2022年高考数学回归课本教案三角函数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学回来课本教案整理：卢立臻第六章 三角函数一、基础学问定义 1 角,一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角；如旋转方向为逆时针方向,就角为正角,如旋转方向为顺时针方向,就角为负角,如不旋转就为零角；角的大小是任意的；定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度； 360 度=2弧度；如圆心角的弧长为 L,就其弧度数的肯定值 | |= L,r其中 r 是圆的半径；定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边

2、上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为（x,y）,到原点的距离为r,就正弦函数 sin = y,余弦函数 cos = x,正切函数 tan = y ,余切函数 cot = x ,正割r r x yr r函数 sec = ,余割函数 csc = .x y定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系：tan = 1,sin = 1,cos = 1；cot csc sec商数关系： tan = sin, cot cos；乘积关系： tan cos =sin ,cot sin =coscos sin ；平方关系： sin 2 +cos 2 =1, tan 2 +1=sec 2 , cot 2 +

3、1=csc 2 . 定理 2 诱导公式（） sin +=-sin , cos+ =- cos , tan+ =tan , cot+ =cot ;（ ）sin - =-sin , cos- =cos , tan- =-tan , cot- =cot ; （）sin- =sin , cos- =- cos , tan=- =- tan , cot- =-cot ; （） sin =cos , 2cos =sin , tan =cot （奇变偶不变,符号看象限）；2 2定理 3 正弦函数的性质,依据图象可得 y=sinx（xR）的性质如下；单调区间：在区间32 k , 2 k 上为增函数,在区间 2

4、 k , 2 k 上为减函数,最小正周2 2 2 2期为 2 . 奇偶数 . 有界性：当且仅当 x=2kx+ 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k-时, 2 2y 取最小值 -1；对称性：直线 x=k + 均为其对称轴,点（k , 0）均为其对称中心,值2域为 -1,1；这里 kZ. 定理 4 余弦函数的性质, 依据图象可得 y=cosxxR的性质；单调区间：在区间 2k, 2k+上单调递减, 在区间 2 k-, 2k上单调递增； 最小正周期为2；奇偶性： 偶函数； 对称性：名师归纳总结 直线 x=k 均为其对称轴,点k2,0均为其对称中心；有界性：当且仅当x=2k 时,第 1 页,共 1

5、0 页y 取最大值 1；当且仅当x=2k- 时, y 取最小值 -1；值域为 -1,1；这里 kZ. 定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanxxk+2在开区间 k-2, k+2上为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增函数 , 最小正周期为学习必备欢迎下载2,0）均为其对称中,值域为（ -, +）,点（ k,0）,（k+心；名师归纳总结 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos =cos cossin sin ,sin =sin第 2 页,共 10 页 coscos sin ; tan =tantan. 1tantan定理 7 和差化积与积化

6、和差公式: sin +sin =2sin2cos2,sin -sin =2sin2cos2, cos +cos =2cos2cos2, cos -cos =-2sin2sin2, sin cos =1sin + +sin - , cos sin =1sin + -sin - , 221 1cos cos = cos + +cos - ,sin sin =-cos + -cos - . 2 2定理 8 倍角公式 :sin2 =2sin cos , cos2 =cos 2 -sin 2 =2cos 2 -1=1-2sin 2 , tan2 =12tan2.tan定理 9 半角公式 :sin2= 1

7、cos,cos2=1cos, 22tan2= 1cos= 1sin 1cos. 1coscossin定理 10 万能公式 : sin2tan2, cos12 tan2, 12 tan212 tan2tan2tan2.定理 11 1tan22a, b 是实数且 a 2+b 20,就取始边在x 轴正半轴,终边经过点帮助角公式：假如a, b的一个角为 ,就 sin =a2bb2,cos =a2ab2,对任意的角 . asin +bcos = a2b2sin + . a定理 12 正弦定理：在任意ABC 中有sin A角 A, B,C 的对边, R 为 ABC 外接圆半径；bBcC2R,其中 a, b

8、, c 分别是sinsin定理 13 余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c 2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边；定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得y=sinx+k 的图象；经左右平移得y=sinx+的图象（相位变换）；纵坐标不变, 横坐标变为原先的1 ,得到 y=sinx 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的图象（周期变换） ；横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin x+ 0的图象（周期变换） ；横坐标不变,纵坐标变

