2022年平面解析几何知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x 轴相交的直线,假如把x 轴围着1直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与（2）直线的斜率：交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为2,y2叫做直线的倾斜角 . ）. 倾斜角0, 180,90 斜率不存在 . ky2y 1x 1x2,ktan（P x 1,y 1、P xx2x12直线方程的五种形式：（ 1）点斜式：y y 1 k x x 1 直线 l 过点 P 1 x 1 , y 1 ,且斜率为 k 注：当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x x 0（ 2）斜截式：y k

2、x b b 为直线 l 在 y 轴上的截距 . （ 3）两点式：y y 1 x x 1 y 1 y ,x 1 x . y 2 y 1 x 2 x 1注： 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线； 方程形式为： x 2 x 1 y y 1 y 2 y 1 x x 1 0 时,方程可以表示任意直线（ 4）截距式：x y 1（a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a 0 b 0）a b注：不能表示与 x 轴垂直的直线, 也不能表示与 y 轴垂直的直线, 特殊是不能表示过原点的直线（ 5）一般式：AxByC0 其中 A、 B不同时为 0 一般式化为斜截式：注：（1）已知直线纵截距已知直线横截距

3、yAxC,即,直线的斜率：kABBBb ,常设其方程为ykxb 或x00x ,常设其方程为xmyx 直线斜率 k 存在时, m 为 k 的倒数 或y0x0,y 0,常设其方程为yk xx0y 或xx 已知直线过点（2）解析几何中讨论两条直线位置关系时,两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合3直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. 1. 20（1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点（3）直线两截距肯定值相等直线的斜率为1或直线过原点4两条直线的平行和垂直：（1）如l1:yk xb ,l2:yk xb 2l1/l

4、2k 1k2,b 1b2；l1l2k k 2（2）如l1:A 1xB 1yC 10,l2:A 2xB2yC20,有B 1Bl1/l2A 1B2A 2B 1且A 1C2A 2C 1l1l2A 1A25平面两点距离公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - P x 1,y 1、P 2x2,y 2 ,学习必备x 1x 2欢迎下载y22x轴上两点间距离：P 1P 22y 1ABx BxAMx0y0,就x0x 12x2线段P 1P 2的中点是y0y1y226点到直线的距离公式：点Px 0y0到直线l：AxByC0的距离：dAx 0

5、A2By 02CB7两平行直线间的距离：两条平行直线l1：AxByC 10,l2：AxByC20距离：dC 1C22A 2B8直线系方程：（1）平行直线系方程：A x 直线 ykxb 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程 与直线l:AxByC0平行 的直线可表示为AxByC 10 过点P x0,y 0与直线l:AxByC0平行 的直线可表示为：x 0B yy 00（2）垂直直线系方程：B x 与直线l:AxByCl:0垂直 的直线可表示为BxAyC 10 过点P x 0,y 0与直线AxByC0垂直 的直线可表示为：x 0A yy 00（3）定点直线系方程： 经过定点P x0,

6、y0的直线系方程为yy 0k xx 0 除直线xx , 其中 k是待定的系数 经过定点P x0,y0的直线系方程为A xx0B yy 00, 其中A B 是待定的系数名师归纳总结 （4）共点直线系方程：经过两直线l1：A 1xB 1yC10,l2：A2xyB2yC20交第 2 页,共 8 页点的直线系方程为A 1xB 1yC1A 2xB2C20 除- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2l ,其中 是待定的系数9曲线C 1:f x y0与C2:g x y0的交点坐标方程组f x y , g x y , 0 0的解10圆的方程：（ 1）圆的

7、标准方程：xa2yb2r2（rD0）24F0 （ 2）圆的一般方程：x2y2DxEyFE0 2（ 3）圆的直径式方程：如A x 1,y 1,B x 2,y 2,以线段 AB 为直径的圆的方程是：4Fxx 1xx2yy 1yy20注： 1 在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是D,E,r1D2E2222（2）一般方程的特点：2 x 和2 y 的系数相同且不为零；没有 xy项； D2E24F0（3）二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的等价条件是：AC0；B0；D2E24AF011圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时,设弦长为l ,弦心距为 d ,半径为 r ,就：“ 半弦长

8、2 +弦心距2 =半径2 ” l2d2r2；2（2）代数法：设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为A x 1,y 1,Bx 2,y2,就|AB|1k2|x AxB|11|yAyB|y 或 x ,利用韦达定理求k2（其中|x 1x2|,|y 1y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去解）名师归纳总结 12点与圆的位置关系：点Px 0y0与圆xa2ryb2r2的位置关系有三种第 3 页,共 8 页 P 在在圆外drx0a2y0b2r2【 P 到圆心距离 P 在在圆内drx0a2y0b22 P 在在圆上drx0a2y0b2r2dax 02 by 02】- - - - - - -精选学习资料 -

9、- - - - - - - - 学习必备 欢迎下载13直线与圆的位置关系：直线 Ax By C 0 与圆 x a 2 y b 2r 2的位置关系有三种Aa Bb C d 2 2 : A B圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去 x（或 y ）后,所得一元二次方程的判别式为d r 相离 0；d r 相切 0；d r 相交 014两圆位置关系 : 设两圆圆心分别为 O 1,O 2,半径分别为 r 1,r 2,O 1 O 2 dd r 1 r 2 外离 4 条公切线；d r 1 r 2 内含 无公切线；d r 1 r 2 外切 3 条公切线；d r 1 r 2 内切 1 条公切线；r 1

