2022年向量知识点归纳与常见题型总结.docx

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1、精品_精品资料_向量学问点归纳与常见题型总结一、向量学问点归纳1. 与向量概念有关的问题向量不同于数量,数量是只有大小的量（称标量）,而向量既有大小又有方向.数量 可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小. 记号“ a b ”错了,而| a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关, 有些向量与起点无关 . 由于一切向量有其共性 （大小和方向） , 故我们只讨论与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时,可平移向量.平行向量（既共线向量）不肯定相等,但相等向量肯定是平行向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位向量是模为1 的向量,其坐标表示为

2、（x, y ） , 其中 x 、 y 满意 x 22y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（可用（ cos,sin）（ 0 2 ）表示） . 特殊：AB| AB |表示与 AB 同向的单位向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：向量 ABAC 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | AC |直线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、O是平面上一个定点, A、B、C不共线

3、,P 满意OPOA ABAC0,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就点 P 的轨迹肯定通过三角形的内心.| AB | AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式已知非零向量 AB 与AC 满意 AB|AB |+ AC|AC |BC=0 且 AB|AB |AC=|AC |2, 就 ABC 为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形 06 陕西 0 的长度为 0,是有方向的,并且方

4、向是任意的,实数0 仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量是 a . 2与向量运算有关的问题向量与向量相加,其和仍是一个向量. （三角形法就和平行四边形法就）当两个向量a 和 b 不共线时, ab 的方向与 a 、b 都不相同, 且| ab | | a | | b | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当两个向量a 和 b 共线且同向时, ab 、a 、b 的方向都相同, 且 | ab | a | b | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_当向量 a 和 b 反向时,如 | a | | b | , ab 与 a 方向相同 ,且| ab |=|a |-|b | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如| a | | b | 时, ab 与 b方向相同,且 | a b |=|b |-|a |.向量与向量相减,其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法就适用于首尾相接的向量求和.平行四边形法就适用于共起点的向量求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBCAC ; ABACCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

6、品_精品资料_例 2： P 是三角形 ABC 内任一点,如CBPAPB,R ,就 P 肯定在（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 、 ABC 内部B 、AC 边所在的直线上C、AB 边上D 、BC 边上2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、如ABBCAB0 ,就 ABC是： A.Rt B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰 Rt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、已知向量 acos,sin, b3,1 ,求 | 2ab | 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：通过向量的坐标运算,转化为函数（这里是三角）的最值问题

7、,是通法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原式 = | 2 cos3,2 sin1 | 2 cos3 22sin1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=88 sin .当且仅当32k5k 6Z 时, | 2ab | 有最大值 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ | a | b | | ab | | a | b | ”就显得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_简洁明快.原式量同向）.| 2a

8、| b |= 2 | a | b |2124 ,但要留意等号成立的条件（向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如, ABBCCA0 , （在 ABC中） ABBCCDDA0 . ABCD中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定两向量共线的留意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、bb 0 ,a b存在实数使 a= b假如两个非零向量 a , b ,使 a = b （ R）,那么 a b .反之,如 a b ,且 b 0,那么 a = b .这里在“反之” 中, 没

9、有指出 a 是非零向量, 其缘由为 a =0 时, 与 b 的方向规定为平行 .数量积的 8 个重要性质两向量的夹角为0 . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值,其射影值可正、可负、可以为零,故向量的数量积是一个实数.设 a 、 b 都是非零向量,e 是单位向量,是 a 与 b 的夹角,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e aa e| a |cos .| e |1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ aba b0 （=90,cos0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在实数运

10、算中 ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中 a b = 0a =0 或 b = 0 是错误的,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a0 或 b0 是 ab =0 的充分而不必要条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 与 b 同向时 ab =| a | b |=0,cos=1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 与 b 反向时, ab=-| a | b |= ,cos=-1 ,即 a b 的另一个充要条件是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品_精品资料_| a b | a | b |. 当 为锐角时, ab 0,且 a、b 不同向, a b0 是 为锐角的必要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非充分条件 .当为钝角时, ab 0,且 a、b 不反向, a b分条件 .0 是 为钝角的必要非充可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5. 如已知 a,2 , b3 ,2 ,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ （答：431或0 且）.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、已

12、知 i , j 为相互垂直的单位向量, 求实数的取值范畴.ai2 j ,bij .且 a 与b 的夹角为锐角,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：由数量积的定义易得“a,ba b0 ”,但要留意问题的等价性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 a 与 b 的夹角为锐角,得a b120. 有1 .2t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而当 at bt0, 即两向量同向共线时,有得t22. 此时其夹角不为锐角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故, 22, 1.2可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_评析： 特殊提示的是：a,b是锐角与 a b0 不等价. 同样a,b是钝角与 a b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22不等价.极易疏忽特例“共线” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊情形有 a a22a=| a | .或| a | =a a2=a=xy.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 x1 ,y1 ,x2 ,y2 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | = x1x 2 y1y 2可编辑资料

