2022年高考数学回归课本教案：直线与圆的方程.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考数学回来课本教案整理：卢立臻第十章 直线与圆的方程一、基础学问1解析几何的讨论对象是曲线与方程；解析法的实质是用代数的方法讨论几何 .第一是通过映射建立曲线与方程的关系,即假如一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,就方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线；如x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程；2求曲线方程的一般步骤：1建立适当的直角坐标系；2写出满意条件的点的集合；3用坐标表示条件,列出方程；4化简方程并确定未知数的取值范畴；5证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满意方程实际应用常省略这

2、一步；3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 180 0 的正角,叫做它的倾斜角；规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值假如存在的话叫做该直线的斜率；依据直线上一点及斜率可求直线方程；4直线方程的几种形式：1一般式： Ax+By+C=0 ；2点斜式： y-y 0=kx-x 0；3斜截式： y=kx+b ；4截距式：x y 1；5两点式：x x 1 y y 1；6法线a b x 2 x 1 y 2 y 1式方程： xcos +ysin =p其中 为法线倾斜角,|p| 为原点到直线的距离 ；7参数式：x x 0 t cos其中 为该直线倾斜角,t 的几何意

3、义是定点 P0x0, y 0到动点 Py y 0 t sinx, y 的有向线段的数量线段的长度前添加正负号,假设 P0P 方向向上就取正,否就取负；5到角与夹角：假设直线 l1, l 2 的斜率分别为 k 1, k2,将 l 1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l 2重合所转过的最小正角叫 l 1 到 l2 的角； l1 与 l2 所成的角中不超过 900的正角叫两者的夹角；假设记到角为 ,夹角为 ,就 tan = k 2 k 1,tan = k 2 k 1.1 k 1 k 2 1 k 1 k 26平行与垂直：假设直线 l 1 与 l 2 的斜率分别为 k 1, k2；且两者不重合,就 l1/l

4、 2 的充要条件是 k1=k 2；l 1 l 2 的充要条件是 k1k 2=-1；7两点 P1x 1, y1与 P2x 2, y2间的距离公式：|P1P2|= x 1 x 2 2 y 1 y 2 2；8点 Px 0, y 0到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式：d | Ax 02 By 02 C |；A B9直线系的方程：假设已知两直线的方程是l1：A 1x+B 1y+C 1=0 与 l2： A 2x+B 2y+C 2=0,就过 l 1, l 2 交点的直线方程为 A1x+B 1y+C 1+ A 2x+B 2y+C 2=0；由 l 1与 l 2 组成的二次曲线方程为 A 1x+B 1y

5、+C 1A 2x+B 2y+C 2=0；与 l2 平行的直线方程为 A 1x+B 1y+C=0 C C 1 . 10二元一次不等式表示的平面区域,假设直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 假设 B0 ,就Ax+By+C0 表示的区域为 l 上方的部分, Ax+By+C0 ；其圆心为 D , E,半径为2 21 2 2D E 4 F；假设点 Px0, y0为圆上一点,就过点 P 的切线方程为2x 0 x y 0 y D x 0 xE y 0 yF 0 . 2 214根轴： 到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线或它的一部分 ,这条直线叫两圆的根轴；给定如下三个不同的圆：x2+y 2+D ix+

6、E iy+F i=0, i=1, 2, 3. 就它们两两的根轴方程分别 为 D 1-D 2x+E 1-E2y+F 1-F2=0; D 2-D 3x+E 2-E3y+F 2-F3=0; D3-D 1x+E 3-E1y+F 3-F1=0；不难证明这三条直线交于一点或者相互平行,这就是闻名的蒙日定理；二、方法与例题1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简洁、对称,以便使方程简洁化简；例 1 在 ABC 中, AB=AC , A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证：ADB=CDE； 证明 见图 10-1 ,以 A 为原点, AC所在直线为 x 轴,建立直角坐标系；设点 B,C坐标

