y5的奇点, 并判定奇点的类型及稳固14试求方程组xAxf t的解t011A12,ftte43115试求线性方程组dx2x7y19,dydtdt性；三证明题（10 分） 0t的解, 那么 texpA t0t 16假如t 是xAx满意初始条件常微分

11、方程期终考试试卷6 三 填空题（共 30 分, 9 小题, 10 个空格,每格3 分）；1、 当_时,方程 Mx,ydx+Nx,ydy=0称为恰当方程,或称全名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载微分方程；2、_称为齐次方程；dydx3、求 =fx,y 满意 x 0 y 0 的解等价于求积分方程 _的连续解；dyf x , y 4、如函数 fx,y 在区域 G内连续, 且关于 y 满意利普希兹条件,就方程 dx 的解y= x , x 0y 0 作为 x , x 0, y 0 的函数在它的存在范畴内是

12、_；5、如 x 1 t , x 2 t ,. x 3 t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解,就它们线性无关的充要条件是_ ；6、方程组x/A tx的 _称之为x/A tx的一个基本解组；7、如t是常系数线性方程组x/8、满意 _的点（Ax 的基解矩阵,就 expAt =_ ；x * , y *）,称为方程组的奇点；9、当方程组的特点根为两个共轭虚根时,就当其实部_时,零解是稳固的,对应的奇点称为_；二、运算题（共6 小题,每题10 分）；1、求解方程：dy=xy1xy23dx2、 2、解方程： 2x+2y-1dx+x+y-2dy=0 名师归纳总结 dy31第 7 页,共 21 页3、争论方程d

13、x2y 在怎样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件,并求通过点（0,0）的一切解x/2x/3xet cost4、求解常系数线性方程：5、试求方程组x/Ax的一个基解矩阵,并运算eAt,其中 A 为12436、试争论方程组dxaxby,dycy（1）的奇点类型,其中a,b,c为常数,且dtdtac0；三、证明题（共一题,满分10 分）；试证：假如（t）是x/Ax满意初始条件 0t的解,那么tA et0t常微分方程期终试卷7 一、挑选题 1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（C）n+1 （D）n+2 （）个（A）n（B）n-1 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A

14、）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 方程d y1y2过点2,1 精品资料欢迎下载d x共有（）个解（ A）一（B）很多1（C）两（D）三y0d yyxx（）奇解（D）有很多个4方程d x（A）有一个（B）有两个（ C）无d yy的奇解是（）y1（D）5方程d x（A）yx（B）y（C）二、运算题1.xy =x2y2+y 2.tgydx-ctydy=0 3. x2ydxxd y004. dyy1lnx d ydxxy xd xy35.三、求以下方程的通解或通积分1.yd yd xx 1y22. dyyy

15、x2dxxdy3ye2x3. dx四证明1. 设y 1x ,y2x是方程x在,上连续,ypxyqxy0的解,且满意y 1x 0=y 2x 0=0 ,y1x 0,这里px,qx 0,试证明：存在常数C使得y2 x=Cy 1 x ,上连续求证：该2在方程ypxy q x y 0 中,已知 p x xoy平面上不能与 x 轴相切,qx在方程的任一非零解在常微分方程期终试卷8 名师归纳总结 一、填空（每空3 分）称为一阶线性方程, 它有积分因子,第 8 页,共 21 页1、其通解为fx,y称为在矩形域；R上关于y满意利普希兹条件,假如2、函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

16、- - - - 精品资料 欢迎下载；名师归纳总结 3、如x 1 t,x 2 t,x n t为n阶齐线性方程的n 个解,就它们线性无关的充要条件第 9 页,共 21 页是；4、形如的方程称为欧拉方程；5、如t 和t都是xAtx的基解矩阵, 就t 和t 具有的关系：；6 、 如 向 量 函 数g t;y在 域 R 上, 就 方 程 组dygt;y,t0;t0,y0y0的解存在且惟一；dt7、当方程组的特点根为两个共轭虚根时,就当其实部,零解是稳固的,对应的奇点称为；二、求以下方程的解1、y3 x2 dx4yx dy0（6 分）2、ydxxdyx2y2dx（8 分）3、y2y 1 2y2（8 分）4

