2022年高考数学二轮复习名师知识点总结函数与方程及函数的应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 函数与方程及函数的应用1 函数的零点与方程的根1函数的零点对于函数 fx,我们把使fx0 的实数 x 叫做函数 fx的零点2函数的零点与方程根的关系函数 Fxfxgx的零点就是方程fxgx的根,即函数 yfx的图象与函数ygx的图象交点的横坐标3零点存在性定理假如函数 yfx在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且有 fa fb0,那么,函数 yfx在区间 a,b内有零点,即存在 fx0 的根留意以下两点：满意条件的零点可能不唯独；不满意条件时,也可能有零点ca,b使得 fc0,这个 c 也就是方程4二分法求函数零点的近似值,二分法求方程

2、的近似解2 函数模型解决函数模型的实际应用题,第一考虑题目考查的函数模型,并要留意定义域其解题步骤是 1阅读懂得,审清题意：分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问 题； 2数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式；3解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；化成实际问题作出解答 . 考点一 函数的零点4实际问题作答：将数学问题的结果转例 1 12022 重庆 如 ab0 ,的零点个数是 第 1 页,共 15 页2x1 x 0 ,A0 B1 C2 D3 答案1A2D - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 1由于 ab0,f

3、bbcba0.因此有 fa fb0,fb fc0 时,在同一个直角坐标系中分别作出 y ln x 和 yx 22xx1 21 的图象,可知它们有两个交点；当 x0 时,作出 y2x1 的图象,可知它和 x 轴有一个交点综合知,函数 yfx有三个零点1函数零点 即方程的根 的确定问题, 常见的有 函数零点值大致存在区间的确定；零点个数的确定； 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,特别是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解2提示：函数的零点不是点,是方程 其函数值等于零函数的零点也就是函数fx0 的根,即当函数的自变

4、量取这个实数时,yfx的图象与 x 轴的交点的横坐标12022天津 函数 fx2 xx 32 在区间 0,1内的零点个数是 A0 B1 C2 D3 2已知函数 fxa xxb 的零点 x0n,n1nZ,其中常数 a、b 满意 2 a3,3 b2,就 n _. 答案 1B 21 解析 1先判定函数的单调性,再确定零点由于 fx2 xln 23x 20,所以函数 fx2 xx 32 在0,1上递增,且 f0 1 02 10,所以有 1 个零点2fx a xxb 的零点 x0 就是方程 a x xb 的根设 y1a x,y2 xb,故 x0 就是两函数交点的横坐标,如图,名师归纳总结 当 x 1 时

5、, y11 alog32y21 b1log 32,第 2 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1x00, n 1. 考点二 与函数有关的自定义问题例 2 如对于定义在 R 上的函数 fx,其图象是连续不断的,且存在常数 R使得 fx fx0 对任意实数都成立,就称 fx是一个“相伴函数” 有以下关于“伴随函数” 的结论： fx0 是常数函数中唯独一个“相伴函数” ； fxx 是“相伴函数” ； fx x 2 是“相伴函数” ；“12相伴函数” 至少有一个零点其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D4 先懂得新定义 “ 相伴函数 ” 的意

6、义,然后对给出的函数逐一用定义检验,从而判定所给命题的正确性答案 A 解析 对于 ,如 fxc 0,取 1,就 fx1fxcc 0,即 fxc 0 是一个 “ 相伴函数 ” ,故 不正确对于 ,如 fxx 是一个 “ 相伴函数 ” ,就x x0,求得 0 且 1,冲突,故 不正确名师归纳总结 对于 ,如 fxx2是一个 “ 相伴函数 ” ,第 3 页,共 15 页就x2 x 20,求得 0 且 1,冲突,故 不正确对于 ,如 f x是 “1 2相伴函数 ” ,就 fx1 21 2fx0,取 x 0,就 f1 21 2f00,如 f0 ,f1 2任意一个为0,函数 fx有零点；如 f0 ,f1

7、2均不为 0,就 f0 ,f1 2异号,由零点存在性定理,知 fx在0,1 2内存在零点x0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 正确应选 A. 函数的创新命题是高考命题的一个亮点,此类题型 是用数学符号、文字表达给出一个教材之外的新定义,如此题中的 “ 相伴函数 ” ,要求在短时间内通过阅读、懂得后,解决题目给出的问题解决这类问题的关键是精确把握新定义的含义,把从定义和题目中猎取的新信息进行有效的整合,并转化为熟识的学问加以解决,即检验 fx fx0 对任意实数都成立如平面直角坐标系内两点 P,Q 满意条件： P,Q 都在函数 fx的图象上； P

8、,Q 关于 y 轴对称, 就称点对 P,Q是函数 fx的图象上的一个“ 镜像点对”点对 P,Q与点对Q,P看作同一个“ 镜像点对”cos x x0 ,A1 对 B2 对 C3 对 D4 对答案 C 解析 依题意,设点 Px0,y0,Qx0,y0其中 x00,如点对 P,Q是函数 fx的图象上的一个“ 镜像点对 ” ,y0log 3x0,就有y0cos x0 cos x0,所以 log 3x0cos x0,即 x0 是方程 log3xcos x 的根在同一个直角坐标系中画出函数 y log3x 与 ycos x 的图象,可知这两个图象共有 3个交点,即函数 fx的图象的 “ 镜像点对 ” 共有

