2022年二次函数图像与性质总结 3.docx

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1、精品_精品资料_二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向上0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而增大. xy 轴0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的增大而减小. x0 时, y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小. x0时, y 随可编辑资料 - -

2、 - 欢迎下载精品_精品资料_a 的肯定值越大,抛物线的开口越小.x 的增大而增大. x0 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. yax2c 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上加下减.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向上0 ,cx0 时, y 随 x 的增大而增大. xy 轴0时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 的增大而减小. x0 时, y 有最小值 c x0 时, y 随 x 的增大而减小. x0

3、时, y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向下0 ,cy 轴x 的增大而增大. x0 时, y 有最大值 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. ya xh2的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左加右减.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向上a0向下h ,0h ,0xh 时, y 随 x 的增大而增大. xh 时, yX=h随 x 的增大而减小. xh 时, y 有最小值 0 xh 时, y 随 x 的增大而减小. xh 时, yX=

4、h随 x 的增大而增大. xh 时, y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24. ya xhk 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向上h ,kxh 时, y 随 x 的增大而增大. xh 时, yX=h随 x 的增大而减小. xh 时, y 有最小值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0向下h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而减小.

5、 xh 时, y随 x 的增大而增大. xh 时, y 有最大值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0

6、【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移.k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxbxcm （或 yax 2bxcm ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、- - 欢迎下载精品_精品资料_ yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2bxc 变成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya xm 2b xmc （或 yaxm 2b xmc ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从解析式上看,22ya xhk 与 yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配可编辑资料

8、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方可以得到前者,即2yaxb 2a4acb2 4a,其中 hb4acb2,k2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22四、二次函数yax2bxc 图象的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk ,确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称的描点画图. 一般

9、我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2五、二次函数yaxbxc 的性质可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 xb 2a时, y 随 x 的增大而减小. 当 x2b 时, y 随 x 的增大而增大. 当 xb 2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, y 有最小值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bb4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 当 a0 时,抛物线

11、开口向下,对称轴为x,顶点坐标为2a,当2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xb时, y 随 x 的增大而增大.当 x 2a2b 时, y 随 x 的增大而减小.当 x 2ab 时, y2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有最大值4acb4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2六、二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 顶点式：ya xh2k

12、 （ a , h , k 为常数, a0 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b4 ac0 时,抛物线的解析式才可以用交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数

13、 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数2yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大.0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a

14、0 的前提下,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 b 0 时, 当 b 0 时, 当 b 0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 b0 时, 当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧.2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴.2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总结起来,

15、在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab 的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ,在 y 轴的右侧就 ab0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正.0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 .0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便 一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式.2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式.3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式.4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于

17、 x 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 关于 y 轴对称ya 2xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxhk 关于 y 轴

18、对称后,得到的解析式是2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 关于原点对称ya 2xb x关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya 2xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb.2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

19、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 关于点m ,n 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ya xhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换, 抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a永久不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向, 再确定其

20、对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=2x 2y=x 2y=2x 2y=2x-4 2y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十x 2y=2y=2x-4 2-3一、y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x2 -4x 2y= -2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y= -x 2y=-2x 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法可编辑资料

21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】 求作函数 y1 x224 x6 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 y1 x 224x61 x228 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x224 2- 41 x224 2 - 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以 x4 为中间值,取x 的一些值,列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y5023-2230522可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 求作函数 yx

22、24 x3 的图象.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 yx 24 x3 x24x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x2 27 x2 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先画出图角在对称轴x-2-101276543x y2 的右边部分,列表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【点评】 画二次函数图象步骤：1配方. 2列表.3 描点成图. 也可利用图象的对称性,先画出函数的左（右）边部分图

23、象,再利用对称性描出右（左）部分就可.二、一元二次函数性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】 求函数 yx 26 x9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】yx26 x2x26 x97 x3 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由配方结果可知：顶点坐标为 3,7) ,对称轴为 x3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10当 x3 时,ymin7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在区间, 3上是减函数,在区

