2022年必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算.. .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何专题：空间角和距离的运算一 线线角1直三棱柱A 1B1C1-ABC , BCA=900,点D 1,F1 分别是A 1B1 和 A 1C1 的中点,假设BC=CA=CC 1,求 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值；B 1D1A1F1C1BCA2在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,BAD=90 0,AD BC, AB=BC=a ,AD=2a ,且 PA面 ABCD ,PD 与底面成 30 0 角,1假设 AE PD,E 为垂足,求证： BEPD； 2假设 AE PD,求异面直线 PEABCD二线面角AE 与 CD 所

2、成角的大小；1正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别为 BB 1、CD 的中点,且正方体的棱长为2,1求直线 D1F 和 AB 和所成的角；2求 D 1F 与平面 AED 所成的角；A1D1B 1C1ADFECB2在三棱柱 A 1B1C1-ABC 中,四边形 AA 1B1B 是菱形, 四边形 BCC 1B 1 是矩形, C1B 1AB ,AB=4 ,C1B 1=3, ABB 1=600,求 AC1 与平面 BCC 1B 1所成角B 1C1的大小；A1B CA1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三二

3、面角1已知 A1B 1C1-ABC 是正三棱柱, D 是 AC 中点,1证明 AB 1 平面 DBC 1； 2设 AB 1BC 1,求以 BC 1 为棱, DBC 1 与 CBC 1 为面的二面角的大小；B 1 C1A 1B CDA2ABCD是直角梯形,ABC=900,SA面 ABCD ,SA=AB=BC=1 ,AD=0.5 ,1求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小； 2求 SC 与面 ABCD 所成的角；SADB C3已知 A 1B1C1-ABC 是三棱柱,底面是正三角形,AA 1 C 的大小；B 1 C 1A 1B CA四 空间距离运算A 1AC=600,A1AB=450,求二面角

4、 B点到点、异面直线间距离N,1求证： MN 上异面直线D11B1C1D1 中, P 是 BC 的中点, DP 交 AC 于 M,B1P 交 BC 1 于AC 和 BC 1 的公垂线；2求异面直线AC 和 BC 1 间的距离；C1CA1B1DNAMBP点到线, 点到面的距离 2点 P 为矩形ABCD 所2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在平面外一点,PA面 ABCD , Q 为线段 AP 的中点, AB=3 ,CB=4 ,PA=2,求 1点 Q到直线 BD 的距离；2点 P 到平面 BDQ 的距离；3边长为 a

5、 的菱形 ABCD 中, ABC=600,PC平面 ABCD ,E 是 PA 的中点,求E 到平面 PBC 的距离；线到面、 面到面的距离 4. 已知斜三棱柱A 1B1C1-ABC 的侧面 A 1ACC 1 与底面 ABC 垂直,ABC=900,BC=2 ,AC=23 ,且 AA 1A 1C,AA 1=A 1C,1求侧棱AA 1 与底面ABC所成角的大小； 2求侧面 A 1ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的大小； 3求侧棱 B 1B 和侧面 A 1ACC 1 距离；B 1 C 1A 1B CA5正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1,且平面 ABCD 、ABFE 相互垂直,

6、点 M 在AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,假设 CM=NB=a 0 a 2,1求 MN 的长；2当 a 为何值时, MN 的长最小；立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - m= 0,1,0,n=0, 1, 1,就两平面所成的二面角为 . 答案45 或 13517 ,A、B 两点,直线 AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB. 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2就该二面角的大小为 . 答案603. 如下图,在棱长为2 的正方体 ABCDA1B1

7、C1D1中, O是底面 ABCD的中心, E、F 分别是 CC1、AD的中点,那么异面直线OE和 FD1 所成角的余弦值等于 . 答案15 54. 如下图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a 的正方体ABCOABCD , AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 . 答案2a25. 2022 福建理, 6 如下图,在长方体所成角的正弦值为 . 答案10 5ABCD A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=1,就 BC1 与平面 BB1D1D例 12022 海南理, 18 如下图,已知点P 在正方体 ABCD ABCD 的对角线BD 上 , PDA=60 . 1 求 DP与 CC

8、所成角的大小 ; 2 求 DP与平面 AADD所成角的大小 . Dxyz. 解如下图,以 D 为原点, DA为单位长度建立空间直角坐标系就 DA =1, 0, 0,C C=0,0,1. 连接 BD, BD. 在平面 BBDD中, 延长 DP交 BD 于 H. 设 DH = m, m,1 m0, 由已知 DH , DA =60 , 由 DA DH =| DA |DH |cos DH , DA , 可得 2m=2 m21. 解得 m=2 , 所以 DH =22 , 22 ,1 . 21 由于 cos DH ,CC =20122011=2 , 222所以 DH ,CC =45 , 即 DP与 CC

