2022年高等数学电子教案第三章.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三章 微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理 The Mean Value Theorem 微分中值定理是微分学的核心,她具有特别广泛的应用,是争论函数性态的有力工具；本节介绍三大中值定理；一 罗尔中值定理：1 极值的定义： 设fx在区间 I 上有定义,x0fI且存在Ux 0I,对任意xUx 0,fx fx 0fx fx0,就称x 是x的极大值点（微小值点）；fx 0是极大值（微小值） ,通称为极值；注：极值和最值的本质区分：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）极值只可能在定义域的内部取

2、到,而最值可能在内部,也可能在端点处取到；极值不是唯独的,最值（假如存在）就肯定是唯独的；极值不肯定是最值,最值也不肯定是极值,当最值在定义域内部取到时,最值就一 定是极值；名师归纳总结 2 费马引理（ Fermat）：函数fx在区间 I 上有定义,假如第 1 页,共 24 页 1 fx在x 点可导 ; 2 x 是fx的极值点 . 就f x00. 说明：（1）几何意义：fx在x 点存在切线,如 00x 是极值点,就切线是平行于x 轴的；（2）理论证明：只要证明x lim x 0fxfx 00,即fx 0fx00. xx 03驻点：通常把f x 00的点x 称为fx的驻点（临界点、稳固点）驻点不

3、肯定是极值点；如：yx3,x0不是极值点,在该点的两侧单调增加；极值点不肯定是驻点,如：yx,x0是微小值点,但在该点不行导；4罗尔定理 Rolle ：假如函数fx满意 1 a,b上连续；2a,b内可导；3fafb. 就在a,b内至少存在一点,使得f0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载几何意义： 连续光滑曲线 （无缝隙的光滑曲线）如两端点的函数值相等,就在曲线上至少存在一点,使得函数在该点的切线平行于 x轴；或在连接高度相同的两点的一段连续曲线上,假如每一点都有不垂直于 x 轴的切线, 那么曲线上至少有一点的切线是平行于 x 轴的

4、；定理的条件是充分的： 罗尔定理的三个条件是充分的但不是必要的,去掉任何一个条件,结论都不肯定成立；前两个条件能否合并为一条？条件加强导致定理的适用范畴缩小；例 1 例 2 例 3 例 4数在fx x20,x1,明显lim x 1fxlim x 1x21f 1 ,不满意第一条；,0x1fx x在1,1 上连续,但在1,1内不行导,不满意其次条；fx x在0 1, 上连续,在0 1, 内可导,但f0f1 ,不满意第三条；fx x2,1xx1,明显有0 时,f0,即罗尔定理的结论成立；而函2x 1,2,12 上不连续, 在,12内不行导, 且f1 f2,即不满意定理任何一个条件；理论证明：只要证明

5、在a ,b内至少存在一个极值点,然后由费马引理即得证；二 拉格朗日中值定理 Lagrange 定理：假如函数f x满意：1 在a,b上连续；就在a,b内至少存在一点2在a,b 内可导；,使得fb f af ba；几何意义：假如连续曲线yfx的弧段上除端点外到处具有不垂直于轴的切线,那么在这弧上至少有一点,使曲线在该点处的切线平行于弦；理论证明：构造帮助函数xfx fbfax,然后借助于罗尔中值定理；ba注： 1）帮助函数可以有不同的形式：名师归纳总结 几何分析（课本） ：fxffx ffafbfaxa1,即第 2 页,共 24 页ba倒推法：xbax bafx,在a,b之间2）拉格朗日中值公式

6、：f bfa fba 或f b a ,0fa fabab1x 0,fxxx fxx 3）有限增量形式公式：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yfx学习必备x欢迎下载x 名师归纳总结 推论 1 函数fx在区间 I 上的导数恒为零,就fxC；第 3 页,共 24 页证明：任意x 1,x 2I,且x 1x2,就fx 2fx 1fx 2x 1,所以fx 1fx 2,由任意性知fxC；推论 2 对任意xI,fx gx,就fxgxC；证明： 令hxfxgx ,就hx fxgx0,由推论 1 可知h xC,即fx gx C；例如：证明arcsinxarccosx2,

