2022年微分中值定理及其应用习题课.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 微分中值定理及其应用习题课 一 基本定理 1）罗尔中值定理 如函数 f 满意如下条件：就在（） f 在闭区间a,b上连续；0有根,关键是要找两点使这两点函数（） f 在开区间,a b 内可导；（）fafb , a,b内至少存在一点, 使得f注 罗尔中值定理主要用于说明fx0值相等注介值定理主要用于说明fx0有根,关键是要找两点使这两点函数值异号（1）证fx0有根.法 1 用介值定理（如此时易找两点使函数值异号）法2 将fx0转化为fxgx0,对g x用罗尔定理,如很简洁求出g x,使fxgx,且对g x很简洁找两点使函数值相等.（2）证fx0有

2、根法 1 费马定理（易找极值点或内部最值点）.法2 罗尔定理易找两点使函数值相等（3）证根唯独的方法法 1 单调性 ,法2 反证法 +罗尔定理 .（4）证fnx0有根,常常对fn1x用罗尔定理（5）证至少存在一点,使含的代数式1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - G a b f a,f b, ,f,fLfn0成立的常用方法是构造帮助函数,然后对帮助函数用罗尔定理2）拉格朗日中值定理如函数 f 满意如下条件：（） f 在闭区间a,b 上连续；af a a（） f 在开区间,a b 内可导,就在（a,b）内至少存在一点

3、,使得f f b b注 看到函数增量, 或隐含增量 （含条件f0）,常常要考虑拉格朗日中值定理；看到导数有界,常常要考虑拉格朗日中值定理3）柯西中值定理设函数 f 和 g 满意（i ）在a,b上都连续；f f b f a ii在a,b 上都可导；iiifx和gx不同时为零；ivgagb就存在a,b,使得g g b g a 注 看到两个函数的增量,或两个函数导数之比,常常要用柯西中值定理4）泰勒中值定理如函数 f 在点 x 存在直至 n 阶导数,就有2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x f x0fx 0xx

4、0fx0xx 02Lf x 0xx 0noxx 0n2.n .如函数 f 在a,b上存在直至 n 阶的连续导函数, 在a,b内存在n1 阶导函数,就对任意给定的x ,x0a,b,至少存在一点a ,b ,使得fx fx0fx0xx0fx 0xx 02.2fnx0xx0nfn1xx0n1n .n1 .注 看到有二阶以上导数,常常要考虑泰勒中值定理注 对中值定理为了帮忙读者记忆,给出以下口诀一阶有界用拉格,二阶以上想泰勒；中值等式罗拉柯,帮助函数逃不脱；函数增量想拉柯,易积结论用阿罗；多个中值多次用,把握特点心得意二 疑难解答 1 极值与最值有什么区分与联系？Ux 0答 1）极值是一个局部概念, 由

5、于f x0是函数f x 的极值 , 是与0x 的某邻域上的函数值f x 比较而言的；而最值是对整个区间而言的, 是一个整体概念2）闭区间 a b 上的连续函数必有最值 , 且最大值和最小值各有一个 , 最大值大于最小值（常函数除外）, 但可能无极值（由于极值点 x 必在区间的内部,不能是区间的端点, 而最值有可能在端点取）即使有极值 , 也可能不止一个 , 微小值也可能大于极大值因此如 f a 是函数的最值 , 就 f a 不行能是极值 ; 如 f x 0 （x 0 , a b ）是函数的最值 , 就肯定是极值即（最值不肯定是极值,反之 , 极值也不肯定是最值 , 极值一般可能很多个 , 但如

6、极值只有一个 , 即为最值）3）在区间内部的（非端点的）最值点是极值点,且最大值点是极大值点,最3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 小值点是微小值点 2极值点与稳固点的关系,极值点可能是哪些点？答： 1）由费马定理可知, 可导的极值点是稳固点f2 ）稳固点未必是极值点例如f x x3,x0为它的稳固点（由于0不是f 3 x 的极00）,但由f x 3 x 的图像和极值点的定义易知x值点3）导数不存在的点也可能是函数的极值点例如由0f x x 的图像和极值的定义易知f x x 在x0取得微小值,但在x不行导,即极值

