2022年第五章定积分 .docx

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1、精品_精品资料_第五章定积分在上一章中我们学习了积分学的第一个问题不定积分, 本章连续学习积分学的其次个问题定积分, 定积分不论是在理论上仍是在实际应用上,都有着非常重要的意义,它也是整个高等数学最重要的篇章之一.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 我国汉代的数学家刘徽用“割圆术”求圆的面积 , 德国天文学家开普勒证明行星运动三大定律等,这里面已经包蕴了定积分思想的雏形 . 17 世纪中叶 , 英国的牛顿和德国的莱布尼茨在很多数学家工作的基础上提出了定积分的概念 , 并发觉了积分与微分之间的内在联系 , 给出了运算定积分的一般方法 , 从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具 , 并

2、使各自独立的微分学与积分学联系在一起 , 构成完整的理论体系微积分学 . 文档收集自网络,仅用于个人学习本章先在典型实例的基础上,引入定积分的定义 , 然后争论定积分的性质,重点是微积分基本定理, 建立关于定积分的换元法和分部积分法, 并介绍反常积分的概念 . 文档收集自网络, 仅用于个人学习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_本节主要内容1 典型实例2 定积分的定义3 定积分的性质讲解提纲：一、引例例 1 曲边梯形的面积例 2 变速直线运动的路程例 3 变力做功二、 定积分的定义第一节 定积分的概念和性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

3、下载精品_精品资料_定 义 ：设f x在 闭 区 间 a, b上 有 界 ,在 a,b中 任 意 插 入 一 系 列 分 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax0x1x2xn 1xnb ,把区间a,b分割成 n 个小区间 x0 , x1 , x1, x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, xn1 , xn ,每个小区间的长度记为xixixi 1, i1,2, n .在每个小区间 xi1, xi 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 任 取 一 点i

4、xi 1ixi ,作 函 数 值f i 与 小 区 间 长 度xi的 乘 积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f i xi i1,2, n , 并作和式nSf i xi , 记maxx1,x2 ,xn, 假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不论对a,b怎样的分法 , 也不论在小区间 xi1, xi 上点i 怎样取法 , 只要当0 时, 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S 总趋于确定的极限I, 就称极限 I 为函数f x在区间 a,b 上的 定积分 , 记作 文档收集自网络,可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_仅用于个人学习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxIanlimf i 0 i 1xi ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 fx叫做被积函数 ,f xdx叫做被积表达式 , x 叫做 积分变量 , a,b叫做 积分区间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、定积分的几何意义b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当在 a,b 上f x0 时,定积分f xdx 在几何上表示由曲线ayf x、两条直线b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa

6、、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 当在 a, b 上f x0 时,定积分f xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在几何上表示上述曲边梯形的面积的负值.当在a,b 上f x既取得正值又取得负值时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分bf xdx 在几何上表示x 轴上方面积减去 x 轴下方面积 .文档收集自网络,仅用于个人学习a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 定积分的性质两点补充规定：

7、a 当 ab 时,bf xdxa0;b 当 ab 时,bf xdxaaf x dx .b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 1b f xag x dxbf xdxabg x dx.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 2bkf xdxabkf xdx,ak 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 3bf xdxacf x dxabf x dx .c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

8、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 4b1 dxabdxba.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 5 如在区间 a,b 上f x0,就bf x dxa0, ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 1 如在区间 a,b 上有f xg x,就bf x dxabgxdx, aab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2bf xdxab| f x | dxaab.可编辑资料 - -

9、- 欢迎下载精品_精品资料_性质 6 估值定理 设 M 及 m 分别是函数bf x在区间a, b 上的最大值及最小值 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mbaf x dxaM ba.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质 7 定积分中值定理 假如函数个点, 使f x 在闭区间 a,b 上连续 ,就在 a, b 上至少存在一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题选讲：定积分的定义bf xdxaf b1a ,ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 利用定积分的定义运算定积分x 2dx .0i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

