2022年高考专题解析几何常规题型及方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3-4 题1-2 个挑选题 , 0-1 个填空题 , 1 个解答题 , 共计 20多分 , 考查的学问点约为 20 个左右,其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查；挑选题和填空题考查直线 , 圆 , 圆锥曲线中的基础学问,大多概念性较强,小巧敏捷,思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程,以向量为载体,立意新奇,要求同学综合运用所学代数、三角、几 何的学问分析问题,解决问题；二、

2、本章节处理方法建议：纵观 20XX 年全国各省市18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、挑选题难度不大,中等及偏上的同学能将对应分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不抱负,其缘由主要表达在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完善结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等学问,形成了轨迹、最值、对称、范畴、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 才能要求最高的内容之一（2）解析几何的运算量相对偏大（3）在大家的“ 拿可拿之分”的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题（有 时 2

3、0 题）就成了许多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍；鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面1由于高考中解几内容弹性很大；有简洁题,有中难题；因此在复习中基调为狠抓基础；不能由于高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失；端正心态：不盼望将全部的题攻 下,将时间用在巩固基础、应付“ 跳一跳便可够得到” 的常规题上,这样复习,高考时就 能保证第一将挑选、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,其次小题能拿几 分算几分；三、高考核心考点 1、精确懂得基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）2、娴熟把握基本公式（如两点间距离公式、点到直线

4、的距离公式、斜率公式、定比分点的 坐标公式、到角公式、夹角公式等）3、娴熟把握求直线方程的方法（如依据条件敏捷选用各种形式、争论斜率存在和不存在的 各种情形、截距是否为 0 等等）4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以削减运算 5、明白线性规划的意义及简洁应用 6、熟识圆锥曲线中基本量的运算 7、把握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数 法、交轨法、几何法、待定系数法等）8、把握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解 决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面（1）中点弦问题名师归纳总结

5、 x2,具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为x1,y 1,第 1 页,共 12 页y2,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 典型例题给定双曲线 x2y2学习必备欢迎下载P1及 P2,1 ；过 A （2,1）的直线与双曲线交于两点2求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程；分析：设 P 1x1,y 1 , P 2x2,y2 代入方程得 x2y2 11 , x2y2 21；1222两式相减得x1x 2x 1x21y 1y2y 1y20 ；2y代入,当 x 1x2时得

6、2又设中点 P（x,y）,将 x1x22x, y1y 22x2yy 1y20；2x 1x2又 ky1y2y1,10；xx2x2代入得 2x2y24xy当弦 P P 1 2斜率不存在时,其中点P（2,0）的坐标也满意上述方程；因此所求轨迹方程是2x2y24xy0说明：此题要留意思维的严密性,必需单独考虑斜率不存在时的情形；变式练习：给定双曲线 2x 2 - y 2 = 2 ,过点 B1,1 能否作直线 L,使 L 与所给双曲线交于两点 Q1、Q2 两 点,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点？假如直线 L 存在,求出它的方程 ;假如不存在 ,说明理由 .（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与

7、两个焦点F1、 F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥；名师归纳总结 典 型 例 题设Px,y 为 椭 圆x a2 2y21 上 任 一 点 , F 1c, , F2 , 为 焦 点 ,第 2 页,共 12 页b2PF F 2,PF F 1；r2sin2 c；esinsin（ 1）求证离心率sin（ 2）求 |PF 13 |PF2| 3 的最值；r2,由正弦定理得r1分析：（ 1）设 |PF 1|r 1, | PF2sinsin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得sinr 1r2sin2 c学习必备2欢迎下载,sinecsinsinasin2a32

