2022年高二数学练习卷两平面的平行的判定和性质.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题一例 1： 已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1D12 证明,只需连接A1C求证： 平面AB 1D 1/平面C1BD证明 ：ABCD-A 1B 1 C 1D1为正方体,D1A/C 1B,又C1B平面C1BD,故D 1A/平面C1BD同理D 1B 1/平面C1BD又D 1AD1B 1D 1, 平面AB1D1/平面C1BD说明：上述证明是依据判定定理1 实现的此题也可依据判定定理即可,此法仍可以求出这两个平行平面的距离典型例题二例 2：如图,已知/,Aa, Aa/求证： a1a ,设证明： 过直线 a 作一平面b

2、名师归纳总结 /a,a1与直线 b 平行第 1 页,共 18 页a /b又a/a /b在同一个平面内过同一点 A 有两条直线 a 与1a 重合,即 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载说明： 此题也可以用反证法进行证明典型例题三例 3：假如一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交已知： 如图,/,lA,由于与 有公共点 A ,与有公共求证： l 与相交证明： 在上取一点 B ,过 l 和 B 作平面点 B 与、都相交设 a ,b /a / b又 l 、 a 、 b 都在平面 内,且 l 和 a 交于 A l 与 b

3、 相交所以 l 与 相交典型例题四例 4：已知平面/, AB , CD 为夹在 a ,间的异面线段,E 、 F 分别为 AB 、CD 的中点求证：EF/,EF/AC ,证明： 连接 AF 并延长交于 G AGCDF,且AG,CD确定平面DG 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - /,所以AC /DG优秀学习资料欢迎下载,ACFGDF,DF,又AFCDFG,CF ACF DFG AFFG又AEBE,EF /BG, BG故EF/同理EF/说明： 此题仍有其它证法,要点是对异面直线的处理典型例题六名师归纳总结 且例 6如图,

4、已知矩形ABCD 的四个顶点在平面上的射影分别为A 、B 、C 、D ,第 3 页,共 18 页1A 、B 、C 、D 互不重合,也无三点共线求证： 四边形A 1B 1 C 1D 1是平行四边形证明： AA 1,DD1AA 1/ DD1不妨设AA 和DD 确定平面同理BB1和CC 确定平面又AA 1/ BB 1,且BB1AA 1/同理AD/又AA1ADA/又A 1D1,B 1C 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 1D1/B 1 C1优秀学习资料欢迎下载同理A 1B 1/C 1D 1是平行四边形四边形A 1B 1 C 1D 1典型例题七例 7 设直

5、线 l 、 m ,平面、,以下条件能得出 / 的是（）A l, m,且 l /,m / B l, m,且 l / mC l, m,且 l / m D /,m /,且 l / m分析： 选项 A 是错误的,由于当 l / m 时,与 可能相交选项 B 是错误的,理由同 A 选项 C 是正确的,由于 l,m/ l,所以 m,又 m,/选项D 也是错误的,满意条件的 可能与 相交答案： C 说明： 此题极易选 A ,缘由是对平面平行的判定定理把握不精确所致本例这样的挑选题是常见题目,要正确得出挑选, 需要有较好的作图才能和对定理、公理的精确把握、深刻懂得,同时要考虑到各种情形典型例题八例 8设平面平

6、面,平面平面,且、分别与相交于 a 、b ,a /b求证：平面/平面分析： 要证明两平面平行,只要设法在平面 它们分别与 平行（如图） 上找到两条相交直线,或作出相交直线,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 在平面优秀学习资料欢迎下载直线 b 内作直线 PQ直线 a ,在平面内作直线 MN平面 平面, PQ 平面, MN 平面,PQ / MN又a / p,PQ a Q,MN b N,平面 / 平面说明： 假如在、内分别作 PQ, MN,这样就走了弯路,仍需证明 PQ 、MN 在、内,假如直接在、内作 a 、

7、b 的垂线,就可推出 PQ / MN由面面垂直的性质推出“ 线面垂直” ,进而推出 “ 线线平行”、“ 线面平行”,最终得到 “ 面面平行” ,最终得到“ 面面平行”其核心是要形成应用性质定理的意识,在立体几何证明中特别重要典型例题九例 9如下列图, 平面/平面,点 A 、Cc,点B、D,ABa是、的公垂线, CD 是斜线如ACBDb,CD, M 、 N 分别是 AB 和 CD 的中点,1求证：MN/；2求 MN 的长分析：（1）要证MN/,取 AD 的中点 P ,只要证明 MN 所在的平面PMN/为名师归纳总结 此证明PM/,PN/即可 2要求 MN 之长, 在CMA中, CM 、CN 的长