7、分别为 0,2a ,2a,0,就点 D 坐标为 a, 0 ；直线 BD方程为 x y 1,直线a 2aBC方程为 x+y=2a,设直线 BD和 AE的斜率分别为 k1, k 2,就 k1=-2 ；由于 BD AE,所以 k1k2 k 2 1,所以直线 AE方程为 y 1x,由 y 12 x , 解得点 E坐标为 4a , 2a；2 2 x y 2 a 3 32 a所以直线 DE斜率为 k 3 3 2 . 由于 k1+k3=0. 4 a a3所以 BDC+EDC=180 0,即 BDA=EDC；例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动；证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆

8、心角为 60 0； 证明 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC的边 BC的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图10-2 ,设 D 的半径等于 BC边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC的交点分别为 E,F,设半径为 r ,就直线 AB,AC的方程分别为 y 3, y 3. 设 D的方 程 为 x-m 2+y 2=r 2. 设 点 E , F 的 坐 标 分 别 为 x 1,y 1,x 2,y2, 就y 1 3 1 , y 2 3x 2,分别代入并消去 y 得- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - -

9、 - x 1m 22 3 x 1r20 .x2m 23 x2r2.02所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根；x 1 x 2 m ,由韦达定理 2,所以2 2x 1 x 2 m r4|EF| 2=x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+3x 1-x 2 2=4x 1+x 2 2-4x1x 2=m 2-m 2-r 2=r 2. 所以 |EF|=r；所以 EDF=600；2到角公式的使用；例 3 设双曲线 xy=1 的两支为C1,C2,正PQR 三顶点在此双曲线上,求证：P,Q,R不行能在双曲线的同一支上；证明 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在

10、右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分别为 x 1 , 1, x 2 , 1, x 3 , 1 , 且 0x 1x 2-1,在 1区域里,求函数fx,y=y-ax 的最大值、最小值；1xy4,1xy4 ,AB ：y=2x-5 ；CD ：解 1由已知得y22x3 ,或y232x,2x30 ,2x30.解得点 x, y 所在的平面区域如图10-4 所示,其中各直线方程如下图；y=-2x+1 ；AD ：x+y=1 ；BC：x+y=4. 2 fx, y 是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线l 与阴影相交,由于a-1,所以它过顶点C 时, fx, y 最大, C 点坐标为 -

11、3,7,于是 fx, y 的最大值为3a+7. 假如 -12,就 l 通过 B3,1时, fx, y取最小值为 -3a+1. 6参数方程的应用；例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆x2+y-12=1 于 Q 点,在该直线上取P 点,使 P到直线 y=2 的距离等于 |PQ|,求 P 点的轨迹方程；x t cos解 设直线 OP 的参数方程为t 参数；y t sin代入已知圆的方程得 t2-t.2sin =0. 所以 t=0 或 t=2sin ；所以 |OQ|=2|sin | ,而 |OP|=t. 所以 |PQ|=|t-2sin | ,而 |PM|=|2-tsin |. 所以 |t-2

12、sin |=|2-tsin |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sin =-1. 当 t= 2 时,轨迹方程为 x 2+y 2=4；当 sin =1 时,轨迹方程为 x=0. 7与圆有关的问题；例 8 点 A, B,C依次在直线l 上,且 AB=ABC,过 C作 l 的垂线, M是这条垂线上的动点,以 A 为圆心, AB为半径作圆, MT1与 MT2是这个圆的切线,确定 AT1T2垂心 的轨迹； 解 见图 10-6 ,以 A 为原点, 直线 AB为 x 轴建立坐标系, H为 OM与圆的交点, N为 T1T2- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资

13、料 - - - - - - - - - 与 OM的交点,记 BC=1；以 A 为圆心的圆方程为 x 2+y 2=16,连结 OT1,OT2；由于 OT2 MT2,T1H MT2,所以 OT2/HT 1,同理 OT1/HT 2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形；所以 2ON=OH；2又由于 OM T1T2,OT1 MT1,所以 OT 1 ON.OM；设点 H坐标为 x,y ；点 M坐标为 5, b,就点 N坐标为 x, y,将坐标代入 OT 1 2=ON.OM,再由 b y得2 2 5 x2 216 2 16x y .5 5在 AB 上取点 K ,使 AK= 4AB ,所求轨迹是以

