2022年高考全国Ⅰ数学试题与答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年一般高等学校招生全国统一考试文科数学 必修 +选修 解读版参考公式：假如大事 A、 B互斥,那么 球的表面积公式2P A B P A P B S 4 R假如大事 A、 B相互独立,那么 其中 R表示球的半径P A B P A P B 球的体积公式假如大事 A在一次试验中发生的概率是 p ,那么 V 3R 34n 次独立重复试验中大事 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径P k n C p n k k 1 p n k k 0,1,2,n 一、挑选题1 cos300A3 B-1C1 2D 32221.C【命题意图】本小题主

2、要考查诱导公式、特别三角函数值等三角函数学问【解读】cos300cos 36060cos6011,3,5,就Ne UM22 设全集U1,2,3,4,5,集合M1,4,NA. 1,3 B.1,5 C. 3,5 D.4,52.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关学问【解读】e UM2,3,5,Ny1,3,5,就Ne UM1,3,52,3,5 = 3,51,3 如变量x y 满意约束条件xy0,0,就zx2y 的最大值为xy2A4 B3 C2 D1 3.B【命题意图】本小题主要考查线性规划学问、作图、识图才能及运算才能. ,当直线l经过点【解读】画出可行域（如右图）,zx2yy

3、1x1z ,由图可知22A1,-1时, z 最大,且最大值为z max12 13. - 1 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - yxy01A 2yxa a a = l0:x2y0Ox y20A x2a ,a a a =5,a a a =10,就（4）已知各项均为正数的等比数列A 5 2 B 7 C 6 D 4 24.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等学问,着重考查了转化与化归的数学思想. 性质知a a a 3 a a 3a 23 a 25,【解读】由等比数列

4、的a a a 9a a 9a 83 a 810, 所以a a 8135 250 3, 1所以a a a 6a a 6a 53 a 5a a 83 50 514 x 1x3的绽开式2 x 的系数是A-6 B-3 C0 D3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的把握情形,特别是绽开式的通项公式的敏捷应用,以及能否区分绽开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算才能 . - 2 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解读】14 x 1x314x6 x243 xx413 x

5、13xx3222x 的系数是 -12+6=-6 6 直三棱柱ABCA B C 中,如BAC90,ABACAA ,就异面直线BA 与AC 所成的角等于A30 B45 C60 D90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC A B C 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法 . 【解读】延长 CA到 D,使得 AD AC ,就 ADAC 为平行四边形,DA B 就是异面直线 10BA 与 AC 所成的角,又三角形 A DB 为等边三角形,DA B 607 已知函数 f x | lg x . 如 a b 且,f a f b ,就 a b 的取值范畴是A 1, B 1, C 2,

6、D 2, 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范畴,而利用均值不等式求得 a+b= a 12 ,从而错选 D,这也是a命题者的用苦良心之处 . 1 1【解读 1】由于 fa=fb,所以 |lga|=|lgb|, 所以 a=b舍去 ,或 b,所以 a+b= aa a又 0ab,所以 0a1f1=1+1=2,即 a+b 的取值范畴是 2,+. 0 a 1 0 x 1【解读 2】由 0ab, 且 f a= f b 得：1 b,利用线性规划得：1 y,化为求ab 1 xy 11 1z x y 的取值范畴问题,z x y y x

7、z ,y y 2 1 过点 1,1x x时 z 最小为 2, C 2, （8）已知 F 、1 F 为双曲线 C: 2 x 2y 21 的左、右焦点,点 P在 C上,F P 1 F = 2 60 ,就 0| PF 1 | | PF 2 |A2 B4 C 6 D 8 8.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思- 3 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 想,通过此题可以有效地考查考生的综合运用才能及运算才能 . 【解读 1】.由余弦定理得cos1F PF =|PF 1|

