2022年高考数学一轮复习精品学案――直线与圆锥曲线的位置关系.docx

《2022年高考数学一轮复习精品学案――直线与圆锥曲线的位置关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮复习精品学案――直线与圆锥曲线的位置关系.docx（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX年高考数学一轮复习精品学案（人教版 A 版）直线与圆锥曲线的位置关系一【课标要求】1通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想；2把握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题 .二【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置,且挑选、弦长等； 分析 填空也有涉及, 有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、这类问题,往往利用数形结合的思想和“ 设而不求” 的方法,对称的方法及韦达定理等；猜测 20XX 年高考：1会显现 1 道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题；2

2、与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题,等轴双曲线基本不出题,坐标轴平移或平 移化简方程一般不出解答题,大多是以挑选题形式显现 .三【要点精讲】1点 Mx0, y0与圆锥曲线 C：fx,y=0 的位置关系2直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类：无公共点, 仅有一个公共点及有 两个相异公共点 .直线与圆锥曲线的位置关系的争论方法可通过代数方法即解方程组的方法来争论；由于 方程组解的个数与交点的个数是一样的 .直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说,平行于对 称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切； 对于双曲线来说, 平行于渐近线的直线与

3、 双曲线只有一个交点,但并不相切这三种位置关系的判定条件可引导同学归纳为：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件3直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线： Fx,y=0,它们的交点为P1 x1,y1,P2 x2,y2,且由Fx ,y0,消去 yax 2+bx+c=0（a 0）, =b 2 4ac；ykxn就弦长公式为：d=x 1x 22y 1y22=1k2x 1x 22=1k = 1|k2；

4、a2a|焦点弦长：| PFd点 F 的准线的距离,|e（点 P 是圆锥曲线上的任意一点,F 是焦点, d 是 P 到相应于焦e 是离心率）；四【典例解析】题型 1：直线与椭圆的位置关系例 1已知椭圆：x2y21,过左焦点F 作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B 两点,9求弦 AB 的长 .名师归纳总结 解析： a=3,b=1,c=22 ,就 F（-22 ,0）；2x150；第 2 页,共 9 页由题意知：l:y1x22与x2y21联立消去 y 得：4x21293设 A（x 1y1、B（x2y2,就x 1, x2是上面方程的二实根, 由违达定理,x1x232,x 1x215,x Mx 12x2322

5、又由于 A、B、F 都是直线 l 上的点,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 |AB|=11|x 1x2|学习必备x 1欢迎下载4x 1x22181522 3x2233点评：也可让同学利用“ 焦半径” 公式运算；例 2中心在原点,一个焦点为F1（0,50 ）的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐；标为1 ,求椭圆的方程 2.解析：设椭圆的标准方程为x2y21 ab0,由 F1（0, 50 ）得a2b250a2b2把直线方程y3x2代入椭圆方程整理得：a29 b2x212 b2xb24a20设弦的两个端点为Ax1,y 1,Bx2,y2,就由根与系数的

6、关系得：x 1x2a12b22,又 AB 的中点横坐标为1 ,2x 12x2a26b22129b9 b2a23b2,与方程a2b250联立可解出a275 ,b225故所求椭圆的方程为：x2y21；7525点评：依据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,求出中点的横坐标,再由F1（ 0,50 ）知, c=50 ,a2b250,最后解关于 a、b 的方程组即可 .例 3（2022 北京理）点 P 在直线 l : y x 1 上,如存在过 P 的直线交抛物线 y x 于 2A B两 点 , 且 | PA | AB |, 就 称 点 P 为 “点 ” , 那 么

7、 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A直线 l 上的全部点都是“点”B直线 l 上仅有有限个点是“点”C直线 l 上的全部点都不是“点”D直线 l 上有无穷多个点（点不是全部的点）是“点”【解析】 此题主要考查阅读与懂得、信息迁移以及同学的学习潜力 , 考查同学分析问题和解决问题的才能 . 属于创新题型 .此题采作数形结合法易于求解,如图,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设A m n,P x x1,学习必备欢迎下载就B2 mx ,2nx2,08 m28 m（1）0恒A B在yx2 上 ,2nxn2 mmx 21