14、 K 为圆心, AK 为半径的圆；5例 9 已知圆 x2+y 2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA ,OB 与 x 轴正方向所成的角是 和 ,见图 10-7 ,求证： sin + 是定值；证明 过 D 作 OD AB 于 D；就直线 OD 的倾斜角为,由于 OD AB,所以22. tan 1 , 2所以 tan 1；所以 sin 2 tan2 4 .2 2 1 tan 2 52例 10 已知 O是单位圆,正方形 小值；ABCD的一边 AB 是 O的弦,试确定 |OD| 的最大值、最 解 以单位圆的圆心为原点,AB的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别为 A

15、cos ,sin ,Bcos ,-sin ,由题设 |AD|=|AB|=2sin , 这里不妨设 A在 x 轴上方,就 0, . 由对称性可设点 D在点 A的右侧否就将整个图形关于 y 轴作对称即可 ,从而点 D坐标为 cos +2sin ,sin ,2 2 2所以 |OD|= cos 2 sin sin 4 sin 4 sin cos 1= 2 sin 2 cos 2 3 3 2 2 sin 2 .4由于 2 2 2 2 sin 2 2 2,所以 2 1 | OD | 2 1 .4当 3时, |OD|max= 2 +1；当 7时, |OD|min= 2 1 .8 8例 11 当 m 变化且

16、m 0 时,求证：圆 x-2m-12+y-m-1 2=4m 2的圆心在一条定直线上,并求这一系列圆的公切线的方程；证明 由a2 m1,1消去 m 得 a-2b+1=0. 故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0 上；设公切bm- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线方程为y=kx+b ,就由相切有2|m|=|k 2 m1 m1b|,对一切m 0 成立；即1k2-4k-3m2+22k-1k+b-1m+k+b-12=0 对一切 m 0 成立y=3 x 47所以k4k30 ,即k73,当 k 不存在时直线为x=1 ；所

17、以公切线方程4b10 ,b.44和 x=1. 三、基础训练题1已知两点 A-3,4 和 B3,2 ,过点 P2,-1的直线与线段 的取值范畴是 _. AB 有公共点, 就该直线的倾斜角2已知 0, ,就y3cos的取值范畴是 _. Px, y 在此三角形边上或2sin3三条直线2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0围成一个三角形,当点内部运动时, 2x+y 的取值范畴是 _. 4假设三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,就 m 的范畴是 _. 5假设 R；直线 2+ x-1+ y-23+2 =0 与点 P-2,2的距离为 d,比较大小：d_ 4

18、 2 . 6一圆经过 A4,2, B-1,3 两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,就此圆的方程为 _. 7自点 A-3,3 发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C：x 2+y 2-4x-4y+7=0 相切,就光线 l 所在的方程为 _. 8D2=4F 且 E 0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的 _条件 . 9方程 |x|-1= 1 y 1 2 表示的曲线是 _. 10已知点 M 到点 A 1,0,Ba,2及到 y 轴的距离都相等,假设这样的点 M 恰好有一个,就 a 可能值的个数为 _. 11已知函数 S=x+y ,变量

19、x, y 满意条件 y2-2x0 和 2x+y2,试求 S的最大值和最小值；12 A,B 是 x 轴正半轴上两点,1求 AMB的最大值；OA=a ,OB=ba0,N=x,y|x-1 2+y-3 2=a 2,a0.M N,a的最大值与最小值的和是 _. 6圆 x 2+y 2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P,Q两点,O为原点,OP OQ,就 m=_. 7已知对于圆 x 2+y-1 2=1 上任意一点 Px,y ,使 x+y+m0 恒成立,m范畴是 _. 8当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x 2-2ax+y 2+2a-2y+2=0 均与直线 l 相切,就直线 l的方程为