7、x1,1；练习：课本14 题；三 柯西中值定理 Cauchy 假如连续曲线弧段AB 的方程用参数方程来表示的话：Xgx,就拉格朗日中值公Yfx 式就变成ff b fa；gg b g a 定理：假如函数fx,gx满意： 1 在a,b上连续；2在a,b内可导；3xa ,b ,g x0；就在a,b内至少存在一点,使得ff b f a. gg b ga证明：由于函数f x满意拉格朗日定理的条件,所以fb fa f ba ,函数g x 满意拉格朗日定理的条件,所以g b g a gba ,所以两式相除得到：ff b fa. gg b g a 注：这个证明是错误的,其实两个式子的不肯定相同；比如：fx2

8、x在1,0 内f1 f0 f 10 ,即11；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g x 3 x在0 1, 内g1 学习必备g欢迎下载0 ,即23；g0 13但由f1 f0 f可知2. g1 g 0 g3所以仍旧采纳构造帮助函数的方法；例 1 证明不等式1当x0时,1xxln1x x,1ln103 ,1,2arctan aarctan bab分析：1xxln1xx变化11xln1x 1,即11xln1x xx0所以只要令函数fxln1x即可,然后依据微分中值定理即可；a r c t a na r c t a nab变化arctan aarctan b1

9、,ab2 ,2 ,3 ,4只要令函数fxarctanx即可；例 2 设fxx1 x2 x3 x4 ,说明f x0有几个实根；分析：f x 0为三次方程, 在实数域内最多有三个实根,又由于fx在上连续,在 2,1,23,3 ,4内可导,由罗尔定理可知：存在1,2,3使得f1f2f30,就说明1,2,3是方程的三个根；例 3 证明方程x5x10只有一个正根；分析：第一根的存在性：函数fx x5x1 满意介值定理的条件；其次根的唯独性：假设有两个不同的根,依据罗尔定理就产生冲突；练习： 1、2、3、4 题；作业： 7、9、10 题；其次讲 中值定理的应用应用（一）证明不等式通常我们用拉格朗日中值定理

10、证明不等式,第一挑选适当的函数及区间,然后利用中值名师归纳总结 定理,得到一个含有1的等式；其次对等式进行适当的放大或缩小,去掉含有的项；第 4 页,共 24 页例 证明xexx xe,x0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分 析 ： 证 明 的 关 键 在 于 选 择 哪 个 函 数 , 在 哪 个 区 间 上 用 中 值 定 理 ； 如 注 意 到ex1exe0,就不难看出ex1恰为x e 在区间0,x 上两点处的函数值之差；练习： 1 证明当x1时,exex2 证明不等式1xlnx1x21x2x0 证明： 设fx xlnx1x

11、211x2,明显函数在0 ,x 上满意拉格朗日定理的条件, 所以存在0,x 使fx f 0 fx0 ,而fx lnx1x2且f00,因此fxxln12x0,当0x时,ln120,从而fx0；应用（二）证明恒等式 n （I）证明至少存在一点,使 f 0 的命题例 如 f x 在 a , b 内具有二阶导数,且 f x 1 f x 2 f x 3 （a x 1 x 2 x 3 b）证明：在 x 1x 3 内至少有一点,使得 f 0；分 析 ： 要 寻 找 函 数 f x 在 x 1x 3 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 即 可 , 只 要 找 到 两 点 f 1 f 2 即可；3练习： 如

12、函数 f x 在 0 1, 内具有三阶导数,且 f 0 f 1 0,设 F x x 1 f x ,证明：在 0 1, 内至少有一点,使得 F 0；证明：因 F x 在 0 1, 上连续,在 0 1, 上可导,且 F 0 F 1 0,由罗尔定理知：存在1 0 1, ,使 F 1 0；又 F x 3 x 1 2f x x 1 3f x ,且 F 1 0,所以 F x 在 1 1, 上满足罗尔定理的条件,存在 2 1 1, ,使 F 2 0； 2 3 又 F x 6 x 1 f x 6 x 1 f x x 1 f x , 且 F 1 0, 所 以F x 在 2 1, 上满意罗尔定理的条件,存在 2