8、 6 ae x；（2） aex 3aex3当 x0时,最小值是 2a ；32 36 e a ；当xa时,最大值是 2 a3变式练习：设 F1 、 F2 分别是双曲线x2y21（ a0,b0）的左、右两个焦点,P 是双曲线上的a2b2一点,如 P= ,求证： S =b2 cot2（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式,应特殊留意数形结合的方法 典型例题抛物线方程y2p x1 p0 ,直线xyt 与 轴的交点在抛物线准线的右边；（ 1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（ 2）设直线与抛物线的交点为A、B,且 OA OB

9、 ,求 p 关于 t 的函数 ft 的表达式；（1）证明：抛物线的准线为1：x1p0t1p,而4tp404由直线 x+y=t 与 x 轴的交点（ t, 0）在准线右边,得4由x2yt1 消去 得x22tp xt2p yp x2tp24t2pp 4 tp4 0故直线与抛物线总有两个交点；名师归纳总结 （ 2）解：设点Ax 1,y1,点 Bx 2,y2 第 3 页,共 12 页x1x22tp,x x 12t2pOAOB,kOAkOB1就 x x 12y y 120又 y y 12tx1tx2x x 12y y 12t2t2 p0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - pf t 4ttt240得函数f t 学习必备欢迎下载,00,2又p0,p的定义域是2变式练习：2 2直线 y=ax+1 与双曲线 3xy =1 交于两点 A、 B 两点1 如 A 、B 都位于双曲线的左支上,求 a 的取值范畴2 当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆经过坐标原点？（4）圆锥曲线的有关最值（范畴）问题圆锥曲线中的有关最值（范畴）问题,常用代数法和几何法解决； 如命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决； 如命题的条件和结论表达明确的函数关系式,就可建立目标函数（通常利用二次函数,三角函数,均值不等式）求最值；典型例题已知抛物线y2=2pxp0 ,过M

11、（a,0）且斜率为1 的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B,|AB|2p （1）求 a 的取值范畴；（2）如线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 N,求 NAB 面积的最大值；名师归纳总结 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于（1）,可以设法得到关于a 的不第 4 页,共 12 页等式,通过解不等式求出a 的范畴,即：“求范畴,找不等式” ；或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范畴；对于（2）第一要把NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想” ；解： 1直线 L 的方程为： y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程y

12、2=2px,得：设直线L 与抛物线两4ap4a20交点的坐标分别为A （x1,y1）,Bx 2,y2,就x 1x22ap ,又 y1=x 1-a,y2=x 2-a, x 1x2a2|AB|x 1x22y1y222 x 1x 224x 1x28p p2 a 0|AB|2p , 8pp2 a,008p p2 a 2p ,解得 :pap.242 设 AB 的垂直平分线交AB 与点 Q,令其坐标为（x 3,y3）,就由中点坐标公式得：x3x 12x2ap, y3y12y2x 1a2x2ap .所以 |QM|2=a+p-a2+p-02=2p2.又 MNQ 为等腰直角三角形,所以|QM|=|QN|=2P,

13、所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - SNAB =1|AB|QN|2p|学习必备欢迎下载2p2,即NAB面积的最大值为AB|2p2p2222P2；变式练习：双曲线x2y21（a0,b0）的两条准线间的距离为3,右焦点到直线x+y-1=0 的距a2b2离为2 2（1）求双曲线的方程（ 2）设直线y=kx+mk0 且 m0 与双曲线交于两个不同的点C、 D,如A0,-1 且AC = AD ,求实数 m 的取值范畴（5）求曲线的方程问题1曲线的外形已知- 这类问题一般可用待定系数法解决；典型例题已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正

14、半轴上；如点 A（-1,0）和点 B（0,8）关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程；分析：曲线的外形已知,可以用待定系数法；设出它们的方程,L ：y=kxk 0,C:y 2=2pxp0 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A /、B /,就利用对称性可求得它们的坐标分别为：2 2A /（k2 1, 22 k）, B（162 k, 8 k2 1）；由于 A 、B 均在抛物线上,代入,消去k 1 k 1 k 1 k 1p,得： k 2-k-1=0. 解得： k= 1 5,p= 2 5. 2 5所以直线 L 的方程为： y= 1 5x,抛物线 C 的方程为 y 2= 4

