2022年坐标系与参数方程知识点 .docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思坐标系与参数方程学问点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx设点 Px,y是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换:yy00的作用下 , 点 Px,y对应到点P x , y , 称为平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 .2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如下列图, 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点 O 引一条射线 Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个

2、长度单位, 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向, 这样就建立了一个极坐标系.注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 , 而极坐标系就不行. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M 是平面内一点 , 极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的极径 , 记为; 以极轴 Ox 为始边 , 射线 OM 为终边的角xOM叫做点 M 的极角 , 记为. 有序数对 , 叫做点 M的极坐标 , 记作 M , .一般的 , 不作特殊说明时 , 我们认为0,可

3、取任意实数 .特殊的 , 当点 M 在极点时 , 它的极坐标为 0,R. 和直角坐标不同 , 平面内一个点的极坐标有很多种表示.假如规定0,02, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯独的极坐标, 表示 ; 同时 , 极坐标 , 表示的点也是唯独确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如下列图 :(2) 互化公式 : 设 M 是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是 x, y , 极坐标是 , 0 , 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 M

4、直角坐标 x, y极坐标 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xcos222xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_互化公式ysintany x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在一般情形下 , 由 tan确定角时 , 可依据点 M 所在的象限最小正角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

5、- - - - - - - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 , 半径为 r 的圆r 02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心为 r ,0, 半径为 r 的圆2 rcos22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心为 r , , 半径为 r 的圆2r2sin0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过极点 , 倾斜角为的直线1R或R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20和0可编辑

6、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过点 a,0, 与极轴垂直的直线cosa 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过点 a, , 与极轴平行的直线sin2a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯独, 即 ,2, 都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯独性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满意极坐标方程即可. 例如对于极坐标方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, 点 M ,可以表示为,2或,2或-5 等多种形式, 其

7、中 , 只有 ,的极坐标满意方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,4444444444.二、参数方程1. 参数方程的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的 , 在平面直角坐标系中, 假如曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数xf t , 并且对于 t 的每一个答应值, 由方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ygt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料

8、word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程组所确定的点读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思M x, y 都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.2. 参数方程和一般方程的互化(1) 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式, 一般的可以通过消去参数而从参数方程得到一般方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2

9、) 假如知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系 , 例如xf t , 把它代入一般方程, 求出另一个变数与参数的关系yg t , 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x f t 就是曲线的参数方程, 在参数方程与一般方程的互化中, 必需使x, y 的取值范畴保持一样.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y gt 注： 一般方程化为参数方程,参数方程的形式不肯定唯独.应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当的设参数,假如选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3圆的参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_如 图 所 示 , 设圆 O 的 半 径 为 r , 点 M从 初始 位 置M 0 出 发, 按逆 时针 方 向在 圆 O 上 作 匀速 圆周 运动 , 设M x, y , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x r cos为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y r sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222这就是圆心在原点O ,半径为 r 的圆的参数方程,其中的几何意义是OM 0 转过的角度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

11、精品资料_圆心为 a, b ,半径为 r 的圆的一般方程是xa ybr,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它的参数方程为：为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xar cosybr sin4椭圆的参数方程x2y2xa cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以坐标原点 O 为中心, 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为a 2b21ab0,其参数方程为yb sin为参数 ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品_精品资料_y2x2xb cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数称为离心角.焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是221ab ab0, 其参数方程为ya sin为参数 , 其中参数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_仍为离心角,通常规定参数的范畴为0 ,2）.注：椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外 （即在 0 到 2的范畴内）,在其他任何一点, 两个角的数值都不相等. 但当 0时,相应的也有 0,22在其他象限内类似.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5

13、双曲线的参数方程x2y2xa sec可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以坐标原点 O 为中心,焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为a 2b 21a0, b0, 其参数方程为yb tan为参数 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中0, 2且,3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

14、 - - - -读书之法 , 在循序而渐进 ,熟读而精思y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点在y轴上的双曲线的标准方程是a2b21a0, b0,其参数方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x b coty a csc为参数,其中0,2e且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上参数都是双曲线上任意一点的离心角.6抛物线的参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线y22 px p20 的参数方程为x2 ptt为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品_精品资料_y2 pt7直线的参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_经过点M 0 x0 , y0 ,倾斜角为 的直线 l 的一般方程是2yy0tanxx0 , 而过M 0 x0 , y0 ,倾斜角为的直线 l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的参数方程为x x0y y0t cos t sint为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点M 0 x0 , y0 ,倾斜角为的直线 l 的参数方程为x x0y y

16、0t cos t sint为参数 ,其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中 t 表示直线 l 上以定点M 0 为起点,任一点M x, y为终点的有向线段M 0 M 的数量,当点M 在 M 0 上方时, t0.当点 M 在 M 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下方时, t 0.当点 M 与 M 0 重合时, t =0.我们也可以把参数t 懂得为以 M 0 为原点,直线l 向上的方向为正方向的数轴上的点M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载