8、2|PF 2| 2|F F 2| 22 22：2 |PF 1|PF 2|cos600PF 1PF 222PF 1PF 2F F 221222PF PF 22PF 1PF 222PF PF 1 2式得|PF 1| |PF 2|4 【解读2】由焦点三角形面积公SF PF 12b2cot22 1 cot60031PF 1PF2sin 6001PF1PF 232222|PF 1| |PF 2|4 （9）正方体 ABCD -A B C D 中,1 1 1 1BB 与平面 1ACD 所成角的余弦值为 1（A）2（B）3（C）2 3（D）63339.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成

9、的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D 到平面 AC D 的距离是解决此题的关键所在, 这也是转化思想的详细表达 .【解读 1】由于 BB1/DD 1,所以 BB 与平面 AC D 所成角和DD1与平D1 C1 C 面 ACD 所成角 相等 ,设DO平面ACD ,由等体积法得A1 B1 V DACD 1V D 1ACD,即1SACD 1DO1SACDDD .设 DD1=a, D O 33就A B SACD11AC AD 1sin 6012 2332 a ,SACD1AD CD12 a . 222222所 以D OSA C DD Da323a , 记DD1 与 平 面ACD 所 成 角

10、 为, 就SA C D 13a3sinDO3,所以cos6. DD 133【解读2】设上下底面的中心分别为O1,O ；O O 与平面 1AC D 所成角就是 1BB 与平面 1- 4 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - AC D 所成角,cosO OD 1O O1/36OD 123（10）设alog 2,bln 2,c51 2就ab D cba（A） abc （B） bca Cc10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法就

11、的应用. 31e1；【解读 1】a=log 2=1,b=In2=1,而log 3log2e1,所以 ab, log 3log ec=51=1 5,而52log 4log 3 ,所以 ca,综上 cab. 2【 解 读2 】 a=log32=13, b=ln2=1e,1logelog32,11loglog222loglog2222c=51111, cab 2542PAPB 的最（11）已知圆 O 的半径为 1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么小值为A 42 B32 C 42 2 D32 211.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法判

12、别式法,同时也考查了考生综合运用数学学问解题的才能及运算才能A . P 【解读1】如下列图：设PA=PB=x x0, APO=, 就APB=2,PO=12 x,sin11x2,O PA PB|PA| |PB|cos2=2 x1 2sin2=B x22 x1=x4x2,令P AP B ,就32 2或y32 2.故x21x21yx42x2,即4 x1y x2y0,由2 x 是实数,所以x1 1y24 1 y 0,2 y6y10,解得yPA PB min32 2.此时x21. - 5 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - -

13、- - - 2【解读 2】设APB2,01sin,PA PB2PAPBcos1/ tan2cos1,2 cos212sin22212sin2换元：xsin22,0xsin22sin22PAPB1x12x2x132 23B x 1,y 1,P x 0,0,xx【解读 3】建系：园的方程为2 xy21,设A x 1,y 1,PAPBx 1x 0,y 1x 1x 0,y 1x 1 22x x 1 0x 0 2y 1 2AOPAx 1,y 1x 1x 0,y 102 x 1x x 02 y 10x x 01PAPB2 x 12x x 02 x 02 y 12 x 12x212 x 122 x 12 x

14、 032 230（12）已知在半径为2 的球面上有A、B、C、 D四点,如AB=CD=2,就四周体 ABCD的体积的最大值为A 2 3 B 4 3 C 2 3 D 8 33 3 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的运算、球的性质、异面直线的距离 , 通过球这个载体考查考生的空间想象才能及推理运算才能 . 【解读】过 CD 作平面 PCD,使 AB平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距离为 h , 就有V 四周体 ABCD 12 12 h 2h , 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 , h max 2 2 21 22 3 , 故3 2 34 3V max

15、. 3第二卷留意事项： 1答题前,考生先在答题卡上用直径0.5 毫 M黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清晰,然后贴好条形码；请仔细核准条形码上的准考证号、姓名和科目； 2第二卷共 2 页,请用直径 0.5 毫 M黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试卷卷上作答无效； 3. 第二卷共 10 小题,共 90 分；二填空题：本大题共 4 小题,每道题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上- 6 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 留意：在试卷卷上作答无效 13 不等式 2 x 2 0

