2022年高中数学数列知识点总结及题型归纳.docx

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1、精品_精品资料_数列aS1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）数列 an 的前 n 项和Sn 与通项an 的关系：nSnSn1 n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列.例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n23,求数列 an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列中的每个数都叫这个数列的项.记作an ,在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项）,在其次个二、等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_位置

2、的叫第 2 项,序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作an .题型一 、等差数列定义：一般的,假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,an ,简记作an.这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：判定以下各组元素能否构成数列anan 1dn2 或 an 1andn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7,

3、9;22022年各省参与高考的考生人数.例：等差数列 an2n1 , anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型二 、等差数列的通项公式：ana1n1d .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）通项公式的定义：假如数列就叫这个数列的通项公式. an的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0 为递增数列, d列.0 为常数列, d0 为递减数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如： 1 , 2 , 3 , 4, 5,例： 1. 已知等差数列an 中, a7a916,a4

4、1,就a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 11 1A15B30C 31D64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_： 1, , , , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 34 52. a 是首项 a1,公差 d3 的等差数列,假如a2022,就序号 n等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的通项公式是an =n （ n7, nN ）,n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的通项公式是a =1 （ nN ）.（A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_nn说明：3.等差数列 an或“递减数列” ）2n1, bn2n1 ,就an 为bn 为（填“递增数列”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an表示数列,an 表示数列中的第 n 项,an =fn 表示数列的通项公式.题型三 、等差中项的概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独.例如,a = 1n=1,n1,n2k1kZ .2k定义：假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与 b 的等差中项.其中Aab2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不是每个数列都有通项公式.例如,1, 1.4

6、, 1.41 , 1.414 ,a , A , b 成等差数列abA即：22an 1anan 2（ 2anan man m ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）数列的函数特点与图象表示：2345656789序号： 1例： 1（ 06 全国 I ）设an 是公差为正数的等差数列,如a1a2a315, a1a2a380 ,就a11a12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项： 4上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射.从函数观点看, 数（）A 120B 105C 90D 75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列实质

7、上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的函数f n 当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一2. 设数列 an是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,就它的首项是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系列函数值f 1, f2,f 3, ,f n ,通常用an 来代替 fn ,其图象是一群孤立点.A 1B.2C.4D.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：画出数列 an2n1 的图像 .题型四 、等差数列的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列.按数列项与项之间

8、的大小 关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列.例：以下的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（ 1）在等差数列（ 2）在等差数列an中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项.an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 1, 2,3, 4, 5, 6,210, 9, 8, 7, 6, 5,（ 3）在等差数列a中,对任意 m , nN , aanmd , danammn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,（ 4）在等差

9、数列nnman中,如 m, n , p , qN 且 mnpq ,就 amnmanapaq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型五 、等差数列的前 n 和的求和公式： Snna1an na1n n1) d1 n 2（ a1d） n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ SnAn2Bn A, B为常数2222an 是等差数列 12. 等差数列an的前 n 项和记为Sn ,已知a1030,a2050可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求通项an .如Sn =242,求 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推公式： Sa1an naman

10、m1 n13. 在等差数列 a 中,（ 1）已知 S48, S168,求a 和d .（ 2）已知 a10,S5,求a 和S.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例： 1. 假如等差数列2an中, a32a4a512 ,那么 a1a2.a7已知 a3a15n40,求S1781216588可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 14（ B） 21（ C）28（ D）35题型六 . 对于一个等差数列：（ 1）如项数为偶数,设共有2n 项,就 S 偶S 奇nd . S奇an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （ 2022 湖南卷文）设Sn 是等差数

11、列an的前 n 项和,已知a23 , a611,就S7 等于S偶an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A13B35C 49D 63（ 2）如项数为奇数,设共有2n1 项,就 S 奇S 偶S奇naa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. （ 2022 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S972 , 就 a2a4a9 =题型七 . 对与一个等差数列,Sn , S2nSn , S3nn中S2n 仍成等差数列.S偶n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. （ 2022 重庆文）（ 2）在等差数列an 中, a1a910 ,就a5 的值为

12、（）例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30,前 2m项和为 100,就它的前 3m项和为（）A.130B.170C.210D.260可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 5（ B） 6（ C） 8（ D） 102. 一个等差数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如一个等差数列前3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为390,就这个数列有（）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项3已知等差数列

13、an 的前 10 项和为 100,前 100 项和为 10,就前 110 项和为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S1221,就a2a5a8a114. 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和, S414, S10S730,就S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. （ 2022 全国卷理）设等差数列a的前 n项和为S ,如 a5a 就 S95（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如S3 1 ,就S63S6 S12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn53S5A. 3B.