15、 5x. 2 5变式练习：在面积为1 的 PMN 中, tanM=1,tanN=-2, 建立适当的坐标系,求出以M 、N 为焦点且2过点 P 的椭圆方程；名师归纳总结 2曲线的外形未知- 求轨迹方程C：x2+y2=1, N Q M 第 5 页,共 12 页典型例题已知直角坐标平面上点Q（ 2,0）和圆O - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0）,求动点 M 的轨迹方程,并说明它动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ|的比等于常数（是什么曲线；分析：如图,设MN 切圆 C 于点 N,就动点M 组成的集合是：P=M|MN|=|MQ| ,由平面

16、几何学问可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1,将M 点坐标代入,可得：2-1x2+y2-42x+1+42=0. 当=1 时它表示一条直线；当 1 时,它表示圆；这种方法叫做直接法；变式练习：3x过抛物线y2=4x 的焦点F 作斜率为k 的弦 AB ,且 AB 8,此外,直线AB 和椭圆2+2y2=2 交于不同的两点；（1）求直线 AB 的斜率 k 的取值范畴（2）设直线 AB 与椭圆相交于C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线

17、形内；（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）2 2x y典型例题 已知椭圆 C 的方程 1 ,试确定 m 的取值范畴,使得对于直线4 3y 4 x m,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称；分析：椭圆上两点 x 1 , y 1, x 2 , y 2 ,代入方程,相减得 3 x 1 x 2 x 1 x 2 4 y 1 y 2 y 1 y 2 0 ；又 x x 1 x 2, y y 1 y 2, k y 1 y 2 1,代入得 y 3 ；2 2 x 1 x 2 4y 3 x又由 解得交点 m , 3 m ；y 4 x m2 2 m 3 m 2 13 2 13交点在椭圆内,就有 1 ,得 m；4

18、 3 13 13变式练习：为了使抛物线y1 2x1上存在两点关于直线ymx对称,求 m 的取值范畴；（7）两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径相互垂直问题,常用k1k 2y 1y 21来处理或用向量的坐标运x 1x 2算来处理；名师归纳总结 典型例题已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P2 0 ,抛物线 C y24x1 ,直线 l 与第 6 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抛物线 C 有两个不同的交点（如图）；（ 1）求 k 的取值范畴；（ 2）直线 l 的倾斜角为何值时, A、B 与抛物线P A y B x C 的焦点

19、连线相互垂直；分析：（ 1）直线 yk x2 代入抛物线方程得2 k x24k24x4k240,O 由0,得1k1 k0 ；-2,0 （ 2）由上面方程得x x24k224 ,ky y2k2x 12x224,焦点为 O , 0 0 ；由 k OAk OBy y2kk211,得x x22k2,arctan2或arctan2222变式练习：经过坐标原点的直线l与椭圆 x63 2y21相交于A、 B 两点,如以AB 为直径的2圆恰好通过椭圆左焦点F,求直线 l 的倾斜角；B:解题的技巧方面在教学中,同学普遍觉得解析几何问题的运算量较大；事实上,假如我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程,以

20、及运用“ 设而不求” 的策略,往往能够削减运算量；下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的争论对象就是几何图形及其性质,所以在处懂得析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何学问,这往往能削减运算量；名师归纳总结 典型例题设直线 3 x4ym0与圆 x2y2x2y0 相交于 P、Q 两点, O 为坐第 7 页,共 12 页标原点,如 OPOQ ,求 m 的值；解：圆 x2y2x2y0 过原点,并且OP OQ ,PQ 是圆的直径,圆心的坐标为M 1,1 2又 M 1,1 在直线 3 x4ym0上,23141m0,m5即为所求；22- - - - - - -精选学习