13、1, 1,0,使 F 0；（II ）证明涉及两个函数转变量及其导数关系的命题名师归纳总结 例 设x 1x20,证明x 1 ex2x2ex 1 1ex 1x 2,其中在1x 与x 之间；第 5 页,共 24 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：x 1e x 2x 2ex 1 1 ex 1学习必备欢迎下载x2分别得：x 1ex 2x 2ex 1 1e e,从而满意柯西中值定理；a ,b ,使x 1x2在分别x 和x 得：ex 2ex 1x2x 1111练习： 1 设函数f x 在a ,x2x 10,证明至少存在一点b上可导,且ab b f a1abf

14、f；fbafa f b f bfa分析：afb bfa b11ab11abaabba2 课本 15 题；III 构造帮助函数类命题即“ 原函数帮助函数法”名师归纳总结 详细步骤：将要证明成立的等式u0改写成0,即查找函数x ,使第 6 页,共 24 页xu x ,在验证x 满意罗尔定理的全部条件；例 1 设函数fx、gx在a,b上连续,在a,b内可导,且g x 0,证明至少存在一点a,b使fa ffgg b g分析：将结论等式改写为fa fgggb f即fa g g b ffgfg 0,用“ 原函数帮助函数法”可找到帮助函数x fagxgb fxfxgx；例 2 设fx在0 1,上连续,在01

15、, 内可导,且f0 0,f10,证明在01,内至少存在一点使3ff0分析：留意3 xfx 3x2fx x3fx x23fxxfx ,所以帮助函数为x x3fx；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 设函数fx、gx在a ,b 学习必备a欢迎下载fa fb 0,证明至少上连续, 在,b内可导, 且存在一点a ,b 使ffg00,可确定帮助函数作fg分析：利用恒等变形转变结论形式化为：fFxlnfxgx,由于fx在a,b可能取不大于零的值,所以不能直接将Fx为帮助函数,而应取xe Fxegxfx 为帮助函数；练习：1设fx 在1,0 上连续, 在0 1

16、, 内可导, 且f00,当x01,时,fx0,证明在0 1, 内至少存在一点使f2f 1ff1 10分析：结论形式化为：ff 12ff即ff2 12ff1f 10即帮助函数为：x fx f2 1x 2 第 132 页 13 题；应用（三）争论方程实根的问题在中值定理中, 主要是利用罗尔定理证明方程实根的存在性；基本思想是把要证明其存在的问题归结为某函数的导数在某区间的零点问题,而该函数又恰好在该区间上满意定理的条件；证明的关键是挑选恰当的帮助函数和恰当的区间；例 设a 1a21n12an10,证明方程：3na 1cosxa 2cos 3 xancos 2n1x0在0 ,2内至少有一个实根；分析

17、：只要找到一个函数使fxa 1cosxa 2cos 3 xa ncos 2n1x即可,而易知fxa1sinx1a2sin3x2an1sin2 n1 x,再说明该函数满意罗尔定理即可；3n练习：名师归纳总结 1 设fx在0 1,上连续,在1,0 内可导,且f0 f 1 0 ,f11,证明在1,0 第 7 页,共 24 页2内方程f x 1至少有一个实根；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：考虑Fx fx 1,即学习必备f欢迎下载,但是Fx并不满意罗尔定理条件,Fxxx又知F 1 f10,依据连续函数上的介值定理存在11,使F0,这就意味着22Fx在0

18、,上满意罗尔定理的条件；a,b内方程2 如fx在a,b上连续,在a,ba0内可导,证明在2x fb fa b2a2fx至少存在一个实根；,验证罗尔定理的条件；分析：构造帮助函数Fxx2fbfa b2a2fx 作业： 1；整理练习部分 2预习罗比塔法就 第三讲 罗比塔法就L Hospitals Rule问题 1：罗比塔法就的使用范畴：未定式的0 和 0型问题 2：罗比塔法就的内容：（I）0 型 0X时）,fx ,gx 都存在且g x 0定理 1 设函数fx、gx满意：1lim x axfx lim x axgx02在点 a 的某去心领域内（或当x3 lim x axfxl（可以为无穷大）gx就l

