2022年高考数学三角函数练习题及答案解析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学三角函数练习题及答案解析（2022 上海文数） 19. （此题满分12 分）a,b,c,已知 0x2,化简：2 xlgcos x tan x 1 2sin lg 2 cos x lg12 2解析：原式 lgsinx cosx lgcosx sinx lgsin x cosx 2 0sin 2 x . （2022 湖南文数） 16. （本小题满分12 分）已知函数f x sin 2x2sin2x（I）求函数f x 的最小正周期；II 求函数f x 的最大值及f x 取最大值时x 的集合；（2022 浙江理数） （18）此

2、题满分 l4 分在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为已知cos2 C14I 求 sinC 的值；当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长解析：此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础学问,同事考查运算求解才能；（）解：由于cos2C=1-2sin2C=1,及 0Cc,得4所以 sinC=10. 4（）解：当a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理asin Asin Cc=4 名师归纳总结 由 cos2C=2cos2C-1=1,J 及 0C 得第 1 页,共 19 页4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

3、迎下载6cosC=4由余弦定理 c 2=a 2+b 2-2abcosC,得b 26 b-12=0 解得 b= 6 或 2 6所以 b= 6 b= 6c=4 或 c=4 （2022 全国卷 2 理数） （17）（本小题满分 10 分）ABC 中, D 为边 BC 上的一点,BD 33,sin B 5,cos ADC 3,求 AD 13 5【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础学问、基本技能的把握情形 . 【参考答案】由 cos ADC= 0,知 B. 由已知得 cosB=,sin ADC= . 从而 sin BAD=sin（ ADC

4、-B）=sin ADCcosB-cosADCsinB=. 由正弦定理得,所以=. 【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁显现.这类题型难度比较低,一般显现在17 或 18 题,属于送分题,估量以后这类题型仍会保留,不会有太大转变 . 解决此类问题,要依据已知条件,敏捷运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化 . （2022 陕西文数） 17. （本小题满分 12 分）在 ABC中,已知 B=45 ,D 是 BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 . 解 在 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得名师归纳总结

5、 cosAD22DC2AC2=100 362 101961, 第 2 页,共 19 页AD DC62ADC=120 , ADB=60ADB=60 ,在 ABD中, AD=10, B=45 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备102欢迎下载.由正弦定理得sinABAD, ADBsinB3AB=ADsinBADB10sin 6025 6sinsin 452（2022 辽宁文数） （17）（本小题满分12 分）2 cbc在ABC中, a、 、c分别为内角 A、 、C的对边,且 2 sinA2bcsinB2cbsinC（）求 A 的大小；（）如 si

6、nBsinC1,试判定ABC 的外形 . 解：（）由已知,依据正弦定理得2 a22 bcb即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccosA故cosA1,A1202（）由（）得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC .又sinBsinC1,得sinBsinC12由于0B900,C90,故 BC所以ABC 是等腰的钝角三角形；（2022 辽宁理数） （17）（本小题满分12 分）在 ABC 中, a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边,且2 sinA2acsinB2cbsinC .（）求 A 的大小；（）求 sinBsinC 的最大值 . 解：（）由已知,依据正弦定理得2

7、2a22bc b2cb c即a2b2c2b cc22 bccosA 6 分由余弦定理得a2b故c o s A1,A=120 2（）由（）得：名师归纳总结 s i n Bs i nsi ns i n 6 0第 3 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载B5,cos 12 分,求 AD ；3cosB1sinB22sin60B故当 B=30 时, sinB+sinC 取得最大值1；（2022 全国卷 2 文数） （17）（本小题满分10 分）ADC3 5ABC中, D 为边 BC 上的一点,BD33,sin13【解析】此题考查了同

8、角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础学问；由 ADC与 B 的差求出 BAD ,依据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦,在三角形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD ；（2022 江西理数） 17.（本小题满分 12 分）已知函数fx1cotxsin2xmsinx4sinx4；1 当 m=0 时,求fx 在区间8,34上的取值范畴；已知三角函数值求值问题；依靠三2 当tana2时,fa3,求 m 的值；5【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、角函数化简,考查函数值域,作为基本的学问交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解：（1）当 m=0 时,f x 1cosxs

9、in2xsin2xsinxcosx1cos2xsin 2xsinx32 2,121 22 sin2x41,由已知x8,3,得2x44从而得：f x 的值域为0,122（2）f 1cosxsin2xmsinx4sinx4sinx化简得：f x 1sin 2x1m cos 2 122当 tan2 ,得：sin 2a2sinacosa12tana4,cos2a,sin2acos2atan2a55代入上式, m=-2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a b c ,cosA12；（2022 安徽文数） 1