8、度易知,第 5 页,共 18 页关键在于证明MNCD,从而由勾股定理可以求解PM 、 PN 证明： 1连结 AD ,设 P 是 AD 的中点,分别连结 M 是 AB 的中点,PM /BD又 BD,PM/- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理 N 是 CD 的中点,优秀学习资料欢迎下载PN /AC AC,PN/,PNPMP,平面PMN/推证“ 线 MN平面 PMN ,MN/2分别连结 MC 、 MD ACBDb,AMBM1a,2又 AB 是、的公垂线,CAMDBM90,RtACMRtBDM,CMDM,DMC是等腰三角形又 N 是 CD 的中点,MNCD在

9、RtCMN中,MNCM2CN214 b2a 2c22说明： 1证“ 线面平行”也可以先证 “ 面面平行”,然后利用面面平行的性质,面平行” ,这是一种以退为进的解题策略2空间线段的长度,一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解3面面平行的性质：面面平行,就线面平行；面面平行,就被第三个平面所截得的交线平行典型例题十例 10假如平面内的两条相交直线与平面所成的角相等,那么这两个平面的位置关系是 _分析： 按直线和平面的三种位置关系分类予以讨论解： 设 a 、 b 是平面内两条相交直线所成的角都为0 ,这时与重合,根1如 a 、 b 都在平面内, a 、 b 与平面据教材中规定,此种情

10、形不予考虑名师归纳总结 平面2如 a 、 b 都与平面相交成等角,且所成角在0,90内；第 6 页,共 18 页 a 、 b 与有公共点,这时与相交如 a 、 b 都与平面成 90 角,就a /b,与已知冲突此种情形不行能3如 a 、 b 都与平面平行,就 a 、 b 与平面所成的角都为 0 ,内有两条直线与平行,这时/- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上,平面、优秀学习资料欢迎下载的位置关系是相交或平行典型例题十一例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行已知：A 平面,求证： 过 A有且只有一个平面 /分析：“ 有且只有” 要精确

11、懂得,要先证这样的平面是存在的,再证它是惟一的,缺一 不行证明： 在平面内任作两条相交直线a 和 b ,就由 A知,Aa,Ab点 A 和直线 a 可确定一个平面M ,点 A 和直线 b 可确定一个平面N ,由公理 2 知：在平面 M 、 N 内过 A分别作直线a / a、b / b,故a 、b 是两条相交直线,可确定一个平面a, a, a /a,a/同理b/又a,b,abA,/所以过点 A 有一个平面/假设过 A点仍有一个平面/,就在平面内取始终线 c ,Ac,点 A、直线 c 确定一个平面m ,n ,m/c,n /c,又Am,An,这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相冲突,因此假设不成

12、立,所以平面 只有一个所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行典型例题十二例 12 已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点, 且上的高, D 、 E 、 F 分别是 AC 、 BC 、 SC的中点,试判定SA SB SC,SG为 SABSG与平面 DEF 内的位置关名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载系,并赐予证明分析 1：如图,观看图形,即可判定 SG / 平面 DEF ,要证明结论成立,只需证明 SG与平面 DEF 内的一条直线平行观看图形可以看出：连结 CG 与 DE 相交

13、于 H ,连结 FH , FH 就是适合题意的直线怎样证明 SG/ FH？只需证明 H 是 CG 的中点证法 1：连结 CG 交 DE 于点 H , DE 是 ABC 的中位线,DE / AB在 ACG 中, D 是 AC 的中点,且 DH / AG, H 为 CG 的中点 FH 是 SCG的中位线,FH / SG又 SG 平面 DEF , FH 平面 DEF ,SG / 平面 DEF 分析 2： 要证明 SG / 平面 DEF ,只需证明平面SAB / 平面 DEF ,要证明平面DEF / 平面 SAB,只需证明SA/DF,SB/EF而SA/DF,SB/EF可由题设直接推出证法 2： EF

14、为 SBC的中位线,EF / SB EF 平面 SAB, SB 平面 SAB,EF / 平面 SAB同理：DF / 平面 SAB,EF DF F,平面 SAB / 平面 DEF ,又 SG 平面 SAB,SG / 平面 DEF 典型例题十三名师归纳总结 例 13如图, 线段 PQ 分别交两个平行平面、于 A、 B 两点,线段 PD 分别交12、第 8 页,共 18 页,于 C 、D 两点,线段 QF 分别交、于 F 、E 两点,如PA9,AB12,BQACF 的面积为 72,求BDE 的面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 求优秀学习资料欢迎下