19、im x afx lim x afx lgx gx分析：利用柯西中值定理；练习：1）x lim2arctan xx lim1x2112 xx名师归纳总结 2）lim x 0sinxxcosxlim x 03xsinxelim x 03sinxx1第 8 页,共 24 页sin3xsin2xcosxxcos33）lim x 0exex2xlim x 0exexlim x 0xex2xsinxsinxcosx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II ）型学习必备欢迎下载定理 2 设函数fx、gx满意：3X时）,fx ,gx 都存在且g x 01lim x

20、axfxlim x axgx2在点 a 的某去心领域内（当x3 lim x axfxl（可以为无穷大）gx就lim x afx lim x afx lgx gx练习：1）limtanxlimsin6xtan 3xsin2xx2x22）x limlnxx lim10xx3）x limxnx limn .x0exne0（III ）待定型 0、0 0 、1、例x lim 0xnlnx n0x lim 0lnx1xlim x 11 lnxx1lim x 1x1xlnxlim x 1xlnx110cxlncelnabc3abc1lnx1 xx01x lime1lnxexlimlnxxe01lim x 0

21、axlnabxlnbx limxxxxexlimxlnxx elnx0 e1lim x 0xxlim x 001elim x 0lnabxcxln3lim x 0axbxcxxx33axbxcxlim x 0tanx sinxlim x 0esinxlntanxexlimsinxlntanxlimlntanx11x0sinxe0e0本节总结：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 法就仅适用于0 和 0学习必备欢迎下载0 或 0才可用罗比塔法就；型,对于其他的未定型,必需化为在求“ 幂指函数” 的极限时,一般用对数解法,

22、详细步骤：名师归纳总结 第一步：令yfx,取对数lnylnfx；2 2 c o sx2 si nx1 s i nx1 c o sx2第 10 页,共 24 页其次步：求limlnyA；第三步：由连续性可求limlnyelimlnyeA如： 1 求lim xsin2cos1xxx解：设ysin2cos1x,lnyxlnsin2cos1xxxxlim xlnylim xxlnsin2cos1lim xlnsin21cos1lim xxxxxx所以lim xsin2cos1xelim xlny2 exx2求lim xxx e1x解：设yxx e1,lny1lnxexxxx limlnyx limln

23、xxexx lim1exlim x1exx1xexe,但可以求；所以x limxex1exlimlnye 1ex数列极限不能直接使用罗比塔法就（数列不是连续变化的,无导数可言）结论：如lim xfx存在且等于A ,就lim nfn存在且等于A ；2 x,而如：求n limtann42n解：先求x limtanx42,设ytanx42,lnyxlntan4xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x limlnyx limlntan42学习必备4欢迎下载22 sec4e 4sec 22xxx limtan142tan4xx因此x limtanx42e4,所以

24、n limtann42e4；xn注：虽然只是一个形式的转变,但这样做是必要的,由于对数列求导数是无意义的；如：0 和 0型不肯定能用罗比塔法就,假如lim x axfx不存在,就该法就失效；gx lim xxsinxlim x1sinx1xxx2sin1lim x 0xxsi n 1x1xlim x 0sinxs i n x罗比塔法就不是万能的；如：x limshxx limchxcosxx limexsinxchxshxx limexsinxx limexexcosxexsinxexcosx事实上x limshxx limexexx lim1e2x1chxexex1e2xx limx esi

25、nxx lim1s i n xx ec o s x101x ecosx110ex第四讲 泰勒公式一泰勒绽开式线性函数（多项式）是最简洁的函数,由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘运算；一些复杂的函数常常用多项式函数在近似表达；比如：sin x x , e x1 x , n1 x 1 1 x , ln 1 x xn所 有 这 些 函 数 都 是 用 一次 多 项 式 函 数 来 近 似 表示 的 函 数 , 对 sin x x 来 说 ,f x sin x , P 1 x x 并且满意 P 1 0 f 0 , P 1 0 f 0 ,其实从图形来看,这种近似存在着不足： 第一近似程度并不高,其次误差不能估量,为了提高近似程度可用二次多项式来近似；名师归纳总结