14、- - - 欢迎下载精品_精品资料_22 | a b | a | b |.（因cos1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数量积不适合乘法结合律.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 a b ca bc. （由于 a bc与 c 共线,而 ab c 与 a 共线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数量积的消去律不成立.如 a 、 b 、 c 是非零向量且 a cb c 并不能得到 ab 这是由于向量不能作除数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 1 是无意义的 .c6 向量 b 在 a 方向上的投影 bcos a ba可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品_精品资料_7e1 和 e2 是平面一组基底 , 就该平面任一向量a1 e12 e2 1, 2 唯独 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊： .OP 1OA2 OB 就 121是三点 P、A、B 共线的充要条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：起点相同,系数和是1.基底肯定不共线1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如BOa1 OAa200 OC ,且 A、B、C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三点共线（该直线不过点O）,就 S200（）A 50B. 51C.

16、100D.101例 8、 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A3,1 , B1,3, 如点 C 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OC1OA2OB , 其中1 ,2R 且 12 1 , 就点 C 的轨迹是 （ 直线 AB）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、已知点 A,B,C 的坐标分别是3,1, 5,2, 2 t ,2t .如存在实数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使 OCOA1OB ,就 t 的值是 :A. 0B. 1C. 0 或 1D. 不确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精

17、品_精品资料_例 10 以下条件中,能确定三点2A, B, P 不共线的是：222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A MPsin20 MAcos20 MBB MPsec20 MAtan20 MB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C MPsin 2 20 MAcos2 70 MBD MPcsc2 31 MAcot 2 31 MB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 析 ： 本 题 应 知 ：“1 ”.A, B, P共 线 , 等 价 于 存 在,R, 使 MPMAMB 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品_精品资料_(8) 在ABC 中 , PG1 PAPBPC 3G 为ABC 的 重 心 , 特 别 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PAPBPC0P 为 ABC 的重心. AB1 BCAD 就 AD 过三角形的重心 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11、设平面对量a1 、a2 、a3 的和 a1a2a30 .假如向量b1 、b2、b3 ,满意 bi2 ai ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i且 a 顺时针旋转 30o 后与bi 同向,其中 i1, 2,3 ,就（ D）（ 06 河南高考）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

19、_A b1b2b30Bb1b2b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C b1b2b30D b1b2b30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PA PBPBPCPC PAP 为 ABC 的垂心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 ABAC 0 所在直线过ABC 的内心 BAC 的角分线所在直线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | AC |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ | AB | PC| BC| PA| CA | PB0PABC 的内心. 选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S AOB1

20、xA yB2xB yA ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12、如 O 是 ABC 所在平面内一点, 且满意的外形为（答：直角三角形） .OBOCOBOC2OA ,就 ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例13 、 如 D 为ABC 的 边 BC 的 中 点 ,ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P AB PC P0 ,设 | AP | PD |,就的值为 （答： 2）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14、如点 O 是 A

21、BC 的外心,且OAOBCO0 ,就内角 C 为（答： 120 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(9) 、 P 分 P1P2的比为, 就 P1 P =P P2 , 0 内分; 0 且 -1 外分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OP OP1OP2; 如 1 就OP 1 OP + OP ; 设 Px,y,P1x 1,y 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1xP2 x 2,y 2 就112x 2,x; 中点2x1x2 ,x2重心x 1x 23x 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1y 2y.1yy1y2 .2yy1y

22、 23y 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 特殊留意各点的次序, 分子是起点至分点, 分母是分点至终点, 不能转变次序和分子分母的位置.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15、已知 A（ 4, -3 ）, B（ -2 ,6）,点 P 在直线 AB 上,且 | AB |3|标是（）（ 2, 0）,（ 6, -6 ）AP |,就 P 点的坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 、点P x, y 按 ah, k平移得P x , y , 就 PP a或 xyx h函数 yy kf x 按可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a

23、h,k平移得函数方程为：ykf xh可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：（ 1）向量按向量平移,前后不变.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）曲线按向量平移,分两步：确定平移方向与坐标轴的方向一样.按左加右减,上加下减（上减下加）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16、把函数y2 x2的图象 按向量 a2,2平移后得到的解析式是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2 x28x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17、函数 ysin 2 x 的图象按向量 a

24、 平移后, 所得函数的解析式是ycos 2 x1 ,就 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（答： ,1 ）4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论： 已知A x1 , y1 , B x2 ,y2 , l: AxByC0 , 过A, B 的直线与 l 交于点 P , 就 P 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB 所成的比是Ax1Ax 2By1By 2C, 如用此结论 , 以下两题将变得很简洁.C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18、已知有向线段PQ 的起点 P 和终点 Q的坐标分别

25、是 1,1, 2,2 ,如直线 l 的方程是xmym0 ,直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 就 m 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 由解得Ax1Ax 23 mBy1C得By 2C231 2 m2 3m, 由于直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 故1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 : 已知点 A2,-1,B5,3.如直线l : kxy10 与线段 AB 相交 , 求 k 的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示 :由Ax1Ax 2By1C得:By2C2k25k20 及直线过端点得1k25可编辑资料 - - - 欢迎下载