2022年分式全章教案.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 第 17 章分优秀教案欢迎下载式. 217.1 分式及其基本性质. 21.分式的概念 . 22.分式的基本性质. 317.2 分式的运算 . 5 1.分式的乘除法 . 5 2.分式的加减法 . 6 阅读材料 . 817.3 可化为一元一次方程的分式方程. 917.4 零指数幂与负整指数幂 . 12 1.零指数幂与负整指数幂. 12 2.科学记数法 . 13 小 结. 14 复习题 . 15 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 第 17 章分式优秀教案欢迎下载现

2、要装配 30 台机器,在装配好6 台后,采纳了新的技 术,每天的工作效率提高了一倍, 结果共用了 3 天完成任 务；假如设原先每天能装配 x 台机器, 那么 不难列出方程：630x63问题 . x2这个方程左 边的式子已不再是整式, 这就涉及到分式与分式方程的 17.1 分式及其基本性质1. 分式的概念做一做（1）面积为 2 平方米的长方形一边长（2）面积为 S 平方米的长方形一边长3 米,就它的另一边长为 _米；a 米,就它的另一边长为 _米；（3）一箱苹果售价 p 元,总重 m 千克,箱重 n 千克,就每千克苹果的售价是 _元；形如 A A、B 是整式,且 B 中含有字母, B 0的式子,

3、叫做 分式fraction.B 其中 A 叫做分式的 分子 numerator,B 叫做分式的 分母 （denominator）. 整式和分式统称 有理式 （rational expression）, 即有有理式整式,分式.以下各有理式中,哪些是整式？哪些是分式？（1）1 ；（2）xx ；（3）22xy；（4）3 x3y. xy解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）. _精品资料_ 留意：在分式中,分母的值不能是零.假如分母的值是零,就分式没有意义.第 2 页,共 17 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例如,在分式优秀教

4、案n欢迎下载S 中,a 0；在分式 a9 m中, m n. 当 x 取什么值时 ,以下分式有意义？. （1）1；（2）x2. x12x3分析 要使分式有意义,必需且只须分母不等于零解（1）分母x1 0,即 x 1.所以,当 x 1 时,分式1有意义 . x1（2）分母 2x3 0,即 x -3 . 2所以,当 x -3 时,分式 2x2有意义 . 2 x32. 分式的基本性质在进行分数的化简与运算时, 常要进行约分和通分, 其主要依据是分数的基 本性质 .类似地,分式有如下基本性质：变. 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不与分数类似,依据分式的基本性,可以对分式进

5、行约分和通分. 例 3 约分_精品资料_ （1）162 xy3；（2）x2x2444第 3 页,共 17 页204 xyx分析分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,第一要找出分子与分母的公因式 . 解（ 1）16 x2y34 xy34x4x. 4 20 xy4 xy35y5y（2）x2x2444x2 x2x2. xx22x2约分后,分子与分母不再有公因式 . 分子与分母没有公因式称为最简分式 .例 4通分（1）1 ,2 a b12；（2）x1y,x1y；ab（3）x21y2,x21xy. 分析分式的通分,即要求把几个异分母的分式分别化为原先的分式相等的- - - - - - -_归

6、纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载同分母的分式 .通分的关键是确定几个分式的公分母,通常取各分母全部因式的最高次幂的积作为公分母 （叫做最简公分母） .例如第（1）小题中的两个分式1a2b和1,它们的最简公分母是a 2b 2. ab 2解（1）1 与 2 a b12的最简公分母为a 2b 2,所以ab1 2 a b1bbab,a2b2b 211aaaa2. 2 ab2 ab2b（2）x1y与x1y的最简公分母为（ x-y）x+y,即 x 2y 2,所以x1y1（xxy）xxy2,2xyyyx1yx1xxyyxxy2. y2y（3）由于x 2y 2_, x 2x