24、间3, 上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】求函数 y5 x23x1 图象的顶点坐标、对称轴、最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b2a23534 acb 2,104a4 5413229520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 函数图象的顶点坐标为 3 ,102929 ,对称轴为 x2020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_50当 x3时,函数取得最大值1029ymaz20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在区间 , 3 上是增函数,在区间103, 上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、_精品资料_【点评】 要讨论二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：(1) 配方法.如例3(2) 公式法：适用于不简单配方题目 二次项系数为负数或分数 如例 4,可防止出错.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任何一个函数都可配方成如下形式：ya xb 22a4acb 2 a04a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【二次函数题型总结】1. 关于二次函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1假如函数 ym3 xm23m 2mx1是二次函数, 那么 m的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2抛物线yx22 x4

26、 的开口方向是.对称轴是.顶点为.2. 关于二次函数的性质及图象Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3函数 y2axbxca0 的图象如下列图,-1X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 a、b、c, , abc, abc 的符号O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为,例 4 已知 ab c=09a 3b c=0,就二次函数 y=ax2 bx c 的图像的顶点可能在（）（A ） 第一或其次象限（ B）第三或第四象限（ C）第一或第四象限（ D）其次或第三象限3. 确定二次函数的解析式yX=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 已

27、知：函数 yax 2bxc的图象如图：那么函数解析式为（）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A） y（C） yx 22 x3x 22 x3（ B） y（ D） yx 22 x3x22 x3-13xo可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+ca 0, 它们在同一坐标系中的大致图象是.例 7 如图： ABC是边长为 4 的等边三角形, AB在 X 轴上,点 C 在第一象限, AC与 Y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

28、_精品资料_轴交于点 D,点 A 的坐标为（ -1 ,0（） 1）求 B 、C、D 三点的坐标.（2）抛物线 yax 2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经过 B、C、D 三点,求它的解析式.64C2D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOB510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【练习题】-6一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 二次函数yx24 x7 的顶点坐标是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.2, 11B.（ 2, 7）C.（ 2, 11）D.（ 2, 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

29、_精品资料_2. 把抛物线 y2x2 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. y2 x12B.y2 x12C.y2x 21D.y2x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 函数ykx2k 和 ykk0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图 , 就以下结论 : a,b 同号 ; 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1 和 x3 时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只能取 0. 其中正可编辑资

30、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确的个数是 A.1 个B.2个C. 3个D. 4个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知二次函数yax2bxca0 的顶点坐标（ -1 ,-3.2 ）及部分图象 如图 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别是 x1.3和x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12（） . B.-2.3C.-0.3D.-3.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知二次函数yax2bxc的图象如下列图,就点ac,bc 在（）可编辑资料 - - - 欢迎

31、下载精品_精品资料_A第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 方程2 xx22x的正根的个数为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.0 个B.1个C.2个.3个8. 已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与 y 轴交于点 C, 且 OC=2.就这条抛物线的解析式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. yx2C.yx2x2x2 或B.yx2x2D.yx2yx2x2x2 或yx2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 二次函数yx2bx3

32、 的对称轴是 x2 ,就 b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知抛物线 y=-2（ x+3 ）2+5 ,假如 y 随 x 的增大而减小, 那么 x 的取值范畴是.11. 一个函数具有以下性质：图象过点（1,2）,当 x 0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大.满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 抛物线 y2 x226 的顶点为 C,已知直线ykx3 过点 C,就这条直线与两坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标轴所围成的三角形面积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 二次函数 y22 x4 x1 的图象是由 y22xbxc 的图象向左平移 1 个单位 , 再向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下平移 2 个单位得到的 , 就 b=,c=. 14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16 米,跨度是 40 米,在线段 AB上离中心M处 5 米的的方,桥的高度是 取 3.14.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_