10、r 2 d r 1 r 2 相交 2 条公切线15圆系方程：x 2y 2Dx Ey F 0 D 2E 2 4 F 0 （1）过点A x 1,y 1,B x 2,y2的圆系方程：xx 1y 1y2yy 1x 1x2c00是直xx 1xx 2yy 1yy2xx 1xx 2yy 1yy2axbyc 0, 其中axby线 AB 的方程名师归纳总结 （2）过直线l：AxByC0与圆 C :x2y2DxEyF0的交点的圆系方程：第 4 页,共 8 页x2y2DxEyFAxByC0, 是待定的系数（3）过圆C :x2y2D1xE 1yF 10与圆C :x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程：x2y2D1

11、xE1yF 1x2y2D2xE2yF20, 是待定的系数特殊地,当1时,x2y2D xE yF 1x2y2D xE yF 20就是D 1D2xE 1E2yF 1F20表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载交点的直线16圆的切线方程：（1）过圆 x 2y 2r 2上的点 P x 0 y 0 的切线方程为 : x 0 x y 0 y r 2（2）过圆 x a 2 y b 2r 2上的点 P x 0y 0 的切线方程2为: x a x 0 a y b y 0 b r2 2（3）过圆 x y Dx Ey F

12、 0 上的点 P x 0y 0 的切线方程为 : x x y y D x 0 x E y 0 y F 02 24 如 P x , y 是圆 x 2y 2r 2外一点 , 由 P 0x , 0y 向圆引两条切线 , 切点分别为 A,B2就直线 AB的方程为 xx 0 yy 0 r5 如 P x , y 是圆 x a 2 y b 2r 2外一点 , 由 P 0x , y 向圆引两条切线 , 切2点分别为 A,B 就直线 AB的方程为 x 0 a x a y 0 b y b r（6）当点 P x 0y 0 在圆外时,可设切方程为 y y 0 k x x 0 ,利用圆心到直线距离等于半径,即dr,求出

13、 k ；或利用0,求出k如求得k只有一值,就仍有一条斜率不存在的直线xx0F 10与x2y2D2xE2yF20方程相减17 把两圆x2y2D 1xE1y即得相交弦所在直线方程:D1D2xE 1E2yF1F2018空间两点间的距离公式:,就 ABx 2x 12 y 2y 12z 2z 12 如 Ax y z 1, Bx 2,y2,z 219、简洁线性规划（确定可行域,求最优解,建立数学模型）、目标函数： 要求在肯定条件下求极大值或微小值问题的函数；用关于变量是一次不等式（等式）表示的条件较线性约束条件；、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题二、轨迹问题 一 求轨迹的步骤p（x,y

14、）1、建模：设点建立适当的坐标系,设曲线上任一点2、立式：写出适条件的p 点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （ x,y）=0 4、化简：化成简洁形式,并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上（二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁,按五步去直接求出轨迹名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义 3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题 4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题；用一个变量分别表示

15、两条动直线,然后联立,消去变量即可；5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标,联立消参；6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线,再参考参数法,找到轨迹方程；三、椭圆 椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：PF 12PF 22 2 aF F 2或其次定义：PF0ec0e1da2、标准方程：x ay21 ab0y2x21 ab；2b2a2b23、参数方程x yacos（为参数）几何意义：离心角bsin4、几何性质： （只给出焦点在、顶点 a ,0,0,b 、焦点 c ,0x 轴上的的椭圆的几何性质）、离心率ec0e10）a准线：x

16、a2（课改后对准线不再要求,但题目中有时给出）c5、焦点三角形面积：SPF F 1 2b 2 tan2（设F PF2）6、椭圆面积：S 椭a b（明白即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0）；相切（判定方法：直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判定根的个数8、椭圆切线的求法名师归纳总结 1）切点（x y ）已知时,x2y21 ab0切线x xy y12b2第 6 页,共 8 页a2b2a2b22）切线斜率k 已知时,y2x21 ab0切线1y yx xa2b2a2b2x2y21 ab02 a kykx切线a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

17、- 学习必备x2欢迎下载0切线ykxb k 22a2y21 aba2b29、焦半径：椭圆上点到焦点的距离x2y21 ab0raex （左加右减）a2b2y2a21 ab0raey （下加上减）a2b2四、双曲线1、定义：PF 1x2PF 22 a其次定义：PFece1asec ,btanda2y2、标准方程：0,b0（焦点在 x 轴）21 aa2b参数方程：y2x20,b0（焦点在y 轴）P21 aa2bsec tan（xa为参数） 用法：可设曲线上任一点yb3、几何性质 顶点 a,0ec2a2b20ybx或x2y20 焦点 c,0ec a 离心率1 准线xa2y21 a0,bc 渐近线x2a

18、2b2aa2b2y2x21 a0,b0ybx或y2x20a2b2aa2b24、特殊双曲线名师归纳总结 、等轴双曲线x2y21e2渐近线 yx第 7 页,共 8 页22aa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、双曲线x2y21学习必备2 x欢迎下载1的共轭双曲线y2a2b2a2b2性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线 性质 2：双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 5、直线与双曲线的位置关系 相离（0）； 相切（0）； 相交（0）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 0时可以是相交也可以是相切 6、焦半径公式x2y21 a0,b0点 P

19、在右支上rrex 0a （左加右减）a2b2点 P 在左支上ex 0a （左加右减）y2x21 a0,b0点 P 在上支上rey 0a （下加上减）a2b2点 P 在上支上rey 0a （下加上减）7、双曲线切线的求法名师归纳总结 切点 P x 0,y 0已知x2y21 a0,b0切线x xy yk1b第 8 页,共 8 页a2b2a2b2y2x21 a0,b0切线y yx x1a2b2a2b2 切线斜率 K 已知x2y21ykxb2 2 a k2a22 bay2x21ykxa22 b k2 kb22aba8、焦点三角形面积：SPF F 1 2b 2 cot2（为F PF ）（重要）弦长公式：ykxb 与曲线交与两点A、B 就dABx 2x 11k2y 2y 111k2- - - - - - -