10、6、（本小题满分12 分）ABC的面积是 30,内角A B C 所对边长分别为13求 AB AC ；如cb1,求 a 的值；【命题意图】此题考查同角三角函数的基本关系,弦定懂得三角形以及运算求解才能 . 三角形面积公式,向量的数量积,利用余【解题指导】（1）依据同角三角函数关系,由 cos A 12得 sin A的值,再依据 ABC 面13积公式得 bc 156；直接求数量积 AB AC .由余弦定理 a 2b 2c 22 bc cos A ,代入已知条件 c b 1,及 bc 156 求 a 的值 . 解：由 cos A 12,得 sin A 1 12 2 5. 13 13 13又1 bc

11、sin A 30,bc 156 . 2（）AB AC bc cos A 156 12144 . 13（）a 2b 2c 22 bc cos A c b 22 bc 1 cos A 1 2 156 1 12 25,13a 5 . 【规律总结】依据此题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ABC 的面积是 30,cos A 12,所以先求 sin A 的值,然后依据三角形面积公式得 bc 的值 .其次问13中求 a 的值,依据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可 .（2022 重庆文数） 18.本小题满分13 分, 小问 5 分, 小问 8 分. 设ABC的内角 A、B、

12、C的对边长分别为a、 b、c, 且 32 b +32 c -32 a =42 bc . 求 sinA 的值；名师归纳总结 求2sinA4sinBC4的值 . 第 5 页,共 19 页1 cos2A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a,b,c,设（2022 浙江文数） （18）（此题满分）在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为S 为 ABC 的面积,满意S3 4a2b2c2；（）求角C 的大小；（）求 sinAsinB 的最大值；（2022 重庆理数） （16）（本小题满分13 分,（ I）小问 7 分,（ II ）小问 6 分）设

13、函数fxcosx22cos2x,xR；a,b,c,如 fB =1,b=1,c=3 ,32（I）求 fx 的值域；（II ）记ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为求 a 的值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2022 山东文数） 17 （本小题满分学习必备欢迎下载12 分）名师归纳总结 函数y已知函数f x sinx cosxcos2x（0）的最小正周期为,第 7 页,共 19 页（）求的值；（）将函数yf x 的图像上各点的横坐标缩短到原先的1,纵坐标不变,得到2g x 的图像,求函数yg x 在区间0,

14、16上的最小值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2022 北京文数） （15）（本小题共 13 分）名师归纳总结 已知函数f x 2cos 2xsin2x时,第 8 页,共 19 页（）求f3的值；（）求f x 的最大值和最小值解：（）f32cos2sin23=131344（）f x 22cos2x11cos2x3cos2x1,xR由于 cosx1,1, 所以,当 cosx1 时f x 取最大值2；当 cosx0f x 去最小值 -1 ；（2022 北京理数） （15）（本小题共13 分）已知函数fx2cos 2xsin2x4

15、cosx ；（）求f3的值；（）求fx的最大值和最小值；解：（ I）f32cos2sin234cos31393447（ II）f x 22cos2x11cos2x4cosx=3cos2x4cosx1=3cosx227, xR33由于 cosx 1,1,所以,当 cosx1 时,f x 取最大值 6；当cosx2时,f x 取最小值33（2022 四川理数） （19）（本小题满分12 分）. （）1证明两角和的余弦公式C: coscoscossinsin；2由 C推导两角和的正弦公式S: sinsincoscossin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （

16、）已知ABC 的面积S1 , 2学习必备3欢迎下载3,求 cosC. ABAC,且cosB5本小题主要考察两角和的正、算才能；余弦公式、 诱导公式、 同角三角函数间的关系等基础学问及运解： 1如图,在执教坐标系xOy 内做单位圆O,并作出角、 与 ,使角 的始边为Ox,交 O 于点 P1,终边交 O 于 P2；角 的始边为 OP2,终边交 O 于 P3；角 的始 边为 OP1,终边交 O 于 P4.就 P1 1, 0, P2 cos, sin P3 cos , sin , P4 cos , sin 名师归纳总结 由 P1P3P2P4 及两点间的距离公式,得12 分第 9 页,共 19 页 co

17、s 12sin 2 cos cos2 sin sin 2绽开并整理得：22cos 22 cos cossin sin cos cos cossin sin . 4 分由易得cos2 sin , sin2 cossin cos2 cos2 cos2 cos sin2 sin sin coscos sin 6 分 2 由题意,设ABC 的角 B、C 的对边分别为b、c就 S1 2bcsinA1 2ABAC bccosA3 0 A 0, 2, cosA3sinA又 sin2Acos 2A1, sinA10, cosA3 10 1010由题意, cosB3 5, 得 sinB4 5cos AB cos