9、为原先的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象（振幅变换） ；y=Asin x+ , 0|A|叫作振幅 的图象向右平移个单位得到 y=Asin x 的图象；定义 4 函数 y=sinx x , 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinxx-1, 1 ,2 2函数 y=cosxx0, 的反函数叫反余弦函数,记作y=arccosxx-1, 1. 函数y=tanx x , 的反函数叫反正切函数； 记作 y=arctanxx-, + . y=cosxx0, 2 2 的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotxx -, +. 定理 15 三角方程的解集, 假如 a-1,1,方程 sinx=a 的

10、解集是 x|x=n+-1 narcsina , nZ；方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kx arccosa, kZ. 假如 aR,方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+arctana, kZ；恒等式： arcsina+arccosa=；arctana+arccota= . 2 2定理 16 如 x 0 ,就 sinxx-1,所以 cosx20,所以 sin cosx 0,又 00,所以 cossinx sincosx. 名师归纳总结 如x0,2,就由于42 .第 3 页,共 10 页sinx+cosx=22sinx2cosx2sinxcos4+sin4cosx=2 sinx+222

11、 2,x所以 0sinx2-cosxcos2-cosx=sincosx. 综上,当 x0,时,总有 cossinx0,求证：cosxcossinsin【证明】如 + 2,就 x0,由 2- 0 得 cos cos2- =sin , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 0cossin2学习必备欢迎下载cos1,- =cos , 所以 0sinsin所以cos sinxcosxcos0cos02 .sinsinsin如 + 2,就 x0,由 0 2- cos2- =sin 0, 所以cos sin1；又 0sin 1,sin所以cos sinxcosx

12、cos0cos02,得证；sinsinsin注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及帮助角公式,值得留意的是角的争论；3最小正周期的确定；例 4 求函数 y=sin2cos|x|的最小正周期；【解】第一, T=2 是函数的周期（事实上,由于 cos-x=cosx,所以 co|x|=cosx）；其次,当且仅当 x=k+ 时, y=0（由于 |2cosx|2）, 2所以如最小正周期为 T0,就 T0=m, mN+,又 sin2cos0=sin 2 sin2cos,所以 T0=2；4三角最值问题；名师归纳总结 例 5 已知函数 y=sinx+12 cosx,求函数的最大值与最小值；3, 第 4

13、页,共 10 页【解法一】令 sinx=2cos,1cos2 x2sin404就有 y=2cos2sin2sin4.由于403,所以24, ,4所以0sin4 1,所以当3,即 x=2k-2kZ时, ymin=0,4当4,即 x=2k+ 2kZ时, ymax=2. 【解法二】由于 y=sinx+1cos2x2 sin2x1cos2x=2（由于 a+b22a2+b 2）,且|sinx| 112 cosx,所以 0sinx+12 cosx2,所以当12 cosx=sinx,即 x=2k+2kZ时, ymax=2,当12 cosx=-sinx ,即 x=2k-2kZ时, ymin=0；例 6 设 0

14、,求 sin21cos的最大值；【解】由于00, cos20. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 sin2（ 1+cos）=2sin2cos 2学习必备2欢迎下载cos22cos222=2sin22322sin222 cos22 cos22=16493.2 时, sin 221+ cos取得最大值327当且仅当 2sin222 =cos2, 即 tan=2 2, =2arctan4 3；9例 7 如 A,B,C 为 ABC 三个内角,试求 sinA +sinB+sinC 的最大值；【解】由于 sinA +sinB=2sin A Bcos A B2

15、 sin A B, 2 2 2C C CsinC+sin 2 sin 3 cos 3 2 sin 3 , 3 2 2 2又由于 sin A Bsin C3 2 sin A B C3 cos A B C3 2 sin,2 2 4 4 3由,得 sinA +sinB+sinC+sin 4sin , 3 3所以 sinA +sinB +sinC3sin = 3 3, 3 2当 A=B=C= 时,（sinA+sinB+sinC ） max= 3 3. 3 2注：三角函数的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段；5换元