16、的解集是 . x 3 x 213. x 2 x 1, 或 x 2【命题意图】 本小题主要考查不等式及其解法【 解 读 】 : 2 x 20 x 20 x 2 x 2 x 1 0, 数 轴 标 根x 3 x 2 x 2 x 1得：x 2 x 1, 或 x 214 已知 为其次象限的角,sin a 3 , 就 tan 2 . 514. 24【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判定、同角三角函数关系、和角的7正切公式 ,同时考查了基本运算才能及等价变换的解题技能 . 【解读】由于 为其次象限的角 , 又 sin 3, 所以 cos 4,tan sin 3, 所5 5 cos 42 tan 24

17、tan2 21 tan 715 某学校开设 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,如要求两类课程中各至少选一门,就不同的选法共有种 . 用数字作答 15. A【命题意图】 本小题主要考查分类计数原理、组合学问 , 以及分类争论的数学思想 . 【解读 1】:可分以下 2 种情形 :1A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门, 有C C 种不同的选法； 2A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门, 有 C C 种不同的选法 . 所以不同的选法共有 C C + C C 2 14 18 12 30 种. 3 3 3【解读 2】: C 7 C 3 C 4 3

18、016 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,uur uur且 BF 2FD,就 C 的离心率为 . 16. 3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与3 y几何性质、其次定义、平面对量学问,考查了数形 B结合思想、方程思想 ,此题凸显解读几何的特点：“ 数争论形,形助数” ,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径 . |BF|2 b2 ca , OFDx【解读 1】如图,D 1- 7 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作DD1uur y 轴于点 D

19、1, 就由 BFuur 2FD,得| OF | | BF | 2,所以 | DD 1 | 3 | OF | 3 c , | DD 1 | | BD | 3 2 22 2即 x D 3 c,由椭圆的其次定义得 | FD | e a 3 c a 3 c2 c 2 2 a2又由 | BF | 2 | FD | , 得 a 2 a 3 c, e 3a 32 2【解读 2】设椭圆方程为第一标准形式 x2 y2 1,设 D x 2 , y 2,F 分 BD 所成的比为 2,a bx c 0 2 x 2 x 2 3x c 3c y c b 2 y 2 y 2 3 y c b 3 0 b b,代入1 2 2

20、2 1 2 2 2 22 29 c 1 b 32 2 1,e4 a 4 b 3三解答题：本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 10 分） 留意：在试卷卷上作答无效 记等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,设 n S 3 12,且 2 , a a 1 2 , a 3 1 成等比数列,求 S . n18 本小题满分 12 分 留意：在试卷卷上作答无效 已知 V ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b 满意 a b a cot A b cot B ,求内角 C 19 本小题满分 12 分 （留意：在试卷卷上作答无 效投到某杂志的稿件

21、,先由两位初审专家进行评审如能通过两位初审专家的评审,就予以录用；如两位初审专家都未予通过,就不予录用；如恰能通过一位初审专家的评审,就再由第三位专家进行复审,如能通过复审专家的评审,就予以录用,否就不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5 ,复审的稿件能通过评审的概率为0.3 各专家独立评审 I 求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； II 求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率（20）（本小题满分 12 分） （留意：在试卷卷 上作答无效 ）如图,四棱锥 S-ABCD中, SD 底面 ABCD,AB/DC,AD DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱

22、SB上的一点,平面 EDC 平面 SBC . - 8 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）证明： SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小 . （21） 本小题满分 12 分 （留意：在试卷卷上作答无效）4 2已知函数 f x 3 ax 23 a 1 x 4 x（I ）当 a 1时,求 f x 的极值；6（II ）如 f x 在 1,1 上是增函数,求 a 的取值范畴22 本小题满分 12 分 （留意：在试卷卷上作答无效 ）2已知抛物线 C y 4 x 的焦点为 F,过点 K 1,0 的直线