21、资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载、Q x2OP2OQ ,PQ 是圆的直评注：此题如不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且径,圆心在直线3 x4ym0上,而是设P x 1,y1,y再由 OP OQ 和韦达定理求 m,将会增大运算量；变式练习：已知点 P（5,0）和圆 O： x2y216 ,过 P 作直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,求弦AB 中点 M 的轨迹方程；评注：此题如不能挖掘利用几何条件OMP90 ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法,运算量将很大,并且比较麻烦；二. 充分利用韦达定理及“ 设而不求” 的策略我们常常设出弦的端点坐

22、标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到；xx1相交于 P、Q 两点,典型例题已知中心在原点O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线y且 OP OQ , |PQ|10,求此椭圆方程；1 与 椭 圆 相 交 于2解 ： 设 椭 圆 方 程 为 ax2by21 ab0 , 直 线 yP x 1,y1、 Q x2,y2两点；由方程组yx11消去 y 后得2 axby2ab x22 bxb10x 1x2a2 bb,x x2b1ab由 kOPkOQ1,得 y y2x x 2（1）又 P、Q 在直线 yx1上,y1x11, y2x21, y y2x11 x21 x x2x 1x2

23、1把（ 1）代入,得 2x x2x1x210,即2b1 2b10abab化简后,得名师归纳总结 ab|210（ 4）x 1x22y 1y225第 8 页,共 12 页,得 由 |PQ22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1x 225,x1x 2学习必备欢迎下载324x x25 4,452 bb24b1 aab40,解得 b1 2或 b把（ 2）代入,得 4 b28 b32代入（ 4）后,解得 a3 2或 a12由 ab0,得 a3,b1 2；2所求椭圆方程为3x2y2122评注：此题充分利用了韦达定理及“ 设而不求” 的策略,简化了运算；变式练习：如

24、双曲线方程为x2y2AB1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,a2b2设 AB 、OM 的斜率分别为k、kOM,就 kABkOMb2a2三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以防止求曲线的交点,因此也可以削减运算；典型例题求经过两已知圆C1：x20y24x2y0和 C2：x2y22y40 的交点,且圆心在直线l ： 2 x4y1上的圆的方程；解：设所求圆的方程为：x2y24x2yx2y22y4 00,1,代入所设圆的方程得即 1x21y24x2 1y4,1）110,解得其圆心为 C（1212124又 C 在直线 l 上,13x2y23xy10 为所求；评注：此题因

25、利用曲线系方程而防止求曲线的交点,故简化了运算；变式练习：某直线 l 过直线 L1： x-y-12=0 和 L 2： 7x-y+28=0 的交点,且倾斜角为直线 L 1 的倾斜 角的一半,求此直线 l 的方程 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 典型例题P 为椭圆x2y21学习必备欢迎下载B 为短轴的上端点,求四上一动点, A 为长轴的右端点,a2b2边形 OAPB 面积的最大值及此时

26、点P 的坐标；变式练习：已知 Px, y是椭圆 x24y2=1 上任一点,试求P 到直线 x + y 2 = 0的最小值及此时P的坐标；五、线段长的几种简便运算方法 充分利用现成结果,削减运算过程一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程ykxb 代入圆锥曲线方程中,得到型如ax2bxc0的方程,方程的两根设为x A, xB,判别式为 ,就 |AB |1k2 |xAx B|1k2|,如直接用结论,能削减配方、开方等运算a过程；例求直线 xy10 被椭圆 x24y216 所截得的线段AB 的长； 结合图形的特殊位置关系,削减运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都

27、涉及焦点,结合图形运用圆锥曲 线的定义,可回避复杂运算；|例|2 F1、 F2是椭圆 x 25y21 的两个焦点,AB 是经过 F1的弦,如 |AB|8 ,求值9F2A|F 2B| 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例点 A （3, 2）为定点,点F 是抛物线 y24x的焦点,点P 在抛物线 y24x上移动,如 |PA| |PF 取得最小值,求点P 的坐标；五、高考试题选编1. 过抛物线 y26 的焦点 F,作弦 ABx 轴于 A、B 两点,就弦长AB 等于（） A. 6 B. 18 C. 6 2 D. 36 名师归纳总结 2. 如直线 ykx1 与焦点在x 轴上的椭圆x2y

