2022年高考不等式常见题型解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中不等式的学问要点1.不等式的基本概念a. b ;ab0ab .（1）不等（等）号的定义：ab0ab ;ab0（2）不等式的分类：肯定不等式；条件不等式；冲突不等式（3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）（3）abacbc（加法单调性）（4）ab ,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（异向不等式相减） （6）a.b,c0acbc（7）ab,c0acbc（乘法单调性）（8）ab0 ,cd0acbd（同向

2、不等式相乘）9ab0,0cdab（异向不等式相除）10ab ab011（倒数关系）cdab（11）ab0anbnnZ,且n1（平方法就）（12）ab0nanbnZ,且n1 （开方法就）3. 几个重要不等式（1）如aR,就|a|0 ,a22022|ab|2 ab（当仅当 a=b 时取等号）（2）如a、bR,就a2b2ab或a2b（3）假如 a, b 都是正数,那么xaba2b.（当仅当 a=b 时取等号）极值定理：如x yR,P 就：yS xy1 假如 P是定值 , 那么当 x=y 时, S的值最小；2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时, P的值最大 . 名师归纳总结 利用极值定理求最值

3、的必要条件：一正、二定、三相等. x|ax2a2axa第 1 页,共 9 页4 如 、 、cR,就abc3abc（当仅当a=b=c 时取等号）35 如ab0,就ba2（当仅当 a=b 时取等号）ab6a0 时,x|ax2a2xa或xa ;|（7）如a、bR ,就|a|b|ab|a|b|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4. 几个闻名不等式（1）平均不等式：假如 a, b 都是正数,那么121ababa22b2.（当仅当 a=b 时取等号）2（2）柯西不等式：如 a 1 , a 2 , a 3 ,（a 1 b 1 a 2 b 2当且仅当

4、 a 1b 1,anR ,b 1,b2ab, b 3b n 2a n,bn2 1R ; 就a 2 2a 3 2a2 n b 1 2b 2 2b2 3b2 na 3ab 32a3an a时取等号b2b 3b n（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数如定义在某区间上的函数2fx,f对于定义域中任意两点x x 2x 1x 2,有. fx 12x 2f x 12f x或x 12x 2f x 12f x 2.就称 fx 为凸（或凹）函数5. 不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法 . 6. 不等式的解法（1）整式不等式的解法（标根法）. ,定解 . ax2+b

5、x+c0 a 0 解的争论 . 步骤：正化,求根,标轴,穿线（奇穿偶不穿）特例一元一次不等式axb 解的争论；一元二次不等式（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化,就f x 0f x g x 0;f x 0f x g x 0g x 0g x g x （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1ff x gg x f gf x 02定义域0 03fxgxf g x x 0 0x 2g x 0x x 或f g x x f x g x 2 x x 0 0fx gxfx g（4）. 指数不等式：转化为代数不等式afxag xa10f x g x ;afxag x 0a1f x g x afxb a0,b

6、f x lgalgb（5）对数不等式：转化为代数不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x 学习必备欢迎下载f 00logaf x logag x a1g x 0;logaf x logag x 0a1g x 0f x g x f g x （6）含肯定值不等式1 应用分类争论思想去肯定值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化|fx|gx gg x g x 0ffxggx 0或g f x x 0gx或fxgx |fx|gx x0 x,x 不同时为考点一：不等式的性质名师归纳总结 1、2022 辽宁 如ab,就

7、以下不等式正确选项 . A、11B、a3b3C、a2b2D、abab考点二：均值不等式基本不等式 1、2022 陕西 设0ab,就以下不等式中正确选项 A、abababa2bB、aababa2bbC、abD、ababab222、2022 安徽 如a0,b0,且ab2,就以下不等式对一切满意条件的a 、b 恒成立的是1ab1；2ab2；3a2b22；4a3b33；5112. ab3、2022 太原 如正实数a,b满意ab1,就 A、11有最大值 4B、 ab有最小值1ab4 C、ab有最大值2D、a2b2有最小值224、2022 湖北 已知a0,b0,且ab1,a4,b4,就的最小值为 abA、

8、 8B、 9C、 10D、 12 5、2022 郑州 把一段长 16 米的铁丝截成两端,分别围成正方形,就两个正方形面积之和的最小值为A、 4B、 8C、16D、 32第 3 页,共 9 页考点三：互为倒数型均值不等式运用 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、2022 东北 如Ma2a4aR,a学习必备欢迎下载 0,就 M 的取值范畴为 A、,44,B、,4C、4,D、14,截得的弦长为；2、2022 重庆 如函数fxxx12x2在xa处取得最小值,就a A、12B、13C、 3D、 4考点四：巧用“1” 型 均值不等式运用 1、2022 湖南 设x

9、,yR,且xy0,就x2114y2的最小值为2 yx2；2、2022 太原 已知a、b0,a3b1,就31的最小值为ab4 ,就3、2022 湖北 如0x1,就419x的最小值为 x0A、 24B、 25C、 26D、14、2022 海南 如直线axby20a0,b0被圆x2y22x4y11的最小值是 ab；A、23B、223C、 3D、123考点五：换元型均值不等式运用 1、2022 重庆 已知x、y0,x2y2xy8,就x2y的最小值是 A、 3B、 4C、9D、11222、2022 浙江 如实数x、y满意x2y2xy1,就xy的最大值是考点六：一元多次不等式1、不等式x1xx32x430