18、AcosBsinAsinB 10 10故 cosCcos AB cos AB 10 10（2022 天津文数） （17）（本小题满分12 分）在ABC 中,ACcosB；ABcosC（）证明B=C ：（）如 cosA=-1 3,求 sin 4B3的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础学问,考查基本运算才能 . 满分 12 分. （ ） 证 明 ： 在 ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得sin B =cosB . 于 是s

19、in C cosCsinBcosC-cosBsinC=0 ,即 sin （ B-C） =0. 由于 B C,从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由A+B+C= 和（）得A=-2B, 故 cos2B=-cos （-2B ）=-cosA=1 3. 的又 02BAC,而小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 / 小时,故轮船与小艇不行能在 A、C（包含 C）的任意位置相遇,设 COD= 0 90 , 就在 Rt COD 中,CD 10 3tan,OD=10 3,cos由于从动身到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t 10 10 3 tan和 t 10 3,30 v cos所以10 10 3

20、 tan 10 3,解得 v 15 3 , 又 v 30, 故 sin +30 3,30 v cos sin +30 2从而 30 90 , 由于 30 时,tan 取得最小 值,且最小值为 3,于是3当 30 时,10 10 3 tan取得最小值,且最小值为 2；30 3此时,在 OAB 中,OA OB AB 20,故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里 / 小时,小艇能以最短时间与轮船相遇；（2022 安徽理数） 16、（本小题满分 12 分）设ABC是锐角三角形,a b c 分别是内角A B C 所对边长,并且sin2Asin3B sin3B sin2B

21、；求角 A 的值；名师归纳总结 如AB AC12,a2 7,求,b c （其中 bc ）；第 16 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2022 江苏卷） 17、（本小题满分学习必备欢迎下载14 分）某爱好小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位：m）,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角 ABE=, ADE=；1该小组已经测得一组、的值, tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 H 的值；2该小组分析如干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位： m）,使 与 之差较大,可以提高测量精确度；如

22、电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时,-最大？解析 此题主要考查解三角形的学问、两角差的正切及不等式的应用；名师归纳总结 （1）HtanADH,同理：ABH,BDh；124；第 17 页,共 19 页ADtantantanAD AB=DB ,故得HHh,解得：Hhtan4 1.24tantantantantan1.241.20因此,算出的电视塔的高度H 是 124m；hHh,（2）由题设知 dAB ,得 tanH, tanHdADDBdhHHhhdtan1tantan1dHd Hhd2tantanH Hh dH Hh ddd- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

23、 - - - - dH Hh2H Hh 学习必备d欢迎下载h 125 121 55 5时,取等,（当且仅当H Hd号）故当d55 5时, tan 最大；,所以当d55 5时,-最大；由于 02,就 02故所求的 d 是 55 5 m；（2022 江苏卷） 23.（本小题满分 10 分）已知 ABC 的三边长都是有理数；1、求证 cosA 是有理数；（ 2）求证：对任意正整数n,cosnA 是有理数；解析 此题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础学问,考查推理论证的才能与分析问题、解决问题的才能；满分10 分；a b c ,cosAb22 ca2,a b c 是有理数,（方法一）（ 1）证明：设三

24、边长分别为2bcb2c22 a 是有理数,分母2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,名师归纳总结 b22 ca2必为有理数,cosA 是有理数；第 18 页,共 19 页2bc（2）当n1时,明显 cosA 是有理数；当n2时,cos2A2cos2A1,由于 cosA 是有理数, cos2 A 也是有理数；假设当nk k2时,结论成立,即coskA 、 cos k1A 均是有理数；当nk1时, cos k1AcoskAcosAsinkAsinA ,cos k1AcoskAcosA1coskAAcos kAA ,2cos k1Acos kAcosA1cos k1A1cos k1A

25、,22解得： cos k1A2coskAcosAcos k1AcosA, coskA , cos k1A 均是有理数,2coskAcosAcos k1A 是有理数, cosk1A 是有理数；即当nk1时,结论成立；综上所述,对于任意正整数n,cosnA 是有理数；（方法二）证明：（1）由 AB 、BC、AC 为有理数及余弦定理知cosAAB22AC2BC2是有理数；AB AC（2）用数学归纳法证明cosnA 和 sinAsinnA都是有理数；当n1时,由（ 1）知 cos A是有理数,从而有sinAsinA1cos2A 也是有理数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载sinAsinkA cosA,第 19 页,共 19 页假设当nk k1时, coskA 和 sinAsinkA都是有理数；当nk1时,由 cos k1AcosAcoskAsinAsinkA ,sinAsin k1 AsinAsinAcos kAcos AsinkA sinAsin cos kA及和归纳假设,知cos k1A 和 sinAsink1A 都是有理数；即当nk1时,结论成立；综合、可知,对任意正整数n, cosnA 是有理数；- - - - - - -