2022年七大积分总结.docx

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1、精品_精品资料_一 定积分七大积分总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定积分的定义： 设函数 fx 在a,b上有界,在区间 a,b中任意插入n 1 个分点： a=x0x1x2 xi-1 xixi+1 xn-1xn=b,把区间a,b分成 n 个小区间： x0,x1 xi-1,xi x n-1,xn,记 xi=xi xi-1i=1,2,3, ,n为第 i 个小区间的长度,在每个小区间上xi-1,xi 上任取一点 ixi-1i i ,作乘积 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f i xii=1,2,3, ,n,并作合式：nSf i xi i 1可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_记=max x1, x2, x3 , xn, 如不论对 a,b怎样分法, 也不论在小区间 xi-1,xi 上点i 怎样取法,只要当 0 时, S 的极限 I 总存在,这时我们称 I 为函数 fx 在区间a,b上定积分（简称积分） ,记可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba做：fxdxIn0i 1limf i xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 fx称为被积函数, fxdx称为被积表达式, x 称为积分变量,a 称为积分下限, b 称为积分上限, a,b称为积分区间,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf i i 0

3、xi 称为积分和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 fx在a,b上的定积分存在,就称 fx在a,b上可积.关于定积分的定义,作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记法无关,即bf x dxabf t dtab.f u dua可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 定义中区间的分法与 i 的取法是任意的.（3） 定义中涉及的极限过程中要求 0,表示对区间 a,b无限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_细分的过程,随 0 必有 n,反之 n并不能保证 0,定积分的

4、实质是求某种特殊合式的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10例： fxdxlimni1 f i 1n n（此特殊合式在运算中可以作为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n公式使用）2. 定积分的存在定理定理一如函数 fx在区间a,b上连续,就 fx在a,b上可积.定理二如函数 fx在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,就 fx在区间上可积.3. 定积分的几何意义对于定义在区间 a,b上连续函数 fx,当 fx 0 时,定积分baf xdx 在几何上表示由曲线 y=fx,x=a,x=b及x 轴所围成的曲边梯形的面积.当 fx小于 0 时,围成的曲边梯形位于 x

5、轴下方,定积分baf xdx 在几何意义上表示曲边梯形面积的负值.如fx在区间上既取得正值又取得负值时,定积分的几何意义是：它是介于x 轴,曲线 y=fx,x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和. 4定积分的性质线性性质（性质一、性质二）bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质一和差. f xag x dxf xdxag xdxa和差的积分等于积分的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质二bkf xdxabkf xdxa（k 是常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质三对区间的可加性不管 a,

6、b,c相对位置如何,总有等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxacf xdxabf xdxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质四假如在区间 a,b上, fx1,就bf xdxbaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质五（保号性）假如在区间 a,b 上, fx 0,就bf x dx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论一设 fx

7、 gx,xa,b,就bf xdxabg xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论二bf xdxabf xdxaaa,假如极限limbf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在,就此极限为函数 fx在无穷区间 a,+ 上的广义积分,记做aaf x dx ,这时也称广义积分f x dx 收敛,假如上述极限不存在,就称该广义积分发散.同理也可得函数 fx在无穷区间 - ,b 上的广义积分.对于广义积分： 只有在收敛的条件下才可使用上述 “定积分中的对称奇偶性”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

8、几条结论：a（1） ） 广义积分1 dx ,当 p1 时收敛,当 p 1 是发散.x p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（2） ） 广义积分e px dx 当 p0 时收敛,当 pa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如极限limf xdx 存在,就称此极限为函数 fx在a,b上的广义bt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t积分,记做abaf x dx ,即bf xdxa=limb.f xdxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时也称广义积分收敛,假如上述极限不存在,就称广义积

9、分发散.同理,可得 fx在区间a,b ）上的瑕积分 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=bf xdxalimtf xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tb对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的运算,也可以利用牛顿-莱布尼茨公式,如对于fx在区间（ a,b 上的瑕积分有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba f xdx =limf x dx =Fb-btlimF x =Fx-Fa+0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_taxa小结论：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_广义积分1 10 x pdx 当 p1 时收敛,

10、当 p 1 时发散.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于无界函数的广义积分 （瑕积分） 的运算, 一般瑕点都会设置在区间a,b或a,b,a,ba,b的内部一个点上.10. 定积分的应用一、定积分在几何上的应用：（一）平面图形的面积1. 直角坐标情形 :对于有曲线 x=a,x=b,y=fx,y=gx围成的 X 型的曲边梯形,其面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba的运算公式为： A=f xg x dx（ ab）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于由曲线 y=c,y=d,x=fy,x=gy所围成的 Y 型的曲边梯形的面积可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品_精品资料_运算公式为： Adf ycg y dycd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 参数方程情形：当曲边梯形的曲边 fxfx0,x a,b由参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x= t ,y=t 给出时,如a,b ,且在a,b上t 具有连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数, y= t 连续,就由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba得曲边梯形的面积为： A=f x dx =t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