8、2消去 n,整理得关于x 的方程x24m1x2m2154m2 142m21成立,方程（ 1）恒有实数解,应选 A.【答案】 A例 4已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22,0）和 F 2（22 , 0）,长轴长为6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段AB 的中点坐标；解析：设椭圆C 的方程为x2y21,a2b2由题意 a=3,c=22 ,于是 b=1.椭圆 C的方程为x2y 219yx2由x2y21得 10x 236x270,9由于该二次方程的判别式 0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,就 x1x218,9,1）5故线段 AB 的中点

9、坐标为（55点评：此题主要考查椭圆的定义标准方程,题型 2：直线与双曲线的位置关系直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5（1）过点P 7,5与双曲线x2学习必备1欢迎下载y2有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出725它们的方程；（2）直线 y kx 1 与双曲线 3 x 2y 2 1 相交于 A 、B 两点,当 a 为何值时, A 、B在双曲线的同一支上？当 a 为何值时, A、B 分别在双曲线的两支上？解析：（ 1）解：如直线的斜率不存在时,就 x 7,此时仅有一个交点

10、 7,0 ,满意条件；如直线的斜率存在时,设直线的方程为 y 5 k x 7 就 y kx 5 k 7,2 2x kx 5 k 71,25 x 27 kx 5 k 7 27 25,7 252 2 225 7 k x 7 2 kx 5 k 7 5 k 7 7 25 0,当 k 5 7时,方程无解,不满意条件；7当 k 5 7 时, 2 5 7 x 10 75 方程有一解,满意条件；7当 k 2 25时,令 14 5 k 7 2425 7 k 25 k 7 2165 0,7化简得： k 无解,所以不满意条件；所以满意条件的直线有两条 x 7 和 y 5 7x 10；7（2）把 y kx 1 代入

11、3 x 2y 2 1 整理得： 3 a 2 x 22 ax 2 0 （ 1）当 a 3 时,24 4 a 2；由 0 得 6 a 6 且 a 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点；如 A、B 在双曲线的同一支,须 x 1 x 2 2 20 ,所以 a 3 或 a 3；a 3故当 6 a 3 或 3 a 6 时, A、B 两点在同一支上；当 3 a 3 时, A、 B两点在双曲线的两支上；名师归纳总结 点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种；一种是与渐近线平行的两条与双曲线交第 5 页,共 9 页于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线也有两条.例 5（1）求直线yx1被双曲线x2y2

12、1截得的弦长；4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备2欢迎下载截得的弦中点轨迹方程. （2）求过定点 0,1 的直线被双曲线xy214名师归纳总结 x22 y1kx1,第 6 页,共 9 页4解析：由yx1得4x2x1240得3x22x50（ *）设方程（ * ）的解为x x ,就有x 1x 22,x x 25得,33d2 |x 1x2|2 x 1x 224x x 2242082933（2）方法一：如该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,就设直线的方程为y它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为P x y ,ykx1由2 xy21 得4k2x22kx

13、50（* ）4设方程（ * ）的解为x x ,就4k2204k20,16k280,|k|5,且x 1x242 k2,x x2452,kkx1x 1x 24k2,y1y 1y21x 1x 21442,2k22kx4kk2y442k得42 xy2y0y4或y0；方法二：设弦的两个端点坐标为A x 1,y 1,B x 2,y 2,弦中点为P x y ,就42 x 1y 1244x22y224得：4x 1x 2x 1x 2y 1y 2y 1y 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1y24x 1x2学习必备4x欢迎下载yx 1x2y 1y2|,|即x2y1

14、,|即4x2y 1y2y2y0（图象的一部分）点评：（ 1）弦长公式AB1k|x 1x 211|；（2）有关中点弦问k2题的两种处理方法；例 7过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范畴；解析：设双曲线的方程为x2y21 a0,b0,F c ,0,渐近线ybx,就过 Fa2b2a的直线方程为yaxc ,就2 b x22 a y2c2 a b20,yax取值范bb代入得4 b4 2a x4 4 22 a cx a c2 4a b0,x x 200即得b44 a , ba ,即得到e2；点评：直线与圆锥曲线的位置关系常常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,围