15、载ACF 的面积,BDE 的面积,看起来好像与本节内容无关,事实上,已知如 BDE 与 ACF 的对应边有联系的话,可以利用 ACF 的面积求出 BDE 的面积解： 平面 QAF AF,平面 QAF BE,又/,AF / BE同理可证：AC / BD,FAC 与 EBD 相等或互补,即 sin FAC sin EBD由 FA / BE,得 BEAF QBQA 1224 12,BE 1 AF2由 BD / AC,得：ACBD PAPB 921 37,BD 7 AC3又ACF 的面积为 72,即 1 AF AC sin FAC 722S DBE 1 BE BD sin EBD21 1 AF 7 A

16、C sin FAC2 2 37 1 AF AC sin FAC6 27 72 846BDE 的面积为 84 平方单位说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行,二是可以解决线面平行的问题 留意使用性质定理证明线线平行时,肯定第三个平面与两个平行平面相交,其交线互相平行典型例题十四例 14 在棱长为 a 的正方体中,求异面直线BD和B1C之间的距离a 且分析： 通过前面的学习,我们解决了如下的问题：如a 和 b 是两条异面直线,就过平行于 b 的平面必平行于过b 且平行于 a 的平面我们知道,空间两条异面直线,总分别存在于两个平行平面内因此, 求两条异面直线的距离,有时可以通过求这两个

17、平行平面之间的距离来解决名师归纳总结 详细解法可按如下几步来求：分别经过 BD 和B1C找到两个相互公平的平面；作出第 9 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载两个平行平面的公垂线；运算公垂线夹在两个公平平面间的长度解： 如图,依据正方体的性质,易证：BD/B 1 D 1平面A 1BD/平面CB 1D 1ACBDA 1B/D 1 C连结AC ,分别交平面A1BD和平面CB 1D 1于 M 和 N由于CC 和AC 分别是平面 ABCD 的垂线和斜线, AC 在平面 ABCD 内,由三垂线定理：AC1BD,同理：AC1A

18、 1DAC1平面A1BD,同理可证：AC1平面CB 1D1平面A1BD和平面CB1D 1间的距离为线段MN 长度如下列图：在对角面AC 中,O 为A 1C1的中点, O 为 AC 的中点AMMNNC11AC13a3a33 BD 和B1 C的距离等于两平行平面A1BD和CB 1D 1的距离为3说明： 关于异面直线之间的距离的运算,有两种基本的转移方法：转化为线面距设a 、 b是两条异面直线,作出经过 b 而和 a 平行的平面和 b 距离,这样又回到点面距离的运算；转化为面面距,设,通过运算 a 和 的距离,得出 aa 、 b 是两条异面直线,作出经过 b 而和 a 平行的平面,再作出经过a 和

19、b 平行的平面,通过运算、之间的距离得出 a 和 b 之间的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载典型例题十五例 15正方体ABCDA 1B 1C 1D1棱长为a,求异面直线AC 与BC 的距离解法 1：（直接法）如图：取 BC 的中点 P ,连结 PD 、PB 分别交 AC 、BC 于 M 、 N 两点,易证：DB / 1MN,DB1AC,DB1BC 13a MN 为异面直线 AC 与BC 的公垂线段,易证：MN1DB 133小结： 此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通

20、常查找公垂线段时,难度较大解法 2：（转化法）如图：AC/平面A 1C 1B, AC 与 BC 的距离等于 AC 与平面 A 1 C 1 B 的距离,在 Rt OBO 1 中,作斜边上的高 OE ,就 OE 长为所求距离,OB 2 a,OO1 a,2O 1 B 3 a,OE OO 1 OB 3a2 O 1 B 3小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解法 3：（转化法）如图：平面ACD / 平面A 1 C 1B, AC 与BC 的距离等于平面ACD 与平

21、面A 1C 1B的距离DB1平面ACD ,且被平面ACD 和平面A 1 C 1B三等分；所求距离为1B 1D3a33小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4：（构造函数法）如图：任取点QBC1,作QRBC于 R 点,作PKAC于 K 点,设RCx,就BRQRax,CKKR,且KR2CK2CR2通过求这个函数的最小值来KR212 CR1x222就QK231 2x22ax 221a2,a 21ax2333故 QK 的最小值,即AC与BC 的距离等于3a3小结： 这种解法是恰当的挑选未知量,构造一个目标函数,得到二异面直线之间的距离解法 5：（体积桥法）如图：名师归纳总结 - - - - -