9、所成的角为45 . 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 平面 AADD 的一个法向量是DC =0,1,0. 由于 cos DH , DC =2012110=1 , 2222所以 DH , DC =60 , 可得 DP与平面 AADD所成的角为30 . SAC平面 ABC, SA=SC=23 ,M、N 分别例 2在三棱锥 SABC中, ABC是边长为 4 的正三角形,平面为 AB、SB 的中点,如下图 . 求点 B到平面 CMN的距离 . 解 取 AC的中点 O,连接 OS、OB. SA=SC,AB=BC,AC

10、SO,ACBO. 平面 SAC平面 ABC,平面 SAC平面 ABC=AC,SO平面 ABC, SO BO. 如下图,建立空间直角坐标系 O xyz,就 B 0,2 3 , 0, C -2 ,0,0,S0, 0,2 2 ,M 1,3 ,0,N0,3 ,2 . CM = 3,3 , 0, MN = -1 , 0,2 , MB =-1 ,3 ,0 . 设 n= x, y, z 为平面 CMN的一个法向量,就CMn3x3y0,取 z=1,3 ,点 FMNn-x2 z0就 x=2 , y=-6 , n=2 ,-6 , 1. 点 B到平面 CMN的距离 d=n MB432. n例 316 分如下图,四棱

11、锥PABCD中,底面 ABCD是矩形, PA底面 ABCD,PA=AB=1, AD=是 PB 的中点,点 E 在边 BC上移动 . 1点 E 为 BC的中点时,试判定 EF 与平面 PAC的位置关系,并说明理由；2求证：无论点 E 在 BC边的何处,都有 PEAF；3当 BE为何值时, PA与平面 PDE所成角的大小为 45 . 1解 当点 E 为 BC的中点时, EF与平面 PAC平行 . 在 PBC中, E、F 分别为 BC、 PB的中点, EF PC. 又 EF 平面 PAC,而 PC 平面 PAC,EF 平面 PAC. 4 分2证明 以 A 为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系就 P

12、0,0,1,B0, 1,0,5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - F 0,1 ,21 , D23 , 0,0 . 设 BE=x,就 Ex,1, 0,PE AF = x,1,-1 0,1 ,21 =0,210 分12 分PEAF. 3解设平面 PDE的法向量为m= p, q,1, 由 2知 PD =3 ,0, -1 , PE = x, 1,-1 由mPD0,得 m=11,x1,. mPE03316 分而 AP =0, 0, 1,依题意PA与平面 PDE所成角为 45 , sin45 =2 = 2mAP,14 分mAP

13、111x21=1, 233得 BE=x=3 -2 或 BE=x=3 +2 3 舍去 . 故 BE=3 -2 时, PA与平面 PDE所成角为 45 . 1. 如下图, AF、DE分别是 O、O1的直径, AD与两圆所在的平面均垂直,OE AD. 1求二面角 B- AD-F 的大小；2求直线 BD与 EF 所成的角的余弦值 . 解1 AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB,ADAF,故 BAF是二面角 BADF 的平面角 . 依题意可知, ABFC是正方形, BAF=45 . 即二面角 BADF 的大小为 45 ; AD=8. BC是 O的直径, AB=AC=6,2以 O为原点, CB、AF、OE

14、所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系如下图,就 O 0,0,0,A 0,-3 2 , 0, B3 2 ,0, 0, D0,-3 2 ,8,E 0,0,8,F 0,3 2 ,0, BD =-3 2 ,-3 2 ,8, EF = 0, 3 2 , -8 . 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos BD , EF =BDEF =01864=-82 . 10BDEF10082设异面直线 BD与 EF所成角为,就22 ,侧棱长为4, E、 F 分别为棱 AB、BC的中点 . cos=|cos BD , EF |=82

15、. 10即直线 BD与 EF所成的角的余弦值为82 . 102. 已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为1求证：平面B1EF平面 BDD 1B1；2求点 D1 到平面 B1EF 的距离 . 1证明 建立如下图的空间直角坐标系,就 D0,0, 0,B 2 2 , 2 2 ,0,E 2 2 ,2 ,0,F2 ,2 2 ,0,D10,0, 4,B12 2 ,2 2 ,4 . EF = -2 ,2 ,0, DB = 2 2 , 2 2 ,0,DD 1 = 0,0,4, EF BD =0, EF DD 1 =0. EFDB,EFDD1,DD1BD=D,EF平面 BDD1B1. 又 EF 平