14、1C 1D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8（ 98 全国）已知数列 bn是等差数列, b1=1, b1+b2+b10=100.（）求数列 bn的通项 bn.10389题型八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知an 数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070,就其公差 d 等于an 1and常数）（ nN ）an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2112A. BC.D.中

15、项法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33332an 1anan 2（nN an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. （ 2022 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn , 如 a6s312 , 就 an通项公式法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknbSnk, b为常数an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11（ 00 全国）设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S77,S15 75, Tn 为数列n前 n 项和公式法：可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SAn2Bn A, B为常数a是等差数列的前 n 项和,求 Tn.nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知数列 an 满意anan 12 ,就数列 an 为 （）A. d 0B.a7 0C.S9S5D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定4已知数列nan的通项n98 （ n99N）,就数列an 的前 30 项中最大项和最小项分别是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列 an 的通项为

17、 an2n5 ,就数列 an为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定25. 已知 an 是等差数列,其中a131,公差 d8 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n4 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定（ 1）数列 a 从哪一项开头小于0？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n ,就

18、数列 ann 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定（ 2）求数列 an前 n项和的最大值,并求出对应n 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知一个数列 an 满意 an 22an 1an0 ,就数列 an 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 数列 an满意 a1 =8, a42,且an 22an 1an0 （ nN）6. 已知 an 是各项不为

19、零的等差数列,其中a10 ,公差 d0 ,如S100 , 求数列 an 前 n 项和的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求数列an 的通项公式.2大值7. 在等差数列 an 中,a125, S17S9 ,求Sn 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7（01 天津理, 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n ,就 an 是（）A. 等比数列,但不是等差数列B.等差数列,但不是等比数列C.等差数列,而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九 . 数列最值题型十 . 利用 anS1nSnSn

20、 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） a10 , d0 时, Sn 有最大值.a10 , d0 时,Sn 有最小值.1. 数列 a 的前 n 项和 Sn21（ 1）试写出数列的前 5 项.（2）数列 a 是等差数列吗？（ 3）你能写出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） Sn 最值的求法：如已知Sn , Sn 的最值可求二次函数San2bn 的最值.n数列 annnn的通项公式吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可用二次函数最值的求法（nN ）.或者求出an 中的正、负分界项,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

21、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如已知an ,就Sn 最值时 n 的值（ nN ）可如下确定an0或an 10an0.an 102. 已知数列an 的前 n 项和 Snn 24n1,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1等差数列an中,a10,S9S12 ,就前项的和最大.3. 设数列 an2的前 n 项和为 Sn=2n ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设等差数列an 的前 n项和为Sn ,已知4. 已知数列a

22、n 中, a13,前 n和 Sn1 n21 an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a312, S120, S130求证：数列an 是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求出公差 d 的范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_指出S1,S2, S12 中哪一个值最大,并说明理由.求数列an 的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. （ 2022 安徽文）设数列 an 的前 n 项和Sn2,就a8 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_n*3（ 02 上海）设 an（ n N ）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S5S6, S6 S7S8 ,就以下结论错误的是（）（ A） 15B 16C49（D） 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列（ 2） qn man , a 2an man mnN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n等比数列定义一般的, 假如一个数列从其次项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等比（ 3） anam为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列,这

24、个常数叫做等比数列的公比.公比通常用字母q 表示 q一、递推关系与通项公式0 ,即：an 1 ： anq q0 .（ 4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递推关系： 通项公式：an 1aanqaq n 1例： 1在等比数列an中,a1 和 a10 是方程 2 x5 x10 的两个根 , 就 a4 a7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推广： ann1maqn m A52B22C 12(D) 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在等比数列an中, a14, q2 ,就 an2. 在等比数