7、点未必是稳固点极值点有可能是稳固点和不行导的点3导函数的介值定理有什么作用？答：据此定理可以明白什么样的函数可能成为其它函数的导函数,那么不具有介值性的函数肯定不能做为其它函数的导函数,如具有第一类间断点的函数4. 罗尔定理有三个条件,缺少其中一个条件罗尔定理是否成立？假如不成立,能否说这三个条件是罗尔定理的必要条件？答 罗尔定理有三个条件,缺少其中一个条件罗尔定理就可能不成立例如x , 0 x 1,函数 f x 在 0,1 上不满意罗尔中值定理的条件 1 ,由于0, x 1,f x 在点 x 1 处不连续由于 f 1, x 0,1,所以在开区间 0,1 内找不到使得等式 f 0 成立的点,如

8、图,无水平切线 图 1 ；函数 g x x x 1,1,g x 在 1,1上不满意罗尔中值定理的条件 2 ,因1, 0 x 1,为 g x 在点 x 0 处不行导由于 g x 所以在开区间 1,1 内找不1, 1 x 0,到使得等式 g 0 成立的点,如图,无水平切线 图 2 函数 h x x x 0,1 在 0,1 上不满意罗尔中值定理的条件 3 ,由于h x 在区间端点的函数值不相等,即 h 0 h 1由于 h x 1, x 0,1,所以4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在开区间 0,1 内找不到使得等式h

9、 0成立的点,如图,无水平切线 图 3 尽管如此,但是不能说这三个条件是罗尔定理的必要条件例如,函数f x 0,x0,1x x ,x1,2在 0,2 不连续,在 0,2 不行导,f0f2,但f 0,x0,1, 0,11,x1,2上点都满意f 05. 为什么不将罗尔条件iii合并为f x 在a,b上可导？答可以,但条件加强了,就排斥了很多仅满意三个条件的函数例如函数f x 3 x x,x0,3,fx 31x ,明显x0时,函数不行导（fx 3x x是初等函2x数,fx31x在x0处没有定义,就原函数在x0不行导）,即不符合加2xy 强条件；但它满意定理的三个条件,有水平切线 图 6. 罗尔定理结

10、论中的值唯独吗？y=f x答 不肯定唯独 , 可能有一个 , 几个,甚至无限多个03例如5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxx4sin21,x;0在1,1 上满意罗尔定理的三个条件明显 , x0 ,x0 .个cn1fx4x3sin212x2sin1cos1,x0在 -1,1内存在无限多xxx,1,2,0cn0x0 . n使得f2 n7拉格朗日公式有哪些等价表示形式？令 h答 f b f a f ba,aa0b ；a1, 令bba, 就 有注ab0ababaa01,01 .1；都成立,而就aba ,于是有f b

11、 f a fababba ,就有fahfafahh,0b,仍是a注 值得留意的是,拉格朗日公式无论对于a是介于 a 与 b 之间的某肯定数8 试问应用导数极限定理时,应当留意哪些问题？答：（1）在应用导数极限定理时,假如只留意 limx x 0 f x 存在的条件,而忽视了 f 在点 x 的某邻域 U x 0 内连续,就会导致错误的结论,例如x x 0f x 1, x 00f x 在 u 0 中可导,且 f x 1,于是有 lim x 0 f x ,如认为 f 0 存在,且 f 0 1,这就导致错误结论,事实上,由于 f x 在点 0 处不连续,当然不行6 名师归纳总结 - - - - - -

12、 -第 6 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 导（2）下面是单侧导数极限定理,证明方法与导数极限定理相像1 ） 设 f 在 点x0的 右 邻 域U x 内 连 续 , 在Uox 0内 可 导 , 且 极 限x xf x 0f x 00存在,就f 在点x 右可导,且x00fx 0lim x x 0f f2 ） 设 f 在 点x0的 左 邻 域U x 内 连 续 , 在Uox 0内 可 导 , 且 极 限x xf x 0f x 00存在,就f 在点x 左可导,且x 00fx 0lim x x 0f f（ 3）如函数f 在点x 的某邻域Ux0内连续,在Ux0内可导,极