16、面 B1EF,平面 B1EF平面 BDD 1B1. 2解 由 1知 D 1B 1 =2 2 , 2 2 , 0,EF = -2 ,2 ,0,B1 E =0, -2 , -4 . 设平面 B1EF的法向量为 n, 且 n= x, y, z 就 n EF , nB1 E即 nEF =x,y, z -2 ,2 , 0=-2 x+ 2 y=0,nB1 E = x, y,z 0,-2 ,-4 =-2 y-4 z=0,令 x=1, 就 y=1, z=-2 , n=1,1,- 2 4 4D1到平面 B1EF的距离d=D 1B 1n=22222=1617. PA底面 ABCD,AB=3 ,n1 22171 2

17、43. 如下图,在四棱锥P ABCD中,底面 ABCD为矩形,侧棱BC=1,PA=2, E 为 PD的中点 . 1求直线 AC与 PB所成角的余弦值；2在侧面 PAB内找一点 N,使 NE平面 PAC,并求出 N 点到 AB和 AP的距离 . 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解方法一1建立如下图的空间直角坐标系,就 A、 B、C、D、P、 E 的坐标为 A 0,0,0,B3 ,0, 0、 C3 , 1,0、D0, 1,0、 P0, 0,2、E0 ,1 , 1 ,21 , 1- z,由 NE平面 PAC可 2从

18、而 AC =3 ,1, 0, PB =3 ,0, -2 . 设 AC 与 PB 的夹角为,就 cos=ACPB=237=37,ACPB14AC与 PB所成角的余弦值为37. 142由于 N点在侧面 PAB内,故可设N点坐标为 x,0, z , 就 NE =- x,得NEAP0,即x ,11,z,0,0200, 1,3 . 62NEAC0x ,11,z3,1,02化简得z1x010, x13362z即 N 点的坐标为3 , 0, 1,从而 N点到 AB、AP的距离分别为 6方法二1设 ACBD=O,连接 OE,AE,BD,就 OE PB, EOA即为 AC与 PB所成的角或其补角. 5 ,2在

19、AOE中, AO=1, OE=1 PB= 27 , AE= 21 PD= 2由余弦定理得cosEOA=17537, 6. 连接 PF, 就在 Rt ADF中, 44271142即 AC与 PB所成角的余弦值为37. 142 在平面 ABCD内过 D 作 AC的垂线交 AB于 F, 就 ADF=DF=cosAD=23, ADF38 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - AF=ADtan ADF=3 . 3设 N 为 PF 的中点,连接 NE,就 NE DF. DFAC,DFPA,DF平面 PAC,从而 NE平面 PAC.

20、 N点到 AB的距离为 1 AP=1,2N点到 AP的距离为 1 AF= 3 . 2 6一、填空题ABCDA1B1C1D1中 , M是 AB的中点 , 就 sin DB , CM 的值等于 . 1答案 21015ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,O是 A1C1 的中点,就点 O到平面 ABC1D1的距离为 . 答案 243. 2022 全国理, 11已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1 在底面 ABC内的射影为ABC的中心,就 AB1 与底面 ABC所成角的正弦值等于 . 答案 234. P 是二面角AB棱上的一点,分别在、平面上引射线 PM、 PN,假如 BPM=

21、BPN=45 ,MPN=60 ,那么二面角AB的大小为 . 答案 90ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E、F 分别为 BB1、 CD的中点,就点 F 到平面 A1D1E 的距离为 . 答案 3 5106. 如下图,在三棱柱 ABCA1B1C1中, AA1底面 ABC,AB=BC=AA1, ABC=90 ,点 E、 F 分别是棱 AB、BB1的中点,就直线 EF 和 BC1所成的角是 . 答案 607. 如下图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的全部棱长都相等,D是 A1C1 的中点,就直线 AD与平面 B1DC所成角的正弦值为 . 答案 45S ABCD中 , O为顶点在底面上的射影 角

22、是 . 答案 30二、解答题, P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO=OD, 就直线 BC与平面 PAC所成的9. 如下图,在几何体ABCDE中, ABC是等腰直角三角形,ABC=90 ,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - BE和 CD都垂直于平面 ABC,且 BE=AB=2,CD=1,点 F 是 AE的中点 . 求 AB 与平面 BDF所成角的正弦值 . 解以点 B 为原点, BA、BC、BE所在的直线分别为x, y,z 轴,建立如下图的空间直角坐标系,就B 0,0,0,A 2,0,0,C0, 2,0,D0,

23、2, 1, E 0,0, 2, F 1,0,1 . BD =0, 2, 1, DF = 1,-2 ,0. 设平面 BDF的一个法向量为n= 2,a,b,n DF ,n BD ,n,DF0,200即nBD02a,b ,12,a,b,02 1,0解得 a=1, b=-2. n=2,1,-2 . 设 AB 与平面 BDF所成的角为,就法向量n 与 BA 的夹角为2-,cos 2- =BAn=20, ,02,1,2=2 , 3n23BA即 sin=2 , 故 AB与平面 BDF所成角的正弦值为 32 . 3P ABCDE中, PA=AB=AE=2a, PB=PE=2DEA=90 . 1求证： PA平面