9、3 对应选 C. 考点三 函数模型及其应用例 3 省环保讨论所对市中心每天环境放射性污染情形进行调查讨论后,发觉一天中环境综合放射性污染指数 fx与时刻 x时的关系为 fx|x 21a|2a 2 3,x0,24 ,其中 a是与气象有关的参数,且 a 0,1 2,如用每天 fx的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 Max1令 tx 21, x0,24 ,求 t 的取值范畴；2省政府规定, 每天的综合放射性污染指数不得超过 污染指数是否超标？2,试问目前市中心的综合放射性名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1分 x

10、0 和 x 0 两种情形,当x 0 时变形 使用基本不等式求解2利用换元法把函数fx转化成gt|t a| 2a2 3,再把函数gt写成 分段函数后求Ma名师归纳总结 解1当 x0 时, t0；第 5 页,共 15 页当 0x24 时, x1 x2当 x1 时取等号 ,txx110,1 2,即 t 的取值范畴是 0, 1 221xx2当 a0,1 2时,记 gt|ta|2a2 3,就 gtt3a2 3,0ta,ta3,at1 2.gt在0 ,a上单调递减,在a,1 2上单调递增,且 g03a2 3,g1 2a7 6,g0 g1 22a1 4故 Mag1 2,0a1 4,g 0 ,1 4a1 2.

11、即 Maa6,0 a1 4,3a3,1 4a1 2.当 0a1 4时, Maa7 62 明显成立；由3a2 32,得1 4a4 9,1 4a1 2,当且仅当0a4 9时, Ma2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故当 0a4 9时不超标,当 4 9a1 2时超标1解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型,常见模型有： 一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等2对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法3此题中的函数与方程思想：在求 t 的范畴时,把 t 看作是 x 的函数,在求 M a时,把综合放射性污染指数

12、看作是 t 的函数 在确定综合放射性污染指数是否超标时,用到了方程的思想某地发生地质灾难,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,打算在水中投放一种药剂来净化水质,已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释2x162,04,2x 2度不低于 4毫克 /升时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 4毫克 / 升且不高于 10毫克 /升时称为正确净化1假如投放的药剂质量为m 4,试问自来水达到有效净化一共可连续几天？2假如投放药剂质量为 m,为了使在 7 天从投放药剂算起包括 7 天之内的自来水达到正确净化,试确定应当投放的药剂质量 m 的最小值解 1由题意,得当药剂质量

13、 m4 时,2x48 04 .x12当 04 时4,解得 4x16. x1综上 0x16. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以自来水达到有效净化一共可连续 16 天2mx 162m 04 ,得2my3m；2x22 当 04 时, y30m20,2x2函数在区间 4,7上单调递减,即7m 4y3m,综上知,7m 4y3m,为使 4y 10 恒成立,只要7m 44 且 3m10 即可,即16 7m10 3 . 所以应当投放的药剂量m 的最小值为16 7 . 1 函数与方程 1函数 fx有零点 . 方程 fx0 有根

14、 . 函数 fx的图象与 x 轴有交点2函数 fx的零点存在性定理假如函数 fx在区间 a,b上的图象是连续不断的曲线,并且有 fx在区间 a,b内有零点,即存在 ca,b,使 fc0. fa fb0,那么,函数假如函数 fx在区间 a,b上的图象是连续不断的曲线,并且函数 fx在区间 a,b上是一个单调函数,那么当 fa fb0,那么,函数 fx 在区间 a,b内不肯定没有零点名师归纳总结 假如函数fx在区间 a,b上的图象是连续不断的曲线,那么当函数fx在区间 a,b第 7 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 内有零点时不肯定有fa

15、fb0. 2 函数综合题的求解往 往应用多种学问和技能因此,必需全面把握有关的函数学问,并且严谨审题, 弄清题目的已知条件,特别要挖掘题目中的隐含条件要仔细分析,处 理好各种关系,把握问题的主线,运用相关的学问和方法逐步化归为基本问题来解决3 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题.建模.求解.反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题,常常涉及到物价、 路程、产值、环保等实际问题, 也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是准确的建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关学问加以综合解答1 已知函数 fx1 3 xlog2x,实数 a,b,c

16、满意 fa fb fc00 abc,如实数x0为方程 fx0 的一个解,那么以下不等式中,不行能成立的是 Ax0bCx 0c答案D 解析函数 fx1 3xlog 2x在其定义域 0, 上是减函数,0abfbfc又fafbfc0,就 fa0,fb0,fc0,fb0,fc0. 如 fa0,fb0,fc0,就 x00,fb0,fc0,就 bx0c 不行能成立,应选D. 第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 fx11,当 x0,1 时, fxx,如在区间 1,1内, gxfxmxm 有f x1两个零点,就实数m 的取值范畴是 A0,