7、y_, 所以x21y2与x21xy的最简公分母为,因此x21y2,x21xy. 练习1. 约分：（1）2 ax2y；（2）2aab；（3） ax2；（4）x24. 3 axy23 bab xa 3xy2y2. 通分：（1）1,5；（2）x21x,x21x. 32 x12xy3. 军训期间,小华打靶的成果是 是每发多少环？习题 17.1 m 发 9 环和 n 发 7 环,请问,小华的平均成果_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载1. 用分式填空：小明 t 小时走了 s 千米的路,就他走这段路的平均速

8、度是千米/时；一货车送货上山,上山速度为x 千米 /时,下山速度为y 千米/时,就该货车的平均速度为千米/时. 2. 指出以下有理式中,哪些是分式？1 ,1 （x+y）,x ,2,x,4 x 9 yx 2 3 m x x 3 133. 当 x 取什么值时,以下分式有意义？（1）1 ；（2）x 2；（3）x 2； （4）4 x . 2 x x 2 4 x 1 3 x 54. 通分：（1）ab c 、bc a 、ac b ；（2）x 2 1x,x 2 2 1x 1 . 5. 某机械厂欲成批生产某种零件,第一道工序需要将一批长 l 厘米、底面半径为 2r 厘米的圆钢锻造成底面半径为 r 厘米的圆钢

9、.请问锻造后的圆钢长多少厘米？ 17.2 分式的运算1. 分式的乘除法试一试运算：（1）a22 b2；=a2（2）a2a. b33ab32 b解（1）a22b22b2=2a. b33 ab33 a3 b（2）a2a=a22b=2 a . 2bb32 b3 ba2概括分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母 .假如得到的不是最简分式,应当通过约分进行化简 . 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 . 例 1 运算：_精品资料_ （1）2 axay2；（2）a2xya2yz. 第 5 页,共 17 页2 by2 bxb22 zb2x2- - - - - - -_

10、归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解（1）a2xay 2=a2x优秀教案欢迎下载ay2=3 a . 3b2 byb2xby22 bx思（2）a b2xy2a2yz=a2xyb2x2=x3. 2z2b2x2b22 za2yzz3xx29 4. 例 2 运算：x3x2解原式x2x3 x3x x3 2. x3x2 x2考怎样进行分式的乘方呢？试运算：练（1）（n ）m3（2）（n ）mk （k 是正整数）（1）（n ）m3 =nnnnnn_；mmmmmm（2）（n ）mk =nnnnnn_. mmmmmmk个认真观看所得的结果,试总结出分式乘方的法就. 习1.运算：（1）ba；（2

11、）x24y2xxyy；（3）3y6y 2；（4）x2x1x22x. ac3 3 xy210x2x 2x2.运算：（1）（y）2 ；（2）（22 a ）32 x c3.上海到北京的航线全程 s 千米,飞行时间需 a 小时；铁路全长为航线长的 m 倍,乘车时间需 b 小时 .飞机的速度是火车速度的多少倍？（用含 a、b、s、m 的分式表示）2. 分式的加减法试一试运算：_精品资料_ （1）b ab2 ；a2 = aba2（2）23. 第 6 页,共 17 页a2ab解（ 1）a- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）23=2 b3 a=2 b2优秀教案

12、欢迎下载3 aa2aba2ba2bab概括同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减. 例 3 运算：xy 2xy2. xyxy解xy2xy2xyxyxy2xy2 xyx22xyy2x22xyy 2xy4xy4. xy例 4 运算：32 24. x 4 x 16分析 这里两个加项的分母不同,要先通分.为此,先找出它们的最简公分_精品资料_ 母.留意到x216=x4x4,所以最简公分母是x4 x4 .第 7 页,共 17 页解x34x224164x34x244xx3x44x244 x4x43 x4 24x4 x4x3x1244xx3x44