16、法的使用；名师归纳总结 例 8 求y1sinxcosxx的值域；2cosx2sinx4.第 5 页,共 10 页sinxcos2sinx【解】设 t=sinx+cosx=222由于1sinx4,1yx21t21,所以2t2.又由于 t 2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=2t21,所以21t所以21y21.22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 t-1,所以t211,所以 y学习必备欢迎下载-1. 所以函数值域为 y 2 1, 1 ,1 2 1 .2 21 a n 1 2 1例 9 已知 a0=1, an= nN+,求证： an

17、n 2 . a n 1 2【证明】由题设 an0,令 an=tanan, an0 ,就221 tan a n 1 1 sec a n 1 1 1 cos a n 1 a n 1an= tan tan a n .tan a n 1 tan a n 1 sin a n 1 2n由于 a n 1,an0 ,所以 an= 1a n 1,所以 an= 1a 0 .2 2 2 2n又由于 a0=tana1=1,所以 a0=,所以 a n 1；4 2 4又由于当 0xx,所以 a n tan n 2 n 2 .2 2 2注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范畴的一样性；另外当 x0 , 时,有 tanxx

18、sinx,这是个熟知的结论,临时不证明,学完导数后,证2明是很简单的；6图象变换： y=sinxxR与 y=Asin x+ A, , 0. 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原先的 A 倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原先的 1 ,得到 y=Asin x+ 的图象；也可以由 y=sinx的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原先的1,最终向左平移 个单位,得到 y=Asin x+ 的图象；例 10 例 10 已知 fx=sin x+ 0, 0是 R 上的偶函数,其图象关于点M 3, 0 对称,且在区间 0 , 上是

19、单调函数,求 和 的值；4 2【解】 由 fx是偶函数, 所以 f-x=fx,所以 sin + =sin-x+ ,所以 cos sinx=0,对任意 xR 成立；名师归纳总结 又 0,解得=2,f3x=0；第 6 页,共 10 页由于 fx图象关于M3,0对称,所以f3x444取 x=0,得f3=0,所以 sin320.44所以3k2kZ,即=22k+1 kZ . 43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又学习必备欢迎下载0,取 k=0 时,此时 fx=sin2x+2在0,2上是减函数；取 k=1 时,=2,此时 fx=sin2x+2在0,2 上是减函数

20、；取 k=2 时,10 ,此时 fx=sin3x+2在0,2上不是单调函数,综上,=2 或 2；37三角公式的应用；例 11 已知 sin - = 5 ,sin + =135 ,且 -132, +3,2,求2sin2 ,cos2 的值；名师归纳总结 【解】由于 -2,所以 cos - =-1sin212.2,试求第 7 页,共 10 页13又由于 +3,2,所以 cos + = 1sin212.213所以 sin2 =sin + + - =sin + cos - +cos + sin - = 120169, cos2 =cos + - - =cos + cos - +sin + sin - =

21、-1. 例 12 已知 ABC 的三个内角A,B,C 成等差数列,且1A1CcoscoscosBcosA2C的值；【解】由于 A=1200-C,所以 cosA2C=cos600-C,0cos C1111cos 1200C又由于cosAcos C0 cos 120Ccos Ccos Ccos 120C=12cos600cos 6000CC2cos600CC122,cos1200cos 1202cos 1200222所以42cos2A2C2cosA2C32=0；解得cosA2C2或cosA2C382；2又cosA2C0,所以cosA2C2；2例 13 求证： tan20 +4cos70 . 【解】

22、tan20 +4cos70 =sin20+4sin20cos20sin204sin20cos20sin202sin40cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos 10sin40cos20cos20- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin80sin402sin60cos学习必备3.欢迎下载20cos20cos20三、基础训练题1已知锐角x 的终边上一点A 的坐标为 2sin3, -2cos3,就 x 的弧度数为 _；2适合1 1cosx1cosx-2cscx 的角的集合为 _；cosx1cosx3给出以下命题：（1）如 ,就 s

23、in sin；（ 2）如 sin就 为第一或其次象限角； （4）如 为第一或其次象限角,就正确的命题有 _个；4已知 sinx+cosx=1x0, ,就 cotx=_ ；5sin ,就 ；（3）如 sin 0,sin 0. 上述四个命题中,5简谐振动x1=Asint3和 x2=Bsint6叠加后得到的合振动是x=_；6已知 3sinx-4cosx=5sinx+1=5sinx-2=5cosx+3=5cosx-4,就1,2,3,4分别是第 _象限角；7满意 sinsinx+x=coscosx-x的锐角 x 共有 _个；8已知3x2,就1111cosx=_；m 的取值范畴；222229cos40si

24、n5013tan 10=_ ；sin701cos4010 cot15 cos25cot35 cot85 =_ ；11已知 , 0, , 21, sin + = 5 ,求 cos 的值；13212已知函数fx=m2sinx在区间0,2上单调递减,试求实数cosx四、高考水平训练题名师归纳总结 1已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R,如其周长为定值cc0,当扇形面积最大时,第 8 页,共 10 页a=_. 2. 函数 fx=2sinxsinx+cosx的单调递减区间是_. 3. 函数y2sinx的值域为 _. 2cosx4. 方程2sin2x6lgx=0 的实根个数为 _. 5. 如 sina+c

25、osa =tana, a0 ,2,就3_a（填大小关系）. 6. 1+tan11+tan2 1+ tan44 1+tan45 =_. 7. 如 0yx0, k=-1,求 fx的单调区间； （3）试求最小正整数k,使得当 x 在任意两个整数（包括整数本身）间变化时,函数 fx至少取得一次最大值和一次最小值；五、联赛一试水平训练题（一）1如 x, yR,就 z=cosx 2+cosy 2-cosxy 的取值范畴是 _. 2已知圆 x 2+y 2=k 2 至少盖住函数 fx= 3 sin x的一个最大值点与一个最小值点,就实数kk 的取值范畴是 _. 3f =5+8 cos +4cos2 +cos3

26、 的最小值为 _. 4方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在（ 0,2）内有相异两实根 ,就 +=_. 5函数 fx=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是 _. 6设 sina0cosa, 且 sin acos a ,就 a 的取值范畴是 _. 3 3 37方程 tan5x+tan3x=0 在0,中有 _个解 . 8如 x, yR, 就 M=cosx+cosy+2cosx+y的最小值为 _. 9如 00在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 gx= a 2 1 的图象所围成的封闭图形的面积是 _. 5 22如 x ,就 y=tan x-tan x +cos x 的最大值是12 3 3

27、 6 6_. 名师归纳总结 3在 ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 如 9a 2+9b2-19c 2=0,就cotcotCB=_. 第 9 页,共 10 页Acot- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4设 fx=x 2-x, =arcsin1, =arctan学习必备欢迎下载, =arccot5, 将 f, f, f, 5, =arccos13434f从小到大排列为 _. 5logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, log cos1sin1=c, logcos1tan1=d；将 a, b, c, d 从小到大排列为 _

28、. 6在锐角 ABC 中, cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin,就tantantan=_. 7已知矩形的两边长分别为fx= sin x2+4 3 x+costan 和 1+cos 0 0 恒成立,就的取值范畴是_. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,就 cos 2x+ cos 2y+ cos 2z=_. 11已知 a1, a2, ,an是 n 个实常数,考虑关于x 的函数： fx=cosa1+x+1cosa2+x +；2+211cosan+x；求证：如实数x1, x2满意 fx1=fx2=0,就存在整数m,使得 x

29、2-x1=m. n12在 ABC 中,已知sinAsinBsinC3,求证： 此三角形中有一个内角为3cosAcosBcosC13求证：对任意自然数n, 均有 |sin1|+|sin2|+ +|sin3n-1|+|sin3n|8n. 5六、联赛二试水平训练题1已知 x0, y0, 且 x+y0（ wR）. 2. 已知 a 为锐角, n2, nN+,求证：1a11a12n-2n1+1. y2,求2sinncosn3. 设 x1, x2, , xn, , y1, y2, , yn, 满意 x1=y1=3 , xn+1=xn+12 x n, yn+1=1yn1n证： 2xnyn3n2. 名师归纳总结 4已知 , 为锐角,且cos 2+cos2+cos 2=1,求证；3+m,求证：对一切 x0,2都有 2|sinnx-cos nx|3|sinnx-cos7在 ABC 中,求 sinA+sinB