17、1 2 B1 2, C0,1 3 D0,1 2 答案D 解析依据方程与函数关系设 x1,0,就 x10,1,fx1111,f x1x1画出 fx在 1,1上的图象 如右图 ,gx fxmxm 在 1,1上有两个零点,即 fx mx1有两个不同根,即 yfx与 ymx1有两个不同 交点名师归纳总结 如右图,当过 1,0的直线处于l 与 x 轴之间时,第 9 页,共 15 页满意题意,就0m1 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 举荐时间： 60 分钟 一、挑选题1卖店函数fx log2x1 x的零点所在的区间为 A0,1 2 1 B 2,1 C1,2

18、 D2,3 答案C 解析函数 fx的定义域为 0, ,且函数 fx在0, 上为增函数f1 2log 21 21 1 2 30,2f1log 21f2log 22f3log 231 1010,1 313 2 30,即 f1 f20,不成立,所以选D. a 的取值范畴是 第 10 页,共 15 页3 函数 fx2 x2 xa 的一个零点在区间1,2内,就实数A1,3 B1,2 C0,3 D0,2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 C 解析 由于 fx2 xln 2 2 x 20,所以 fx是增函数,由条件可知 f1f20 ,即22a4 1a0,即 a

19、a30,解之得 0a3. 4 依据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间单位：分钟 为30 分钟,组装第Afxc x,xA,A,c 为常数 已知工人组装第4 件产品用时c A,xA件产品用时15 分钟,那么c 和 A 的值分别是 A75,25 B75,16 C60,25 D60,16 答案D 解析由于组装第A 件产品用时15 分钟,所以c15,A所以必有 40的解集为 P,就 P 中全部元素的和可能是 A3,6,9 B6,9,12 C9,12,15 D6,12,15 答案 B 解析 令 fx|x 26x|,作图象如下：知 fx|x 26x|的图象关于直线 x3 对称,它与直线 ya 交点的

20、个数为 2,3 或 4 个所以方程根的和为 6,9,12.选 B. 6 2022 辽宁 已知函数 fxx 22a2xa2,gx x22a2xa28.设 H1xmax fx,gx ,H 2xmin fx,gxmax p,q 表示 p, q 中的较大值, min p, q名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表示 p,q 中的较小值 记 H1x的最小值为A,H 2x的最大值为B,就 AB 等于 Aa 2 2a16 Ba 22a16 C 16 D16 答案 C 解析 fxxa2 244a,gx xa2 2124a,在同一坐

21、标系内作 fx与 gx的图象 如图 依题意知,函数 H 1x的图象 实线部分 ,函数 H 2x的图象 虚线部分 H1x的最小值 Afa2 44a,H2x的最大值 Bga2 124a,因此 AB44a12 4a 16. 二、填空题7 函数 fxx 22 x的零点个数为 _答案 3 解析 由于 f1 1211 20,又 f0 0 10,9 设定义域为 R 的函数 fxx 22x,x0,就关于 x 的函数 y 2f 2x3fx 1 的零点的个数为 _名师归纳总结 答案7 第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 由 y2f 2x3fx

22、10 得1fx2或 fx1,如图画出 fx的图象,由 fx1 2知有 4 个根,由 fx1 知有 3 个根,故共有 7 个零点log2x,x0,10已知函数 fx3 x,x0,且关于 x 的方程 fxxa0 有且只有一个实根,就实数 答案 1, a 的取值范畴是 _解析画出函数y fx与 yax 的图象,如下列图,所以a1. 三、解答题11已知函数fx2x,gx1 2 |x| 2. 1求函数 gx的值域；2求满意方程 fxgx0 的 x 的值解 1gx1 2 |x| 212 |x|2,由于 |x|0,所以 0 12 |x|1,即 20 时,由 2 x 1 2 x2 0,整理得 2 x 22 2

23、 x10,2 x1 2 2,故 2 x12,由于 2 x0,所以 2 x12,即 xlog21212某地需要修建一条大型输油管道通过 120 公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建名师归纳总结 增压站 又称泵站 经预算,修建一个增压站的工程费用为432 万元,铺设距离为x 公第 13 页,共 15 页里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3 x 万元设余下工程的总费用为y 万元- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1试将 y 表示成关于 x 的函数；2需要修建多少个增压站才能使

24、y 最小？解 1设需要修建 k 个增压站 ,就k1x120,即 k120 x1,所以 y432kk1x 3 x 432 120 x1120 x x 3x 51 840x120x 2312. 由于 x 表示相邻两增压站之间的距离,就 0x60. 故 y 与 x 的函数关系是 y51 840 x120x 23120x602由于 fx51 840x 120x 231200,得 x 3216,又 0x60,就 60. 又a0,fx ax 1 244,且 f1 4a,fxmin 4a 4,a1. 名师归纳总结 故函数 fx的解析式为fxx 22x3. 第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2gxx22x34ln xxx3 x4ln x 2 x0,1,333, gx13 x 24 xx1 x3. 2 xx,gx,gx的取值变化情形如下：x 0,11gx00单调削减单调增加gx单调增加极大值微小值当 0x3 时, gxg1 42512290. 第 15 页,共 15 页故函数 gx只有 1 个零点,且零点x03,e 5- - - - - - -