17、、dyyexy（8 分）dxx5、x6x5xe2t（6 分）6、xx1t（8 分）sin37、x1（8 分）2x三、求方程组的奇点,并判定奇点的类型和稳固性（8 分）dx2x7y19 ,dyx2y5dtdt常微分期中测试卷2 一 . 解以下方程 10%*8=80% 1. 1. xy =x2y2+y 2.2. 3. 3. tgydx-ctydy=0 y-x2 x +2 y dx-xdy=0 4. 4. 2xylnydx+2 x +y21y2dy=0 dyy-xy25. dx=6x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. y =2xyy212精品资料欢迎下载

18、7. 已知 fxxftdt=1,x0, 试求函数 fx 的一般表达式；k ）08一质量为 m质点作直线运动, 从速度为零的时刻起, 有一个和时间成正比 （比例系数为的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比（比例系数为k ）；试求此质点的速度与时间的关系；二 证明题 10%*2=20% 1. 证明：假如已知黎卡提方程的一个特解,就可用初等方法求得它的通解；12 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中,假如 M、N试同齐次函数, 且 xM+yN0, 就xMyN是该方程的一个积分因子；My xMyN M x M2 xM yN yNyNy Nx xMyN N x M xM yN x

19、MyNx常2常微分方程期终试卷9 一、填空题（每道题 5 分,此题共 30 分）d y xy sin x e1方程 d x 的任一解的最大存在区间必定是2方程 y 4 y 0 的基本解组是3向量函数组 Y 1 x , Y 2 x , , Y n x 在区间 I 上线性相关的 _条件是在区间 I 上它们的朗斯基行列式 W x 04李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件5n阶线性齐次微分方程的全部解构成一个 维线性空间6向量函数组 Y 1 x , Y 2 x , , Y n x 在其定义区间 I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式 W x 0,x I二、运算题（每道题 8 分,此

20、题共 40 分）求以下方程的通解名师归纳总结 7. dy3y2e2x0x2yy3d y0第 10 页,共 21 页dx8. 3 xxyd x9eyyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10求方程y5ysin5x精品资料欢迎下载的通解11求以下方程组的通解d xxy0的任意两个解,求证：它们的朗斯基d td y4 xyd t三、证明题（每道题15 分,此题共30 分）12设y1x和y2x是方程yqxy行列式WxC,其中C为常数13设x 在区间,上连续试证明方程的全部解的存在区间必为dy,xsinyd x常常微分方程期终试卷 10 一、填空（ 30 分）名

21、师归纳总结 1、dygy称为齐次方程,dyPxy2QxyRx称为黎卡提方程；第 11 页,共 21 页dxxdx2、假如fx,y在 R 上连续且关于y 满意利普希兹条件,就方程dyfx,y存在唯独的dx解yx, 定 义 于 区 间xx 0h上 , 连 续 且 满 足 初 始 条 件x0y0, 其 中hm in a,b,Mmax x , y Rfx ,y；M3、如xiti1,2, ,n 是齐线性方程的n 个解,wt为其伏朗斯基行列式,就wt满意一阶线性方程w ta 1 tw t0；4、对逼卡靠近序列,kx k1x MLk1xx0k；k.5、如t 和t 都是xA tx的基解矩阵,就t和t具有关系t

22、tC；MN6、方程Mx,ydxNx ,ydy0有只含x的积分因子的充要条件是yNxx；MN有只含y的积分因子的充要条件是yMx y；dyy217、方程dx2经过0,0点的解在存在区间是,；二、运算（ 60 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、 求解方程xdyyx2y4精品资料；欢迎下载 dx0解：所给微分方程可写成xdyydx x2y4dx00c1即有dxy x2y4dx0dxy1dx上式两边同除以xy4,得xy4x2由此可得方程的通解为113xy3x即13x2y3cx3y3c3 1c2、 求解方程yp22 p3x 求导,有y 可解的,两边对解：