10、品资料_解：把区间得合式 0,1 分成 n 等份,分点为为xi, in1,2, n1; 取ixi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf i xii 1n2ixii 1n2xixii1ni1 2i 1nn1 161 21 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0 时,又定积分的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1nx2 dx = lim00 i 12ixilimn1 161 2n1 = 1n3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分的性质22例 2 比较积分值ln xdx 和lnx2 d

11、x 的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122解：ln xdxln1x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 3 估量积分3131/3xarctan xdx的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：193x arctan xdx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课堂练习12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 证明等式1x dx;04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 估量积分14 x42 x35) dx 的值 .其次节 微积分基本公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_定积分作为一种特定和式的极限,直接按定义来运算将是非常困难的.本节将通过对定积分和原函数关系的争论,导出一种运算定积分的简便有效的方法.文档收集自网络, 仅用于个人学习本节主要内容1 从实例看定积分与原函数的关系2 积分上限函数3 牛顿 -莱布尼兹公式讲解提纲：一、变速直线运动中位置函数与速度函数的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 积分上限的函数及其导数： xxf t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1 如函数f x 在区间 a,b 上连续 ,就积分上限函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xxf t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 a, b 上可导,并且有 xf x, axb .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 2 如函数f x在区间 a,b 上连续 ,就函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就是 f x 在 a, b 上的一个原函数 . xxf t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、牛顿 莱

14、布尼兹公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 3 如函数F x 是连续函数bf x 在区间 a, b 上的一个原函数 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxaF bF a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上式称为 牛顿莱布尼茨公式 ,又称为 微积分基本公式 .例题选讲：积分上限的函数及其导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求例 2 求解：ddx d dxd dx ddx0cosxsin tdt.解：0cosxsin tdt= sincos x sin xx20sintdt.x20sintdt= 2xsin x例

15、 3 求ddxx3 x231dt .解：ddxxx21112dt4tt 4dt =13xx122 x1x 81e tx2例 4 求limx0cos x. limx00sintdtx31e tx22.cos2 x解： limcos xdtx0x 2= limx0sin xe2x1.2e例 5 设 f x 在0, 内连续且 f x0.证明函数F xxtf t dt0xf t dt0在 0, 内为单调增加函数.xtf t dt0xx解： F xxf xf x0tf t dtf x xt f t dt0xx当 0xtx 时 f t 0, x0t f t f t dt 20f t dt 20 由积分中值

16、定理可知x0 xt f t dt0,0f t dt0从而 F x 在 0, 内为单调增加函数.牛顿 莱布尼兹公式例 6 求定积分10x2 dx .1解：0x dx =213例 7 求101x2dx.1解:0441x2dx.= arcsinx 12 26x1x1例 8 求20fx dx ,其中fx12x21x2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21解：fx dx =x 001 dx2 x212dx = 83可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 设函数f x 在闭区间ba,b 上连续 , 证明在开区间a,b 内至少存

17、在一点, 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxaf baab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设闭区间 a, b 上 F xf xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据牛顿莱布尼茨公式,有 a,b 内至少存在一点, 使f xdxaF bF a据微分中值定理,在开区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F b故F abf x dxaF f babaab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课堂练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设f xsin x sint 2 dt , g x0x3x4,求

18、证当 x0 时 ,f x是 g x的同阶但可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非等价无穷小 .1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设f x在 a,b 上连续,在 a,b 内可导,且f x0 ,F xxaaf t dt .证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明在 a, b 有 F x0 .第三节 换元法积分法和分部积分法b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由微积分学的基本公式可知,运算定积分f xdx 的简便方法是把它转化为求af x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数在区间 a, b 上的增量问题 ,因此在肯定