22、 - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当求 AC 与优秀学习资料欢迎下载A 1 C1B的BC 的距离转化为求AC 与平面A 1 C 1B的距离后,设 C 点到平面距离为 h ,就V CA 1 C1BVA 1BCC 13a1h32a21a1a2,3432h3a即 AC 与BC 的距离等于33小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体的高,然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到说明： 求异面直线距离的方法有：1（直接法）当公垂线段能直接作出时,直接求此时,作出并证明异面直线的公垂 线段,是求异面直线距离的关键2（转化法）

23、把线线距离转化为线面距离,如求异面直线 a 、b 距离,先作出过 a 且平 行于 b 的平面,就 b 与 距离就是 a 、 b 距离（线面转化法） 也可以转化为过 a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面, 两平行平面的距离就是两条异 面直线距离 （面面转化法） 3（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求4（构造函数法）经常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题,教科书要求不高（要求会运算已给出公垂线时的距离）,这 方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求典型例题十六AB例 16假如/, AB 和 AC 是夹在平

24、面与之间的两条线段,ABAC,且2,直线 AB 与平面所成的角为 30 ,求线段 AC 长的取值范畴解法 1：如下列图：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作 AD优秀学习资料欢迎下载于 D ,连结 BD 、 CD 、 BCABBD,ACDC,AB2AC2BC2,0,在BDC中,由余弦定理,得：cosBDCBD2CD2BC2AB22AC2BC22BDCDBDCD AD,ABD 是 AB 与所在的角又/,ABD也就等于AB与所成的角,即ABD30AB2,AC2AD1,BD3,DCAC21,BC413AC214AC20

25、,即：0121323AC21ACAC233,即 AC 长的取值范畴为233,解法 2：如图：ABAC名师归纳总结 AC 必在过点 A且与直线 AB 垂直的平面内ACABtanABC第 14 页,共 18 页设l ,就在内,当ACl时, AC 的长最短,且此时ABtan30233而在内, C 点在 l 上移动,远离垂足时,AC 的长将变大,从而AC233,即 AC 长的取值范畴是233,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载说明： 1此题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系,对于运算才能和空间想象才能有较高的要求,供学有余力

26、的同学学习2解法 1 利用余弦定理,采纳放缩的方法构造出关于 式得到 AC 长的范畴,此方法以运算为主AC 长的不等式,再通过解不等3解法 2 从几何性质角度加以说明说明,防止了纷杂的运算推导,但对空间想象才能要求很高,依据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和 l 上两点间的线段,所以AC 是AB 与 l 的公垂线段时,其长最短典型例题十七例 17 假如两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面相互平行已知：/,/,求证：/分析：此题考查面面平行的判定和性质定理以及规律推理才能由于两个平面没有公共点称两平面平行, 带有否定性结论的命题常用反证法来证明,因此此题可用反证法证明另外也可以利

27、用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线,利用线线平行来推理证明面面平行,或者也可以证明这两个平面同时垂直于某始终线证明一： 如图,假设、不平行,就和相交和至少有一个公共点A ,即 A、, A平行,都和平面/,/, A于是,过平面外一点 A 有两个平面这和“ 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行” 相冲突,假设不成立；名师归纳总结 /内任取一点 A ,过 A 点作直线 l 与相交第 15 页,共 18 页证明二： 如图,在平面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - /, l 与也相交优秀学习资料欢迎下载/, l 与也相交m 、1n

28、 ,且与m 、n ,交于直线m 、n 过 l 作两相交平面分别与交于直线/,m 1/ m 3/,m 2/ m 3m 1/ m 2m 1,m 2,m 1/同理n 1/又m 1n 1A,m 、1n,/证明三： 如图,任作直线l,/, l名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - /, l优秀学习资料欢迎下载/说明： 证明两个平面平行,可依据定义、应用判定定理来证明典型例题十八例 18 如图,已知 a 、b 是异面直线, 求证：过 a 和 b 分别存在平面 和,使 /分析： 此题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理才能依据前面

29、学过的学问,过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行这样过 a 和 b 分别有平面与另一条线平行那么这两个平面是不是相互平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的和？证明： 在直线 a 上任取一点 P ,过 P 点作直线b / b故过 a 和b 可确定一平面记为,在直线 b 上任取一点 Q 名师归纳总结 过 Q 点作直线a / a所以两异面直第 17 页,共 18 页同理过 b 和a 可确定一平面,记为a / a, a,a/同理b/a, b,abQ/说明： 由此题结论可知,两异面直线必定存在于两个相互平行的平面中- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（此题易证 面）a 和 b 的公垂线段垂直于两平行平名师归纳总结 本卷由 100 测评网整理上传,专心于中学校生学业检测、练习与提升. 第 18 页,共 18 页- - - - - - -