15、往往与判别式的取值建立联系. 题型 3：直线与抛物线的位置关系2例 8已知抛物线方程为 y 2 p x 1 p 0 ,直线 l : x y m 过抛物线的焦点 F且被抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值；解析：设 l 与抛物线交于 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 就 | AB | 3.由距离公式 |AB|= x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 = 1 12 | y 1 y 2 | 2 | y 1 y 2 |, 就有 y 1 y 2 2 9 .k 2p由 x y 12 ,消去 x , 得 y 22 py p 20 .2y 2 p x 1 .2 2 2 2 p 4 p

16、0 . y 1 y 2 2 p , y 1 y 2 p .从而 y 1 y 2 2 y 1 y 2 24 y 1 y 2 , 即 2 p 24 p 2 9 . 由于 p0,解得 p 3 .2 4点评： 方程组有两组不同实数解或一组实数解就相交；有两组相同实数解就相切；无实数解就相离；例 92003 上海春, 4）直线 y=x1 被抛物线 y 2=4x 截得线段的中点坐标是 _. 答案：（ 3,2）名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解法一：设直线 y=x 1 与抛物线 y 2=4x 交于 Ax1,y1

17、,B（x2,y2）,其中点为 P（x0,y0）；y x 1由题意得 2,（x1）2=4x,x 26x+1=0；y 4 xx 1 x 2x0= =3.y0=x0 1=2. P（3,2）；2解法二： y2 2=4x2,y1 2=4x1,y2 2 y1 2=4x24x1, y 2 y 1 y 2 y 1 =4.y1+y2=4,即 y0=2,x0=y0+1=3；x 2 x 1故中点为 P（3,2）；点评：此题考查曲线的交点与方程的根的关系 中的横坐标的求法；.同时应留意解法一中的纵坐标与解法二例 102022 山东卷文 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2ax a 0 的焦点 F,且和 y 轴交

18、于点 A,如 OAFO 为坐标原点 的面积为 4,就抛物线方程为 .2 2 2 2A. y 4 x B. y 8 x C. y 4 x D. y 8 x【解析】抛物线 y 2ax a 0 的焦点 F 坐标为 a ,0 ,就直线 l 的方程为 y 2 x a ,4 4它与 y 轴的交点为 A 0, a ,所以 OAF 的面积为1 | a | | a | 4 ,解得 a 8 .所以抛物线2 2 4 22方程为 y 8 x ,应选 B.【答案 】B 【命题立意】:此题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的运算 .考查数形结合的数学思想 ,其中仍隐含着分类争论的思想 ,因参

19、数 a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情形 到合二为一 . ,这里加肯定值号可以做例 11（2022 全国卷文）已知直线ykx2k0 与抛物线 C:y28x相交 A、 B 两点, F为 C的焦点；如FA2FB,就 k= .1.2 .2.2323332,0）,由【解析】此题考查抛物线的其次定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（FA2FB 及其次定义知xA22x B2联立方程用根与系数关系可求k=2 2 3. 【答案 】D 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五【思

20、维总结】1加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习由于直线与圆锥曲线的位置关系始终为高考的热点；这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本学问点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想来设；而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决；这样就加强了对数学各种才能的考查；2关于直线与圆锥曲线相交弦就结合韦达定理采纳设而不求法；利用引入一个参数表示动点的坐标 x、y,间接把它们联系起来,削减变量、未知量采纳参数法；有些题目仍常用它们与平面几何的关系,利用平面几何学问会化难为易,化繁为简, 收到意想不到的解题成效；3直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是争论它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要留意用好分类争论和数形结合的思想方法；4当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题, 常用“ 韦达定理法”设而不求运算弦长 即应用弦长公式 ；涉及弦长的中点问题,常用“ 点差法” 设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化； 同时仍应充分挖掘题目的隐含条件,查找量与量间的关系敏捷转化,往往就能事半功倍；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页