19、条件下,可以应用换元积分法和分部积分法来求定积分 .文档收集自网络,仅用于个人学习本节主要内容1 定积分的换元法2 定积分的分部积分法讲解提纲：一、定积分换元积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理 1 设函数f x在区间 a,b 上连续 ,函数 xt 满意条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a,b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）t 在, 或, 上具有连续导数 ,且其值域 R a, b,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxaf t tdt .可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述公式称为定积分的换元公式 .定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是 ,在应用定积分的换元公式时应留意以下两点：（ 1）用 xt 把变量 x 换成新变量 t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限 ,且上限对应于上限 ,下限对应于下限.文档收集自网络,仅用于个人学习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） 求出 f tt 的一个原函数t 后,不必像运算不定积分那样再把t 变换成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原变量 x 的函数 ,而只要把新变量 t 的上、下限分别代入仅用于个人学习二、定积分的分部积

21、分法t 然后相减就行了 .文档收集自网络,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbbbbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_udva uvavdu或auv dxa uv avu dx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题选讲：定积分换元积分法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求0解：sin 3 xsin5 x dx33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 3 x0sin 5xdx2 sin 20x cos xdxsin 2 x2cos x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

22、 - 欢迎下载精品_精品资料_32 sin 2045xd sin x3sin 22xd sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a例 2 求a 20x2 dx a0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设aa 20xsin tx2 dxa 22 cos20tdta2 1220a 2cos 2t dt4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 求ln 2xe01dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ax2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 求例 5 如0f

23、xdx .x4在a, a 上连续 , 就aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当f x 为偶函数 ,有f x dxaa2f x dx ;0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当f x 为奇函数 ,有a0f x dx0 .aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于f xdxaf xdxaf xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_作代换 xat 就得a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxaf x0f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当af x 为偶函数 ,有af xf

24、x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxa2f xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当af x 为奇函数 ,有f xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdx0a22 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 求 x242x dx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 如/ 2f x在0, 1 上连续 , 证明/ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f sin xdx0f cos x dx;0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品_精品资料_2xf sin xdx0f sin x dx,20由此运算x sin x0 1cos2 xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）设 xt 2/ 20/ 2/ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f sin0xdxf sin22t dt0f cos t dt0f cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xf sin0x dx0t fsin t dtf sin0xdxxf sin0xdx可编辑资料 - - -

26、欢迎下载精品_精品资料_所以xf sin xdx0由上述结论f sin xdx,20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x sin xsin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx0 1cos2 x2 0 1dxcos 2 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分的分部积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 求例 10 求/ 2 x2 cosxdx.0eln x dx .1/ e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e解：1/ eln x dx =111ln xdxee2ln xdx21e可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品_精品资料_例 11 求1x arctan xdx01x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：x arctan xdx0arctan xd=0242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12 推导定积分 I n/ 2 sinn0xdx/ 2ncos xdxn,0为非负整数 的递推公式 并可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算0解： I nsin 8x dx 22 sin n01xd cos xn12 sin n02xdxn12 sin n0xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1I n 2可得n1 I n可编辑资料 - -

28、 - 欢迎下载精品_精品资料_Inn2n1 I n依次进行下去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I 2 m2m1 2m 2m2m32m522m453 1,6422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I 2 m 12m2m 2m12m22m412m3642 ,753可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 xsindx028 xx2sind0222 2 sin 8 0tdt7.8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_课堂练习1. 利用定积分的几何意义推导

29、圆的面积公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 f x 在0, 1 上连续 , 且f 00,f 24, f22, 求1xf 2 xdx.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四节 反常积分在前面学习的定积分中有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性 . 但在实际问题中 ,我们常遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分.这就是 反常积分 的概念 .文档收集自网络,仅用于个人学习本节主要内容1 无穷限的反常积分2 无界函数的反常积分讲解提纲：一、无穷限的反常积分可编辑资料 - - -

30、 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalimttf xdxF aF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdx0limtf x dxF btF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxf二、无界函数的反常积分 x dxf xdxF 0F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xdxalimtaf x dxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题选讲：无穷限的反常积分f xdxalimtbf x dx.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求0te pt dt , p0 常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：te0pt dtt e ptp01 e pt12p0p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求0te tdt .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 判定1ax pdx 的敛散性 .可编辑资料 -