23、 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x轴的对称点为 D . （）证明：点 F 在直线 BD 上；（）设 FA FB 8,求 BDK 的内切圆 M 的方程 . 9三,解答题：接答应写出文字说明,证明过程或演算步骤；17 解：（1）由 am=a1+（n-1）d 及 a1=5,aw=9 得a1+2d=5 解得 a1=9 a1+9d=-9 d=-2 数列 am的通项公式为 an=11-2n；由于 Sm=n-5 2+25. 所以 n=5 时, Sm取得最大值；（18）解：（1）由于 PH是四棱锥 P-ABCD的高；所以 ACPH又 ACBD,PH,BD都在平面 PHD内, 且 PHBD

24、=H. 所以 AC平面 PBD 故平面 PAC平面 PBD2由（ 1）知 Sm=na1+ nn-12 d=10n-n 2 2由于 ABCD为等腰梯形, AB CD,AC BD,AB= 6 . 所以 HA=HB= 3 . 由于APB=ADR=60 0 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . - 9 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等腰梯形 ABCD的面积为 S=1 2AC x BD = 2+ 3 . .9 分所以四棱锥的体积为V=1 3x（2+ 3 ）x 3=32 3 .12

25、分3（19）解：（ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要理想者供应帮忙 ,因此该地区老年人中需要帮忙的老年人的比例的估量值为 7014% . 450022 k 2 500 40 270 30 1609.967200 300 70 430由于 9.967 6.635所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮忙与性别有关 . 8（3）由于（ 2）的结论知,该地区的老年人是否需要帮忙与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮忙的比例有明显差异 ,因此在调查时 ,先确定该地区老年人中男 ,女的比例,再把老年人分成男 ,女两层并采纳分层抽样方法比采纳简洁反立即抽

26、样方法更好 . 12（20）解：（ 1）由椭圆定义知 F 2 + F 2又 2 AB = AF F 得 ABL 的方程式为 y=x+c,其中 c= 1-b 2 2 设 A,x1,y1,Bx1,y1就 A,B 两点坐标满意方程组y=x+c 2x2+y b 2=1 化简得 1+b 2x 2+2cx+1-2b 2=0 2就 x1+x2= -2c 1+b 2.x1x2=1-2b 1+b 2（2）即42x 22 x . 412 b41 2 b24 8 b解得b2. 3就8x 1x 24x x 1 291b2212 b12 b2（21）解：（）a1时,f x x x e112 x ,f x e1x xex

27、x e1x1；当22x, 1时f ； 当x1 , 0时 ,f x0； 当x0,时 ,f x；故f x 在, 1 , 0,单调增加,在（ -1,0）单调削减；- 10 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）f x x xa1ax ；令g x xa1ax ,就g x x ea ；如a1,就当x0,时,g ,g x 为减函数,而g00,从而当gx0 时g x 0,即f x 0. 00,从而当如 a,就当x0, lna 时,gx,g x 为减函数,而x0, lna 时g x 0,即f x 0. 综合得 a

28、的取值范畴为,122 解: 1由于 AC=BD 所以 BCD=ABC 又由于 EC与圆相切于点 C,故 ACE=ABC 所以 ACE=BCD II由于 ECB=CDB,EBC=BCD, 5 分1 10 分所以 BDC ECB,故BC BE=CD即BC 2=BE CD （23）解：（ I）当3时, C1 的一般方程为y3x,C2 的一般方 程为2 2x y 1 . 联立方程组 x yx 2 3 xy 2 1,1, 解得 C1 与 C2 的交点为（ 1,0）,1 , 32 2（II）C1的一般方程为 x sin y cos sin 0 . 2A 点坐标为 sin a , cos sin a ,故当

29、 a 变化时, P 点轨迹的参数方程为x 1 sin 2a2 1 2 2 1y 1 sin cos2 a（ a 为参数） P 点轨迹的一般方程为 x4 y16故 P 点是圆心为 1,0,半径为1 的 圆4 424解：: -2x+5,x21由于 f x= 2x-3,x 2 就函数 y=fx的图像如下列图 .；- 11 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5 分（ ）由函数 y f x 与函数 y ax 的图像可知,当且仅当 a 2 时,函数 y f x与函数 y ax 的图像有交点；故不等式 f x ax的解集非空时, a 的取值范畴为, 2 1 ,；10 分2- 12 - / 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页