10、的解集为； 2、不等式xx24的解集为m,n；23 、 2022东 北 已 知 函 数fx是 奇 函 数 , 且 在,上 为 增 函 数 , 如满 足 等 式fm22 mfn0,就2 mn的最大值是 A、 0B、1C、 4D、 12考点七：不等式的应用名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、2022 银川 对于问题： “ 已知关于学习必备ax2欢迎下载c0的解集为,12,解关于x 的不等式x 的不等式bxax2bxc0” ,给出了如下一种解法：,得ax2bxc0的解集为21,解析：由ax2bxc0的解集为1 2,的解集

11、为021,. ,111 21,即关于 x 的不等式ax2bxc0,就关于 x 的参考上述解法,如关于x 的不等式xkaxb的解集为xc3不等式kx1bx10的解集为；axcx1考点八：线性规划1、2022 三明 已知已知 x 、 y 满意约束条件5xy70,就目标函数zkxyk0 . xx2y2,yA、有最小值,无最大值B、有最大值,无最小值32AC、既无最大值,又无最小值D、既有最大值,又有最小值101232、2022 三明 如下列图, x 、 y 的可行解区域为阴影部分（包括边界部分）第 20 题 已知zaxy的最优解当且仅当在A 处取得,就 a 的取值范畴为；y 32名师归纳总结 3、2

12、022 三明 如下列图, x 、 y 的可行解区域为阴影部分（包括边界部分）,1x如zaxy取得最优解时的可行解的个数为无穷个时,就a 的值为012 3；第 20 题 4、2022 三明 已知 x 、 y 满意约束条件x2y30,就yx1 的取值范畴为xy30； 2xy30就实数 m 的最大值为 xy3,05、2022 福建 .文如直线y2x上存在点x,y满意约束条件x2y30 ,xm ,第 5 页,共 9 页A .1B 1C .3D 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xy30 ,6、2022 福建 .理如函数yx 2 图像上存在点

13、x,y,满意约束条件x2y3,0就实数 m 的最大值为D 2xm ,A .1B 1C.322考点九分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母； 如（1）解不等式2 x52x31（答： 1,12,3 ）；axb0的 解 集 为x（ 2 ） 关 于 x 的 不 等 式axb0的 解 集 为 ,1, 就 关 于 x 的 不 等 式x2_（答：,12,）.|23x|2|x1|（答： xR）；）：如 解不等式考点十肯定值不等式的解法：（1）分

14、段争论法（最终结果应取各段的并集42（2）利用肯定值的定义；（3）数形结合； 如解不等式 |x|x1|3（答： , 12, ）（4）两边平方： 如如不等式 | 3x2 | | 2xa 对 xR恒成立,就实数a 的取值范畴为 _；（答：4）3考点十一含参不等式的解法名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载” 留意解完之后要写上：“ 综上,原求解的通法是“ 定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键不等式的解集是 ”；留意 ：按参数争论,最终应按参数取值分别说明其解集；但如按未知数争论,最终应求并集 .（1

15、）如loga21,就 a 的取值范畴是 _（答：a1或0a2）；33（2） 解不等式ax21x aR ax（答：a0时, x|x0；a0时,x x1或x0；a0时,x|1x0或x0）aa提示：（1）解不等式是求不等式的解集,最终务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值；如关于 x 的不等式axb0的解集为1, ,就不等式x20的解集为 _（答：（ 1,2）axb考点十二含肯定值不等式的性质：a、b同号或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab ；a、b异号或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab . 如设f x x2x13,实数 a

16、 满意 |xa| 1,求证： |f x f a |2|a| 1考点十三不等式的恒成立, 能成立 , 恰成立等问题 ：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法）1. 恒成立问题名师归纳总结 如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D上fxminA第 7 页,共 9 页如不等式fxB在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）设实数,x y 满意x2y2 11学习必备欢迎下载21,）；,当x y c

17、0时,c 的取值范畴是 _（答：（2） 不等式 x 4 x 3 a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范畴 _（答：a 1）；（3） 如不等式 2 x 1 m x 2 1 对满意 m 2 的全部 m 都成立,就 x 的取值范畴 _ 7 1 3 1（答：（,）；2 2n 1（4）如不等式 1 na 2 1 对于任意正整数 n 恒成立,就实数 a 的取值范畴是 _ n（5）（答： 2, 3）；2（5） 如不等式 x 22 mx 2 m 1 0 对 0 x 1 的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 . （答：m 1）22. 能成立问题如在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x A 成

18、立 , 就等价于在区间 D上 f x max A ；如在区间 D 上存在实数 x使不等式 f x B 成立 , 就等价于在区间 D 上的 f x min B . 如已知不等式 x 4 x 3 a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴（答：a 1）3. 恰成立问题如不等式 f x A 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式 f x A 的解集为 D ；如不等式 f x B 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式 f x B 的解集为 D . 考点十四柯西不等式1已知 xx2y1 ,求x22 y 的最小值x 的值2如01,f 114x,求f x 的最小值,并求此时x名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3已知x y zR ,且xyz3,求x2学习必备欢迎下载y22 z 的最小值4已知 a 2+b 2+c 2=1a,b,c R ,求 a+b+c 的最大值5已知实数a b c d 满意abcd3,a22 b23 c26 d25,求a的最大值和最小值名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页