13、4x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - x34. 优秀教案欢迎下载练 习 1. 运算：（1）12；2（2）106；（3）aab2bb；（4）aabba. aaababab2. 运算：（2）bb；（1）11；uv2a；a4a2. a（3）a41a（4）a422习题 17.2 1. 运算：（1）ny2my；x1；（2）12x8x2y；mxnx7y（3）x22x1（4）3 b2. x1x2x2a2. 运算：（1）bacbac；（2）c21c；1. ab（3）x1111x；（4）xxx3. 运算：（1）1113 x；b 分钟,如某一天林林从家动身迟了x3x2

14、x（2）1x1yxxyxy. 2x24. 林林家距离学校a 千米,骑自行车需要c 分钟,就她每分钟应多骑多少千米,才能使到达学校的时间和平常一样？5. 周末,小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果 .那儿有两种苹果,甲种苹果每箱 重 m 千克,售 a 元；乙种苹果每箱重 n 千克,售 b 元.请问,甲种苹果的单价 是乙种苹果的多少倍？阅读材料历史上的分数运算法就_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（1）最早的分数运算法就 我们宏大的祖国, 作为世界四大文明古国之一, 在世界数学进展的历史长河中,曾作出

15、过很多杰出的奉献,远远走在世界的前列.很多光辉的成就,在世界数学史上享有崇高的荣誉 .分数运算法就的显现就是我们引以为荣的成就；早在西汉时期, 张苍、耿寿昌等学者在整理、 删补自秦代以来的数学学问的基础上,编成了数学的经典九章算术.后来,魏晋时代宏大的数学家刘徽对此书作了注解,于魏景元四年（263）年写成了九章算术注.在九章算术的方田章中,提出了完整的分数运算法就,讲到了约分、合分（分数的 加法）、减分（分数的减法）、乘分（分数的乘法）、经分（分数的除法）的法就,这些与我们现在的分数运算法就完全相同.另外,仍记载了课分（比较分数大小）、平分（求分数的平均值） 等关于分数的学问, 是世界上最早的

16、系统传述分数的著 作. 分数运算,大约 15 世纪才在欧洲流行 .欧洲人普遍认为,这种算法起源于印 度.实际上,印度到 7 世纪婆罗门笈多的著作中才开头显现分数的运算法就,即 使与刘徽的时代相比,印度也要比我国迟 400 年左右 . （2）中国最早的约分九章算术中的算法是在假设读者已具备了正整数四就运算方法的基础上 绽开的 .方田一章中叙述了分数运算, “ 约分术” 是第一个算法,其述文是：“ 可半者半之；不行半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也 .以等数约之 .”意思是：分母、分子如都是偶数,先同被2 除；如不都是偶数,就用“ 更相减损术” 求其“ 等数”（即最大公约数） .

17、再用最大公约数去同除分母与分子. 所谓“ 更相减损” ,就是辗转相减 .例如,求 91 与 49 的“ 等数” 方法是：91 4949（连减 5 次）42549（等数）42427777于是有49 77. 91 7 13假如我们留意到, 那时的运算是用算筹进行的, 那么上述求等数的更相减损法,用起来是很便利的： 只要从多的一边筹码数中将另一边较少筹码数减去,如此反复进行,直到两边所剩数相等即可,这也是“ 等数” 名称的由来； 17.3 可化为一元一次方程的分式方程_精品资料_ 问题. 60 千米所需的时间相同 .第 9 页,共 17 页轮船在顺水中航行80 千米所需的时间和逆水航行已知水流的速度

18、是3 千米 /时,求轮船在静水中的速度分析- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载设轮船在静水中的速度为x 千米/时,依据题意,得概8060.（1）分式方x3x3括方程（ 1）中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做程. 思 考 怎样解分式方程呢？有没有方法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整 式方程呢？试动手解一解方程（1）. 方程（ 1）可以解答如下：方程两边同乘以（ x+3）x-3,约去分母,得 80（x-3）=60x+3. 解这个整式方程,得概x=21. 约去分母,所以轮船在静水中的速度为21 千米/时. 括上述解分式