23、所给方程是关于p2p6p2dpdx（1）当p0时,由所给微分方程得y0；（2）当dx26pdp时,得x2p3p2c；因此,所给微分方程的通解为名师归纳总结 x2p3p2c,yp22p3（p为参数）t Ae的特解,第 12 页,共 21 页而y0是奇解；3、 求解方程x4x4xt ee2t1解：特点方程2440,122,故有基本解组2 et,te2t,对于方程x4x4xte,由于1不是特点根,故有形如x 1t将其代入x4x4x2 et,得22 Aete2t,解之得A1,2A的特解,对于方程x4x4x1,由于0 不是特点根,故有形如x3 t将其代入x4x4x1,得A1,所以原方程的通解为44、 试

24、求方程组xxte2tc 1c2tet1t2e2 t1,其中24 At,0Axexp的一个基解矩阵,并运算A2112解：pdetEA 0,13,23,均为单根,设1 对应的特点向量为1v,就由1EAv10,得1v 23取1v213,同理可得1对应的特点向量为v2213,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就1 te3 tv 1,2te3 tv2精品资料欢迎下载t1t,2t,均为方程组的解,令1 1w 0 det 0 3 0又 2 3 2 3,3 t 3 te e3 t 3 t所以 t 即为所求基解矩阵 2 3 e 2 3 r；dx x y 1dtdy x

25、y 55、 求解方程组 dt 的奇点,并判定奇点的类型及稳固性；x y 1 0 x 2解：令 x y 5 0,得 y 3,即奇点为（ 2,-3 ）dX X YdtX x 2 dY X Y令 Y y 3,代入原方程组得 dt,1 1 1 1 22 0 2 0由于 1 1,又由 1 1,解得 1 2,2 2 为两个相异的实根,所以奇点为不稳固鞍点,零解不稳固；6、 求方程dyxy2经过（ 0,0）的其次次近似解；dx解：0x 0,1x 0xfx0,dx1x2,022x 0xfx ,1x2dx1x21x5；02220三、证明（ 10 分）假设m不是矩阵 A 的特点值,试证非齐线性方程组名师归纳总结

26、xAxmt ce第 13 页,共 21 页有一解形如其中c,p是常数向量； tmt pe证：设方程有形如tmt pe的解,就p是可以确定出来的；事实上,将pemt代入方程得mt mpeApemtmt ce,由于mt e0,所以mpApec,mEA Pc（1）又m不是矩阵 A 的特点值,detmEA0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 mEA 1存在,于是由（精品资料mE欢迎下载c存在；1）得pA 1故方程有一解tmEA 1ce mtpe mt11 常微分方程期终试卷一填空1称为一阶线性方程,它有积分因子 yx,其通解为；就2称为黎卡提方程,如它有一

27、个特解经过变换,可化为伯努利方程；3如（ x）为毕卡靠近序列nx 的极限,就有（x）nx ；4如 xi t （i=1,2, , n）是齐线形方程的 n 个解, wt 为其伏朗斯基行列式,就 wt满意一阶线性方程；5如 xi t （i=1,2, , n）是齐线形方程的一个基本解组,xt 为非齐线形方程的一个特解,就非齐线形方程的全部解可表为；6假如 At 是 n n 矩阵, ft 是 n 维列向量,就它们在 a t b 上满意时,方程组 x = At x+ ft 满意初始条件 x（t0）= 的解在 a t b 上存在唯独；7如（ t ）和（t ）都是 x = At x 的 基解矩阵,就（t ）与

28、（t ）具有关系：；8如（t ）是常系数线性方程组 x Ax 的 基解矩阵 , 就该方程满意初始条件 t 0 的解 t =_ * *9. 满意 _ 的点（x , y ）,称为方程组的奇点；10 当方程组的特点根为两个共轭虚根时,就当其实部_ 时,零解是稳固的,对应的奇点称为 _ ；二运算题（ 60 分）名师归纳总结 1ydx3xy3dy001并求 expAt 第 14 页,共 21 页2dy4xydy8y20dxdxdyxy2经过（ 0,0）的第三次近似解3求方程xdx4xsintcos2tA21试求方程组 xAx 的解 ,1425如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 求dxxy1,dyx精品资料欢迎下载. y5dtdt的奇点 , 并