13、限lim x x 0fx不存在,一般不能得到fx 0不存在的结论中连续,且在Uo0内例设函数fxx2sin1,x0,就 fx 在U0x 0,x0.可导,明显lim x 0fx 不存在,但fx2 sin1cos1,x0.x lim xf 0x 存xxf00此例说明：导数极限定理中的在是充分条件不是必要条件9. 如函数 f 在区间 I 上可导,就在区间I上的每一点,fx有第一类间断点吗？答 如函数 f 在区间 I 上可导,就在区间 I 上的每一点,要么是 f x 的连续点, 要么是 f x 的其次类间断点 , 即导函数不行能有第一类间断点0x I ,由 f 在区间 I 上可导,就 f 在点 x 处

14、的左右导数存在,并且相等,即7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - fx 0fx 0fx 0,由此（1）如fx在点0x 处的左右极限存在,就依据导 数 极 限 定 理,f x 在 点 0x 处 的 左 右 极 限 相 等, 即f x 0 0 f x 0 0 f x 0,从而 f x 在点 0x 处连续；（2）如 f x 在点 x 0处的左右极限至少有一个不存在,就 0x 是 f x 的其次类间断点101） f x 在 a b 上有定义 , 在 a b 内严格递增 （减）, 那么 f x 在 a b上是否肯定严格递增（

15、减）呢？2）如 f 在,a b 上（严格）递增（减） ,且在点 a 右连续,就f 在a,b）上亦为（严格）递增（减） ,对右端点 b 可类似争论x ,0 x 1答： 1）不肯定例函数 f x 在 0,1 有定义,在 0,1 内严格1, x 0递增,但在 0,1 上不是严格递增的2 ） 只 需 证 明 x a , f x f a, 这 时 存 在 x x 1 2 a b, 满 足a x 1 x 2 x ,由 f 在 a b 中的（严格）递增性有 f x 1 f x 2 f x ,令1x a,由 f 在点 a 的右连续性,f a lim f x 1 f x 2 f x,于是x 1 af a f x

16、 注（ 1）证 f 在 a b 上严格递增的方法是证 f x 0, x , a b ,或f x 0,x , a b ,而 f x 0 的点只有有限个（2）证 f 在 a b 上严格递增,只要证 f 在 a b 上连续,在 a b 上严格递增11函数在区间 I 上可微,如ffxx00与 f 在 I 上严格递增有什么关系？答 函数在区间 I 上可微,如f 在 I 上严格递增8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 反例：fx3 x 在 R上严格递增,但fx3x2,f00,导数可为0注 如函数 f 在 a b 内可导, 就

17、f 在 a b 内严格递增 （递减） 的充要条件是：（）对一切 x a , b ,有 f x 0（f x 0）；（）在 a b 内的任何子区间上 f x 012下面是利用拉格朗日中值定理推导柯西中值定理的方法,正确吗？由函数 f 和 g 在a,b上连续,在a ,b上可导,满意拉格朗日中值定理的条件,对 f 和 g 分别用拉格朗日中值定理得f b f a f bafg bagg b g a 答：不正确,错在对 同,即应当是f 和 g 分别用拉格朗日中值定理时得到的中值点不肯定相f b f a f 1 b a f 1g b g a g 2 b a g 2而柯西中值定理的 f f b f a 中两个

18、 是一样的g g b g a 13 试问罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间有何联系？在应用时各有什么特点？答（1）罗辑推理关系： 罗尔中值定理是借助费马定理经推导而得到的,在此基础上,又推得另两个中植定理,即：费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理（2）由证明方法看： 由罗尔中值定理推导拉格朗日中值定理是利用了帮助函数fxfx f af b faxa ;ba由罗尔中值定理推导柯西中值定理是应用了帮助函数Fxfxfafbfagxgagbga9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 反之,在柯西中值

19、定理设gxx,就得到拉格朗日中值定理；进一步更设fafb,又得到罗尔中值定理,所以,如能第一证明柯西中值定理,就另外两个中值定理都是它的特别情形（3）从应用方面看：（）罗尔中值定理除了在推导另外两个中值定理时所起的关键作用外,在讨论方程f x 0的根的分布情形也有重要作用（）拉格朗日中值定理在利用导函数的性质争论函数的单调性方面具有特别的作用函数的单调性是函数在区间上的整体性质,中值定理中的 f 只是 f x 在某点 的局部性质,但因中值点 的不明确性,故只能假设在整个区间 a b 内f x 0,并用以推得 f x 在 a b 上的递增性质 这里存在着整体局部整体的辩证关系,也就是应用拉格朗日