19、方程的过程, 实质上是将方程的两边乘以同一个整式,把分式方程转化为整式方程来解 公分母 . .所乘的整式通常取方程中显现的各分式的最简例 1 解方程：12 2 . x 1 x 1解 方程两边同乘以（ x 2-1）,约去分母,得x+1=2. 解这个整式方程,得x=1. 解到这儿, 我们能不能说 x=1 就是原分式方程的解 （或根） 呢？细心的同学可能会发觉,当 x=1 时,原分式方程左边和右边的分母（x1）与（ x 21）都是 0,方程中显现的两个分式都没有意义,因此,x=1 不是原分式方程的解,应当舍去 .所以原分式方程无解 . 我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知

20、数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）,这种根 通常称为 增根.因此,在解分式方程时必需进行检验 . 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程 中的分式的分母为零 .有时为了简便起见,也可将它代入所乘的整式（即最简公 分母）,看它的值是否为零 .假如为零, 即为增根 .如例 1 中的 x=1,代入 x 210,可知 x=1 是原分式方程的增根 . 有了上面的体会,我们再来完整地解一个分式方程. 例 2解方程：10030. xx7解方程两边同乘以 xx-7,约去分母,得解这个整式方程,得100（x-7）=30x. x=10. _精品资料_ - -

21、 - - - - -第 10 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载检验：把 x=10 代入 xx-7,得 10 （ 10-7） 0 所以, x=10 是原方程的解 . 例 3 某校招生录用时,为了防止数据输入出错,2640 名同学的成果数据分别由两位程序操作员各向运算机输入一遍,然后让运算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的 2 倍,结果甲比乙少用 2 小时输完 .问这两个操作员每分钟各能输入多少名同学的成果？解设乙每分钟能输入 x 名同学的成果, 就甲每分能输入2x 名同学的成果,依据题意得解得2640 2 x2640 x260

22、. x11. 经检验, x11 是原方程的解 .并且 x11,2x2 1122,符合题意 . 练答：甲每分钟能输入22 名同学的成果,乙每分钟能输入11 名同学的成果 . 习1. 解方程：（1）41；（2）3 5 . x 1 x 1 x 32. 解方程：（1）11；（2）1 31 x . x 1 2 x 2 x 2 2 x3. 电视机、摄像机等电器的电路中有许很多多的元件,它们都具有电阻 .如下列图,当两个电阻 R1、R2 并联时,总电阻 R 满意 111 .如 R110 欧, R215 欧,求R R 1 R 2总电阻 R. 4. 求解本章导图提出的问题 . 习题 17.3 1. 解方程：（1

23、）2 3；（2）xx x 1 x 62. 供电局的电力修理工要到x 2；（3）2 x 5；（4）x 1 1 . x 3 2 x 5 5 x 2 x 2 x 230 千米远的郊区进行电力抢修 .技术工人骑摩托车先走,15 分钟后,抢修车装载着所需材料动身,结果他们同时到达 .已知抢修车的速度是摩托车的 1.5 倍,求这两种车的速度 . 3. 某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比为买量明显增多,家电部经理从销售人员中抽调了与销售人员人数之比为 25.求这个商场家电部原先各有多少名送货人员和销售人员 . 18.今年夏天由于家电购 22 人去送货 .结果送货人员_精品资料_ - - - - - -

24、 -第 11 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载你知道吧吗？The symbol 5. is called five factorial阶乘and means 5 4 3 2 1；thus5.=120. Whats the result of n1 .？Do you know. n . 17.4 零指数幂与负整指数幂1. 零指数幂与负整指数幂在 13.1 中介绍同底数幂的除法公式 a m a n=a m-n 时,有一个附加条件： mn,即被除数的指数大于除数的指数 .当被除数的指数不大于除数的指数,即m=n 或 mn 时,情形怎样呢？探 索

25、先考察被除数的指数等于除数的指数的情形 .例如考察以下算式：5 2 5 2,10 3 10 3,a 5 a 5a 0. 一方面,假如仿照同底数幂的除法公式来运算,得5 2 5 25 2-25 0,10 3 10 310 3-310 0,a 5 a 5a 5-5a 0a 0. 另一方面, 由于这几个式子的被除式等于除式,由除法的意义可知, 所得的商都等于 1. 概 括由此启示,我们规定：5 0=1,10 0=1,a 0=1（a 0）. 探这就是说： 任何不等于零的数的零次幂都等于1.索我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情形,例如考察以下算式：5 2 5 5,10 3 10 7,一方面,假如

26、仿照同底数幂的除法公式来运算,得5 2 5 55 2-55-3,10 3 10 710 3-710-4. 另一方面,我们可利用约分,直接算出这两个式子的结果为概括5 2 5 52 5 5 552521 ,3 55310 3 10 73 10 7 10101031 . 4 103104由此启示,我们规定：_精品资料_ 一般地,我们规定5-31 ,3 510-41 . 4 10第 12 页,共 17 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载an 1 a 0,n 是正整数 na这就是说,任何不等于零的数的 n （n 为正整数）次幂,等于这个

27、数的 n 次幂的倒数 . 例 1 运算：0（1）3-2；（2）1 1013解（ 1）3-21 2 1 . 3 90（2）13 101110 1 110 1 . 例 2 用小数表示以下各数：（1）10-4；（2）2.1 10-5. 解（1）10-41 0.0001. 410（2）2.1 10-52.11 2.1 0.000010.000021. 510探 索现在,我们已经引进了零指数幂和负整指数幂,指数的范畴已经扩大到了全体整数 .那么,在 13.1“ 幂的运算”中所学的幂的性质是否仍成立呢？与同学们争论并沟通一下,判定以下式子是否成立 . （1）a 2a 3a 2 3 ；（2）ab-3=a-3

28、b-3；（3）a-3 2=a -3 2 4 a 2a 3a 2 3 2. 科学记数法_精品资料_ 在 2.12 中,我们曾用科学记数法表示一些肯定值较大的数,即利用 10 的正整数次幂, 把一个肯定值大于 10 的数表示成 a 10 n 的形式,其中 n 是正整数,第 13 页,共 17 页1 a 10. 例如, 864000可以写成 8.64 10 5. 类似地,我们可以利用 10 的负整数次幂,用科学记数法表示一些肯定值较小的数,即将它们表示成 a 10-n 的形式,其中 n 是正整数,1 a 10. 例如,上面例 2（2）中的 0.000021 可以表示成 2.1 10-5. 一个纳米粒

29、子的直径是35纳米,它等于多少米？请用科学记数法表示. 分析在七年级上册第 66 页的阅读材料中, 我们知道：1 纳米1 米.由 9 101 9 1010-9 可知, 1 纳米 10-9 米.所以 35 纳米 35 10-9 米. 而 35 10-9（ 3.5 10） 10-935 10 1（ 9）3.5 10-8,- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载所以这个纳米粒子的直径为 3.5 10-8 米. 练习1. 运算：（1）（-0.1）0；（2）10；（3）2-2；（4）12. 202222. 用科学记数法填空：（1）1 秒是 1 微

30、秒的 1000000倍,就 1 微秒 _秒；（2）1 毫克 _千克；（3）1 微米 _米；（5）1 平方厘米 _平方米；（4）1 纳米 _微米；（6）1 毫升 _立方米 . 3. 用科学记数法表示：（1）0.000 03；（2）-0.000 0064；（3）0.000 0314；（4）2022 000. 4. 运算以下各式,并且把结果化为只含有正整指数幂的形式：（1）a-3 2ab 2-3；（2）2mn 2-2m-2n-1-3. 习题 17.4 1. 运算：2（1）5 10 25 4；（2）（-117）0；（3）4-2；（4）1 . 42. 运算以下各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：（1）x-3yz-2 2；（2）a 3b-1-2a-2b 2 2；（3）2m 2n-3 3-mn-2-2. 3. 已知空气的单位体积质量是 0.001 239 克/厘米 3,试用科学记数法表示 .（单位仍用克 /厘米 3）小 结一. 学问结构二. 留意事项_精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀教案