20、 _. 9在 ABC中,三个内角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c ,假设 lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差数列,那么直线 xsin 2A+ysinA=a 与直线 xsin 2B+ysinC=c 的位置关系是 _. 10设 A=x,y|0x2,0 y2,B=x,y|x10,y 2,y x-4 是坐标平面 xOy 上的点 集 , C= x 1 x 2, y 1 y 2 x 1 , y 1 A , x 2 , y 2 B 所 围 成 图 形 的 面 积 是2 2_. 11求圆 C1：x 2+y 2+2x+6y+9=0 与圆 C2：x 2+y 2-6x+2y+1=0 的公切线方

21、程；12设集合 L= 直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率 ；1点 -2,2到 L 中的哪条直线的距离最小？2设 aR+,点 P-2, a到 L 中的直线的距离的最小值设为dmin,求 dmin 的表达式；13已知圆 C：x2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且 OBA=900,OB 交 C 于 M ,AB 交 C 于 N；求 MN 的中点 P 的轨迹；五、联赛一试水平训练题1在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点；假设a 为无理数,过点 a,0的所有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有 _条；2等腰 ABC 的底边

22、 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A2,3 ,假如它的一腰平行于直线 x-4y+2=0 ,就另一腰 AC 所在的直线方程为 _. 3假设方程 2mx2+8+m2xy+4my2+6-mx+3m-4y-3=0 表示表示条相互垂直的直线,就m=_.4直线 x+7y-5=0 分圆 x 2+y 2=1 所成的两部分弧长之差的肯定值是 _.5直线 y=kx-1 与曲线 y= 1 x 2 2 有交点,就 k 的取值范畴是 _. 6经过点 A0,5 且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为 _. 7在直角坐标平面上, 同时满意条件： y 3x, y1 x, x+y100 的整点个数是 _.

23、 38平面上的整点到直线 y 5 x 4的距离中的最小值是 _. 3 59y=lg10-mx 2 的定义域为 R,直线 y=xsinarctanm+10 的倾斜角为 _. 10已知 fx=x 2-6x+5 ,满意 f x f y 0 ,的点 x,y 构成图形的面积为 _. f x f y 011已知在 ABC边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C动身,各以肯定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A；1证明：运动过程中 DEF的重心不变；- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - -

24、 - - - - 2当DEF面积取得最小值时,其值是ABC面积的多少倍？12已知矩形 ABCD,点 C4,4 ,点 A在圆 O：x 2+y 2=9x0,y0 上移动,且 AB,AD两边始终分别平行于 x 轴、 y 轴；求矩形 ABCD面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标；13已知直线 l: y=x+b 和圆 C：x 2+y 2+2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且满足|PA| .|PB|=2, 当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程；六、联赛二试水平训练题1设点 Px,y 为曲线 |5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x 2-xy+y 2的最大值、最小

25、值；2给定矩形长为 b,宽为 a,矩形长为 c、宽为 d,其中 adcb,求证：矩形能够放入矩形的充要条件是：ac-bd 2+ad-bc 2a 2-b 2 2. 3在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证：见图 10-8 ,A1,B1,C1,D1,E1构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点；4在坐标平面上, 纵横坐标都是整数的点称为整点,试证： 存在一个同心圆的集合,使得：1每个整点都在此集合的某一圆周上；2此集合的每个圆周上,有且只有一个整点；5在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线l1,l2, , l n, 的直线族,它满意条件：1点 1,1 l n,n=1,2,3, ；2k n+1an-b n,其中 k n+1 是 l n+1的斜率, an和 bn 分别是 l n 在 x 轴和 y 轴上的截距, n=1,2,3, ；3 knk n+10, n=1,2,3, . 并证明你的结论；6在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R, S,过原点的直线 l1,l 2都与此圆相交, l1 交圆于 A ,B, l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证：1 1 1 1.| OR | | OS | | OP | | OQ |- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页