24、 ABCDE；2求二面角 APDE 的余弦值 . 2 a,BC=DE=a, EAB=ABC= 1证明以 A 点为坐标原点,以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、 z 轴,建立空间直角坐标系 A xyz,就由已知得 A 0,0,0,P 0,0,2a,B 2a,0,0,C2a,a, 0,D a,2a,0,E0, 2a, 0. AP =0, 0, 2a, AB = 2a, 0,0, AE =0, 2a, 0, AP AB =02a+00+2a0=0, AP AB . 同理 AP AE . 又 AB AE=A, PA平面 ABCDE. 2解设平面 PAD的法向量为m=1, y, z, 1 . 2就

25、mAD =0,得 a+2ay=0,y=-又 mAP =0,得 2az=0, z=0. m=1,-1 ,0 . 2再设平面 PDE的法向量为 n= x,1, z, 而 ED =a, 0, 0, PD =a,2a,-2 a,就 nED =0,得 ax=0, x=0. 又 nPD =0,得 ax+2a-2 az=0, z=1. 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - n=0,1, 1. 令二面角 APDE 的平面角为,1就 cos =-m n = 2 = 10 ,m n 5 1024故二面角 APDE 的余弦值是 10

26、 . 1011. 如下图,在三棱锥 PABC中, ABBC,AB=BC=kPA,点 O、 D分别是 AC、 PC的中点,OP底面 ABC. 1假设 k=1,试求异面直线 PA与 BD所成角余弦值的大小；2当 k 取何值时,二面角 O PCB 的大小为？3解OP平面 ABC,又 OA=OC,AB=BC,从而 OAOB,OBOP,OAOP,以 O为原点,建立如下图空间直角坐标系Oxyz.2 a ,41设 AB=a,就 PA=a,PO=2 a,2A2 a,0,0,B 0,22 a,0,2C -2 a, 0,0,P0, 0,22 a,2就 D -2 a, 0,42 a. 4 PA =2 a,0, -2

27、2 a , BD =-22 a, -42 a,2cos PA , BD =PABD=1a2a1a2=-3 , 344PABD322就异面直线 PA与 BD所成角的余弦值的大小为3 . 32设 AB=a, OP=h, OB平面 POC, OB =0,2 a,0 为平面 POC的一个法向量 . 2不妨设平面 PBC的一个法向量为 n=x,y, z,A 2 a, 0,0 ,B0 ,2 a,0 ,C-2 a, 0,0 ,P0 , 0,h ,2 2 2 BC =-2 a,- 2 a,0, PC =- 2 a,0,- h, 2 2 2x y 0由 nn BCPC 00 2 2 ax h z 011 名师归

28、纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 不妨令 x=1,就 y=-1, z=-2 a,2h即 n=1,-1,- 2 a , 就 cos = OB n2 h 3 OB n=2 2 a 2 22 a2 ah 22 = 12 2+2h a 22 =4 h= 1 a, 2PA= AO 2 PO 2 = 1a 1a 2 = 3 a, 2 4 2而 AB=kPA, k= 2 3 . 3故当 k= 2 3 时 , 二面角 O PCB 的大小为 . 3 312. 2022 湛江模拟 如下图,已知长方体 E 是棱 CC1 上的点,且 BE B

29、1C. 1求 CE的长；2求证： A1C平面 BED；ABCDA1B1C1D1 中, AB=BC=2,AA1=4,3求 A1B 与平面 BDE所成角的正弦值 . 1解如下图,以D 为原点, DA、 DC、 DD1所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D xyz. D0, 0,0, A2,0, 0, B 2,2,0,C 0,2,0,A12,0,4,B12,2, 4, C10, 2,4, D1 0,0,4. 设 E 点坐标为 0,2, t ,就 BE =-2 , 0, t ,B1C= -2 , 0, -4 . BEB1C, BE B1 C =4+0-4 t =0. t =1,故 CE=1

30、. 2证明 由 1得, E 0, 2,1, BE =-2 ,0, 1,又 A1 C = -2 , 2,-4 , DB =2,2, 0,A1 CBE =4+0-4=0 ,且 A1 CDB =-4+4+0=0. A1 C DB 且 A1 C BE ,即 A1CDB,A1C BE,又 DB BE=B, A1C平面 BDE. 即 A1C平面 BED. 3解由 2知A1 C= -2 ,2,-4 是平面 BDE A1B= 0,2,-4 , 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos A1 C,A1B =A 1 CA 1B=30 . 6A 1 CA 1BA1B 与平面 BDE所成角的正弦值为30 . 613 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页