12、品资料_4. 极坐标情形：由曲线 及射线,围成的曲边扇形的面积运算公式为A=12 d2（二）立体的体积1. 旋转体的体积对于由连续曲线 y=fx,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所成旋转体的体积运算公式为：V=b f x 2 dxa同理可得相像的绕 Y 轴和 Z 轴旋转所成的旋转体的体积运算公式.2. 平行截面面积已知的空间立体的体积如一个立体位于平面 x=a,x=b 之间,且知道过 x 且垂直于 x 轴的平面截此物体的截面面积为Ax ,且 Ax 为了连续函数,就此立体的体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积运算公式是： V=baA xdx ,同理

13、可得相像的过 Y（ Z）且垂直于 Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ Z）轴的平面截得的立体的体积的运算公式.（三）平面曲线的弧长1. 参数方程情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设曲线由参数方程 x=t ,y=t 给出,且t ,t 在, 上具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一阶连续导数,就其弧长的运算公式为：S=2 t 2 t dt2. 直角坐标情形设曲线由直角坐标方程y=fx（axb）给出,其中 fx在a,b上有一阶连续导数,就此时函数的参数方程可写成：x=x,y=fx,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其弧长的运算公式为

14、：s=ba1y 2 dx3. 极坐标情形设弧线由极坐标方程给出,其中 在,上具有一阶连续导数,就其参数参数方程可以表示为x= cos,y= sin, 故弧长为 s=2 2 d二、定积分在物理上的应用（一）变力沿直线所做的功W=baF xdx（二）液体压力 这个就题论题.（三）引力 这个在运算的时候适当建立直角坐标系,将力分解为 X 轴和 Y 州两个方向上分别运算,就题论题.定积分到此终止,在运算的过程中要牢记常见的公式,特殊是积分公式, 这些都与不定积分有关,上边总结的一些积分公式可能不全,见谅.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 二重积分这里二重积分的引入 （阐释了二重积分的

15、几何意义： 表示曲顶柱体的体积） 和定义及概念就不再总结,只声明：当被积函数为常数 1 的时候,二重积分的物理意义是被积函数所围区域的面积, 当被积函数是关于积分变量的一个函数时, 二重积分的意义有许多,这与二重积分的应用有关.1. 二重积分的性质性质一 线性性质 和差的积分等于积分的和差.性质二（区域可加性）如区域 D由 n 个不重合的有界闭区域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Di i=1,2,3, ,n 组成,就f x, y dDni 1 Dif x, yd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质四（单调性）如在区域 D上恒有 fx,ygx,y,就可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, ydD gx, ydD,特殊的有f x, ydDf x, ydD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质五（估值定理）设 M, m分别为 fx,y在有界闭区域上 D 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最大、最小值, A为区域 D的面积,就mAf x, y dDMA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性质六（积分中值定理）设函数 fx,y在有界闭区域 D上连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A为 D的面积,就在 D上至少存在一点 , ,使f x, ydD=f , A可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品_精品资料_2. 二重积分的运算（基本思想：将二重积分转化为二次积分） 一、 在直角坐标系下运算二重积分（一） 先对 Y,后对 X 的二次积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设二重积分f x, ydD的积分区域 D可以表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax b, x1y2 x 的形式,其中1 x ,2 x在a,b上连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时程区域 D 为 X 型区域,这时二重积分的运算公式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,Dy) db=dxa2 x）

18、f x,1 xydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（二） 先对 X,后对 Y 的二次积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似上边,如二重积分f x, ydD的积分区域 D 可以表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cy d,1 y2 y 的形式,就称区域 D为 Y 型区域,这时二重积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的运算公式为 :f x, ydDd=dyc2 y）f1 y x, ydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 在极坐标系下运算二重积分如积分区域 D 与圆域有关或者被积函数为形式,用极坐标运算更简便.f x 2y 2 ,f yx,fxy等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极坐标下的面积微元可以表示为 ： drdrd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角坐标与极坐标有如下变换： xr cos, yr sin, 而两个坐标系的积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分区域的外形不变,因此有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x,Dy) d=f rDcos, r sinrdrdr2=dr1 rdr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用的运算技巧：1. 适当的拆分被积函数和积分区域 （主要是利用分块积分和对称性）2. 对称性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如区域 D关于 X 轴对称：（1） ） 如 fx,y是关于 Y 的偶函数,就：f