20、中值定理的实质所在（）柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,后者是利用导数争论函数 f的增量与自变量增量比的性质,而前者是利用导数的比来争论两个函数 f 与 g 的增量比的性质数值柯西定理的典型应用是争论0 型不定式极限在补充了 0f 与 g 在点x 处的函fx0gx00之后,利用fxfxfx0f（介于x 与 x 之间）gxgx0gxg使函数值之比可以用导数之比来表示,而不定式极限的基本思想就是利用导数之比的极限来替代函数值之比的极限14fx 00能说明 f 在0x 的邻域上递增吗？答 不能,例函数fxxx2sin1,x0,2x,0x0,10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10

21、页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0fxf0lim x 0xx2sin10lim x 01xsin1102xx0x02x2所以fx 在x0点可导,且f0101,因此fx在x0的任何邻域内可当xfx1cos0时,2xsin2xx导,但由于f 1 1 cos n 12 ,0 n 为偶数 ,n 2 3,0 n 为奇数 ,2且 n 时 1 0,所以 f x 在 x 0 的任何邻域内总要变号,故在 x 0 的任n何邻域内 f x 都不单调15设函数 f 在 a , b 上可导证明存在 , a b ,使得2 22 f b f a b a f 证 由于要证明的结果

22、显现两个函数的增量 f b f a ,b 2a ,因此考虑 22柯西中值定理设 g x x ,利用柯西中值定理知存在 a , b ,使得f b 2 f a2 f ,b a 2即存在 , a b ,使得2 22 f b f a b a f 上述证法正确吗？答： 不对,由于不满意柯西中值定理的条件,gx2x可能为 016应用洛比达法就须留意哪些问题？1 验证运算的极限是不是不定式极限不是不定式极限不能使用洛比达法就11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 除 计 算0 型 与 0型 两 种 不 定 式 极 限 外

23、, 计 算 其 他 五 种 不 定 式 型0 00 ,1 ,0,都先要转化为不定型 0 型或 型, 然后再利用洛比达法就0f x 3 洛比达法就的条件为充分条件 , 如条件不满意 比如 lim 不存在（非x x 0 g x 型） 并不能说明 lim f x 不存在 , 此时运算极限 , 就只能用以前所学的有关运算方x x 0 g x 法4 应用洛比达法就 , 可能会显现 lim x x 0 g f x x 仍是不定式极限 , 这时只要定理的条件满意 , 仍可连续用洛比达法就,留意每使用完一次洛必达法就,先要将式子整理化简5 一般来说 , 应用洛比达法就运算不定式极限都比较简洁 , 但对少数的不

24、定式极限应用洛比达法就 , 并不简洁 , 甚至很繁6）为简化运算在每次使用洛必达法就之前进行四化1 看到无穷小因子,等价化；sin 2看到无理因子,有理化； 3看到幂指函数因子u xv x,对数恒等式化u xv xv x elnu x； 4看到非零极限因子（极限不为0 的因子）,代入化7）当x0时,极限式中含有sin1,cos1；当 x时,极限式中含有xxx,cosx ,不行用洛必达法就 8 ）不能在数列形式下直接用洛必达法就,由于对于离散变量nN是无法求导数的17. 试问下面的运算正确吗？如有错误,请指出错误,并且给出正确解法（1）lim xlim 1x x sin x x 1 cos x分

25、析 上式等号是错误的 ,由于 x 时 1 cos x 的极限不存在（振荡）不能使用洛必达法就当 x 时,极限式中含有 sin ,cos x ,不行用洛必达法就12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解lim xxxxlim x11x1101sinsinxx x 2 x 2 x（2）lim x ee x ee x lim x e e2 x 11 lim x 22 ee 2 x 1分析 第一个等号是正确的,其次个等号是错误的由于此题应考虑 x及 x 两种不同的极限过程,分两种情形考虑x x 2 x x x 2 xe

26、e 1 e e e e 1x lime xe x x lim1 e 2 x 1 ,x lime xe x x lime 2 x1 1所以当 x 时极限不存在（3）设 g 0 g 0 ,0 g 0 2,lim x 0 gx x2 lim x 0 g2 x x lim x 0 g2 x g2 0 1分析 上式第一个等号是正确的由于当 x 0 时,g x 0 , x 2 0,所以 g 2 x 是 0 型未定式又由于 g 0 2,在 x =0 的某邻域内 g x 存在,x 0可 以 用 洛 必 达 法 就 第 二 个 等 号 是 错 误 的 虽 然 x 0 时 ,2 x 0 , g x 0 , g x