25、列an,已知 a15, a9a10100 ,就a18 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在等比数列an中, a712, q3 2 , 就 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_193. （07 重庆文）在等比数列 an 中, a2 8,a1 64,就公比 q 为（）（ A） 2（ B）3（ C）4（ D）83. 在等比数列an 中, a1a633, a3a 432, anan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在等比数列an 中, a22 , a554 ,就a8 =求 an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Tnlg

26、a1lg a2lg an , 求Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在各项都为正数的等比数列 an 中,首项a13,前三项和为 21,就 a3a4a5（）4. 等比数列 a 的各项为正数,且a aa a18,就log alog alog a（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 33B 72C 84D 189n5 64 73132310可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nA 12B10C 8D 2+ log3 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、等比中项：如三个数a, b,c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的等比中项,

27、且为 bac,注： b 2ac 是成5. （ 2022 广东卷理）已知等比数列 an 满意 an0,n1,2,且 a5a2n 52n3 ,就当 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23 的等比中项为 时, log 2 a1log 2 a3log2 a2 n 1（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A1(B) 1(C) 1D 2A.n 2 n1B.n12n2n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.D.四、等比数列的前n 项和,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （ 2022 重庆

28、卷文） 设项和 Sn =（）an 是公差不为 0 的等差数列,a12 且 a1 ,a3, a6 成等比数列, 就 an的前 nSna1na1 11qn qq1a1an q1qq1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n27 nA44n 25nB33n 23nC24D n2n例： 1. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比 q2 ,就其前 n 项和 Sn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、等比数列的基本性质,2. 已知等比数列 an 的首相 a15 ,公比q,当项数 n 趋近与无穷大时,其前n 项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和 Sn可编辑资

29、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. （ 1） 如mnpq,就amanapaq其中m, n, p, qN 3. 设等比数列 a 的前 n 项和为S ,已 a6, 6aa30 ,求a 和 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n4（ 2022 年北京卷）设nf n2242272101323 nn10 nN ,就nf n 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2 8n17B 2 8n 117C 2 8n 317D 2 8 n 417可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5（ 1996 全国文, 21）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S

30、3 S6 2S9,求数列的公比 q.5. 利用 anS1nSnSn 1 n1求通项2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设等比数列的值为. an 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,如 Sn+1,S n,Sn+2 成等差数列,就 q例： 1. （ 2022 北京卷）数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an 1a4 的值及数列 an 的通项公式1Sn ,n=1, 2, 3,求 a2, a3,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五.等比数列的前 n 项和的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如数列a是等比数列, S 是其前 n 项的和

31、, kN * ,那么 S , SS , SS成等比数列 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnk2 kk3k2 k*S2. （ 2022 山东卷）已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为S ,且SSn5nN ,证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. （ 2022 辽宁卷理）设等比数列an 的前 n 项和为Sn ,如S69SS3 =3 ,就6=数列 ann11 是等比数列nn 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_78A. 2B.3C.3D.3四、求数列通项公式方法2. 一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,就前 3

32、 n项的和为（）A 83B 108C 75D 63（ 1） 公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列an 是等比数列,且 Sm10,S2m30,就S3m例： 1 已知等差数列 an 满意： a37, a5a726, 求 an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 等比数列的判定法an 1（ 1）定义法：anq（常数）an 为等比数列.2. 已知数列 an 满意 a12, anan 11n1 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

33、品资料_（ 2）中项法：2an 1anan 2an0an为等比数列.3. 数列 an满意 a1 =8, a42,且 an 22an 1an0 （ nN）,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）通项公式法： ank qnk, q为常数）an 为等比数列.4. 已知数列 an 满意 a12,11an 1an2 ,求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）前 n 项和法： Snk1qn （ k, q为常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Skkqn （k, q为常数）a为等比数列.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn5. 设数列 an 满意 a10 且1,求 an的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例： 1. 已知数列 an 的通项为 an2 ,就数列 an 为 （）1an 11an可编辑资料 - - - 欢