28、21总有公共点,就实数m 的取值范畴第 10 页,共 12 页5m是（）5 A. （0,5） B. （ 1,5） C. 1,5 D. 1,3. 直线 yx1 被椭圆 3 x24y212所截得的弦的中点坐标是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 A. 4,3 B. 4,11 C. 8,1 D. 8,15 7 7 7 7 7 7 7 724. 过点 A 1,5 引抛物线 y x 的一条弦,使该弦被 A 点平分,就该弦所在直线方程为2 4（） A. 4 x 2 y 1 0 B. x 2 y 4 0 C. 4 x 2 y 9 0 D. x

29、2 y 6 05. 设 x,y R 且 3 x 2 4 y 2 12,就 x 2 y 2的最大值与最小值分别是（） A. 2,3 B. 4,2 3 C. 4,3 D. 8 ,6 26. P 是抛物线 y x 上的点, F 是抛物线的焦点,就点 P 到 F 与 P 到 A 3,1 的距离之和的最小值是（） A. 3 B. 13 4 C. 4 D. 7 27.已知圆C:xa2x2 24 a0及直线l:xy30. 当直线l被C 截得的弦长为23时,就 a=（）21 D 21A 2 B22 C,直线yx1 与其相交于M 、 N803 全国 已知双曲线中心在原点且一个焦点F7,0两点, MN 中点的横坐

30、标为2,就此双曲线的方程是（）3A x2y21Bx2y213443Cx2y21 D x2y215225903 江苏 已知长方形四个顶点A （0,0）, B（2,0）, C（2,1）和 D（0,1）,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 的方向射到BC 上的点 P1 后,依次反射到CD 、DA和 AB 上的点 P2、P3 和 P4（入射角等于反射角）.设 P4 的坐标为（ x4,0）.如 1 x 42,就名师归纳总结 tan 的取值范畴是x（） D 2,2第 11 页,共 12 页A 11, B1,2 C2,1333525310 03 广东 （双曲线虚轴的一个端点为M ,两个焦点为F

31、 1、F 2,F1MF2120,就双曲线的离心率为（） C. 6 3 D. 3 3 A. 3 B. 6211. 直线 ykx1与抛物线 y1 242 只有一个公共点,就k 的值为 _；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载C 的方程 _；12. 曲线 C： yx2 2 关于直线 xy30 对称的曲线13 03 年上海 给出问题：F 、F2是双曲线x2y21的焦点,点P 在双曲线上；如点1620P 到焦点 F1的距离等于9,求点 P 到焦点 F2的距离PF 2_；某同学的解答如下：双曲线的实轴长为8,由PF 1PF28,即9PF 28,得PF

32、 21或 17；该同学的解答是否正确？如正确,请将他的解题依据填在上面空格内；如不正确,将正确结果填在上面空格内；14. 03 年上海 在以O 为原点的直角坐标系中,点A ,3 为OAB 的直角顶点,已知AB2OA,且点 B 的纵坐标大于零；（1）求向量 AB 的坐标；（2）求圆 x 2 6 x y 2 2 y 0 关于直线 OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数 a ,使抛物线 y ax 2 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点？如不存在,说明理由；如存在,求 a 的取值范畴；2 2 2 15. 已知抛物线 C： y x 2 m x 2 m 1 m R （ 1）求证：抛物线 C 与 x 轴交于肯定点 M ；（ 2）如抛物线与 x 轴正半轴交于 N,与 y 轴交于 P,求证： PN 的斜率是一个定值；（ 3）当 m 为何值时,三角形PMN 的面积最小,并求此最小值；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页