27、 是 0 未定式,但 g 0 2,仅代表 g x 在点 x =02 x 0处二阶导数存在而 g x 在 x =0 的邻域内是否存在没有说明,不满意洛必达法就中的条件 2,故不能用洛必达法就 ,应当按导数定义运算解 limx 0 gx 2 x limx 0 g2 x x 12 limx 0 g xx 0 g 0 12 g 0 1（4）lim n lnn nlim n ln n n lim n 1n 0分析 上述运算是错误的由于 n 为自然数,数列的定义域是离散点集,对自变量 n 而言数列不存在导数,不能直接用洛必达法就运算时,可先将 n 扩充为连续变量x ,写出相应的函数lnx当 x时,lnx是

28、型未定式,可以使用洛必达法就xx求函数的极限,再用归结原就明显,假如函数的极限存在,数列的极限也存在且13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等于函数的极限但也需留意,假如函数的极限不存在,数列的极限可能仍存在解因x limlnxx lim10,所以,当 x 为正整数时n limlnn0xxn1=（5）求lim x 0 1xxelim x 0 1x1/xx1ln1x1x 1xxx1解lim x 01xxe21x1lim x 0 1x 1 xx 1x ln 1x =lim x 0 1x 11lim x 0xxln1

29、xx2 1x x2分析=elim x 011ex22上述解法是正确的这是简化运算,0 型未定式,可应用洛必达法就；而且为了 0在其次个等号的右端将函数进行了有理运算,在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限,防止使用洛必达法就时的复杂求导运算,而仅对未定式部分使用法就,这样运算大大简化 18 试问泰勒公式的拉格朗日型余项和佩亚诺型余项具有什么不同的特点 . 答：从定理的条件看 , 泰勒公式的佩亚诺型余项成立的条件是函数 f 在点 x 0存在直至 n 阶导数；而拉格朗日型余项成立就要求函数 f 在 a , b 上存在直至 n 阶的连续导函数,在 a , b 内存在 n 1 阶导函

30、数；后者所需条件比前者强n从余项形式看 , 佩亚诺型余项 o x x 0 是以高阶无穷小量的形式给出的 , 是一种定性的描述；而拉格朗日型余项是用 n 1 阶导数形式给出的 , 利用这类余项对用泰勒多项式靠近函数时产生的误差可以给出定量的估量从证明方法看 , 佩亚诺型余项是用洛必达法就证明的；西中值定理证明的从应用方面看 , 佩亚诺型余项在求极限时用得较多；14 而拉格朗日型余项是用柯而拉格朗日型余项在近似计名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 算估量误差时用得较多在适当加强的条件下 , 可由拉格朗日型余项推得佩亚诺

31、型余项的结论 , 即: 如函数 f 在点 x 的某个邻域上存在 n 1 阶连续导函数 , 就由泰勒公式的拉格朗日型余项可推导出佩亚诺型余项公式 19. 如函数 f x 在点 x 取极大值 , 是否可肯定 0x 的充分小邻域中 , 函数在点0x 的左侧上升；右侧下降 . 2 1答： 不能,f x 2 x 2 sinx , x ,0它有极大值 f 0 2 . 由于2 , x ,0f x 2 x 2 sin 1x cos 1x , x 0 ,当 | x 充分小且 x 0 时,0 , x 0 ,f x 的符号打算于 cos 1的符号,而 cos 1在 x 0 0 的充分小的领域内,无限次x x转变正、

32、 负号, 因此 f x 不满意定理 610 的条件 由此可见, 如 f x 在点 x 取极大值,就在点 x 的充分小的领域内,f x 不肯定在点 x 左侧上升,右侧下降说明极值的第一充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件注 极值的其次充分条件为判定极值的充分条件而非必要条件例如fxx4sin21,x0 ,明显,它有微小值f00 .由于因 此x0,x0 ,sin20f 0 lim x 0x4sin210 ,f 0 lim x 04 x3sin21x2xxxxxfx不满意极值的其次充分条件定理的条件. 当f x 0为极20. 设fx为区间 I 上的连续函数 , 且在 I 上仅有唯独的极值点大（小）值时 , 为什么f x 0必为 f 的最大（小）值. 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - -