2022年指数函数对数函数幂函数增长的比较老师版本 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1三种函数的增长特点1当 a1 时,指数函数ya x 是增函数,并且当a 越大时,其函数值的增长就越快2当 a1 时,对数函数 y logax 是增函数, 并且当 a 越小时, 其函数值的增长就越快3当 x0,n 1 时,幂函数yxn 明显也是增函数,并且当x1 时, n 越大其函数值的增长就越快2三种函数的增长比较在区间 0, 上,尽管函数 ya xa1, ylog axa1和 yx nn0都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次 ”上,幂函数 yx nn0,指数函数 ya xa1增长的快慢交替显现,随着 x

2、的增大, ya xa1的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y x nn 0的增长速度, 而 ylog axa1的增长速度就会越来越慢一般地, 如 a 1,n0,那么当 x 足够大时,肯定有 a xx nlogax. 小问题 大思维 12 xlog 2x,x 2log2x,在 0, 上肯定成立吗？提示： 结合图像知肯定成立22xx2 在 0, 上肯定成立吗？2x4 时, 2xx2. 提示： 不肯定,当0x2 和 x4 时成立,而当研一题 名师归纳总结 例 1四个变量 y1,y2,y3, y4随变量 x 变化的数据如下表：第 1 页,共 8 页x 051015202530 y151305051

3、1302 0053 1304 505 y2594.4781 785.233 7336.37 1051.2 1072.28 108y35305580105130155 y452.310 71.429 51.140 71.046 11.015 11.005 关于 x 呈指数型函数变化的变量是_自主解答 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的从表格可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从 5 开头变化,变量y4越来越小,但是减小的速度很慢,就变量y4 关于- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x 不呈指数型函数变化；而变量y1,y2,y3

4、都是越来越大,但是增大的速度不同,其中变量y2的增长最快,画出图像可知变量y2 关于 x 呈指数型函数变化答案 y2悟一法 解决该类问题的关键是依据所给出的数据或图像的增长的快慢情形,结合指数函数、 幂函数、对数函数增长的差异,从中作出判定通一类 1下面是 fx随 x 的增大而得到的函数值列表：x 12345678910 2x2481632641282565121 024 x2149162536496481100 2x79111315171921232527 log2x 011.585 022.321 92.585 02.807 433.169 93.321 9 试问： 1随着 x 的增大,各

5、函数的函数值有什么共同的变化趋势？2各函数增长的快慢有什么不同？解： 1随 x 的增大,各函数的函数值都在增大；2由图表可以看出,各函数增长的快慢不同,其中. fx2x增长最快,而且越来越快；增长最慢的是fxlog 2x,而且增长的幅度越来越小研一题 例 2 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你挑选,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番请问,你会挑选哪种投资方案？自主解答 设第 x 天所得回报是 y 元由题意,方案一：y40 x N ；方案二： y

6、10xx N；方案三： y0.4 2 x1xN作出三个函数的图像如图：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载由图可以看出,从每天回报看,在第一天到第三天,方案一最多,在第四天,方案一,二一样多,方案三最少,在第五天到第八天,方案二最多,第九天开头,方案三比其他两个方案所得回报多得多,体会证到第三十天,所得回报已超过2 亿元, 如是短期投资可挑选方案一或方案二,长期的投资就挑选方案三通过运算器运算列出三种方案的累积收入表 . 天数累积收益1234567891011方案一408012016020024028

7、0320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8投资一天到六天,应选方案一,投资七天方案一,二均可,投资八天到十天应选方案二,投资十一天及其以上,应选方案三悟一法 1解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决,结合函数图像有助于直观熟悉函数值在不同范畴的大小关系2一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间,适合于描述增长速度一般的变化规律通一类 2某地西红柿从 2 月 1 日起

8、开头上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q单位：元/10 2 kg与上市时间 t单位：天 的数据如下表：时间 t 50 110 250 种植成本 Q 150 108 150 1依据表中数据,从以下函数中选取一个函数,描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t的变化关系；Qat b,Qat2btc,Qabt,Qalog bt. 2利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1由表中数据知,当时间精品资料欢迎下载Qat2t 变化时,种植成本并不是单调的,故只能挑

9、选btc. 150a50 2b50c,即 108a110 2b110c,解得 Q1 200t 23 2t4252；150a250 2b250c.2Q1 200t 150 2425 2225 2 1 200t150 2100,当 t 150 天时,西红柿的种植成本最低,为 100 元/10 2kg. 如 x 2log mx 在 x0,12内恒成立,求实数 m 的取值范畴1巧思 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在 0,2内的上下位置关系,再构建不等式求解妙解 设 y1x2,y2logmx,作出符合题意的两函数的大致图像如图 ,可知 0m1. 当 x1 2时, y1 1 4,如两函数在 x1 2

10、处相交,就 y21 4.由1 4log m1 2得 m 1 16,又 x 2log mx 在 x0,12内恒成立,因此,实数 m 的取值范畴为 16m 1. 11下面对函数fxlog1 2x 与 gx1 2 x 在区间 0,上的增减情形的说法中正确选项名师归纳总结 gx的增减速度越来越快答案： C 第 4 页,共 8 页Afx的增减速度越来越慢,Bfx的增减速度越来越快,gx的增减速度越来越慢Cfx的增减速度越来越慢,gx的增减速度越来越慢Dfx的增减速度越来越快,gx的增减速度越来越快2以下所给函数,增长最快的是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A

11、y5xB yx5精品资料欢迎下载x 答案： D Cylog5xD y53某地区植被被破坏,土地沙化越来越严峻,最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷,0.4 万公顷和 0.76 万公顷,就沙漠增加数 y 关于年数 x 的函数关系较为近似的是 xAy0.2x By1 10x 2 2x Cy2 10 Dy0.2log16x 答案： C 4已知函数 fx3 x,gx2x,当 xR 时, fx与 gx的大小关系为 _解析： 在同始终角坐标系中画出函数 fx3 x,gx2x 的图像,如下列图,由于函数 fx3 x的图像在函数 gx2x 图像的上方,就 fxgx答案： fxgx 5据报道,青海湖水在

12、最近50 年内削减了10%,假如按此规律,设2022 年的湖水量为 m,从 2022 年起,过 x 年后湖水量y 与 x 的函数关系是 _解析： 设湖水量每年为上年的 1q%,就 q%500.9,ym q%xm0.9xxq%0.950, x 年后湖水量50.答案： y0.9 50m6函数 fx lg x,gx0.3x1 的图像如下列图1试依据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数；2比较两函数的增长差异以两图像交点为分界点,对fx,gx的大小进行比较gx0.3x1, C2 对应的函数为fxlg x；解： 1C1 对应的函数为2当 xx1时, gxfx；当 x1 xx2时, fxgx；当

13、 xx2时, gxfx一、挑选题名师归纳总结 1当 x 越来越大时,以下函数中,增长速度最快的应当是 第 5 页,共 8 页Ay10xB ylg x 10 CyxDy10x 答案： D 2某山区为加强环境爱护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x 年,绿色植被的面积可增长为原先的y 倍,就函数yfx的大致图像为 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： y fx110.4%精品资料欢迎下载0 ,1,2,3,4 ,由单x1.104x 是指数型函数,定义域为调性,结合图像知选 D.答案： D 3函数 y 2 xx 2 的图像大致是 解析

14、： 由图像可知,y 2 x 与 yx 2 的交点有 3 个,说明函数 y 2 x x 2 与 x 轴的交点有3 个,故排除B、C 选项,当 x2x 成立,即 y0,故排除 D. 答案： A 14当 0x1 时, fxx 2,gxx 2,hxx2 的大小关系是 Ahxgxfx B hx fxgx Cgx hx fx D fxgxhx 1解析： 在同一坐标下作出函数 fxx2,gxx 2,hxx2 的图像, 由图像知, D 正确答案： D 二、填空题5近几年由于北京房价的上涨,引起了二手房市场交易的火爆房子没有什么变化,名师归纳总结 但价格却上涨了,小张在2004 年以 15 万元的价格购得一所新

15、居子,假设这10 年来价格年第 6 页,共 8 页膨胀率不变, 那么到 2022 年,这所房子的价格y万元 与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是_答案： y151x10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载6在直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫格点如函数yfx的图像恰好经过k 个格点,就称函数 y fx为 k 阶格点函数,就以下函数中为一阶格点函数的序号是_ yx 2； yx 1； ye x1； y log2x. 解析： 这是一道新概念题,重点考查函数值的变化情形明显都有很多个格点；有两个格点 1,1,1,1；而 ye x1 除了 0

16、,0外,其余点的坐标都与 e 有关,所以不是整点,故符合答案： 7如 a 35 x,bx 3,clog35 x,就当 x1 时, a,b,c 的大小关系是 _解析： x1, a3 5 x0,1,bx 31, ,clog 3 x,0 cab.答案： ca b58已知 a0,a 1,fxx 2a围是 _x,当 x 1,1时,均有 fx1 2,就实数 a 的取值范解析： 当 a1 时,作出函数y1x2,y2ax的图像：2a11 2,解得 a2,1 a2. 要使 x 1,1时,均有 fx1 2,只要当 x 1 时有 1当 0a1 时,同理,只需1 2a 11 2,即 a1 2. 1 2a1. 综上所述

17、, a 的取值范畴是 1 2,11,2三、解答题答案： 1 2,11,2 9一个叫迈克的百万富翁遇到一件古怪的事一个叫吉米的人对他说：“ 我想和你订立个合同,在整整一个月中,我每天给你 10 万元,而你第一天只需要给我 1 分钱,以后每天给我的钱数是前一天的两倍” 迈克特别兴奋,他同意订立这样的合同试通过运算说明,谁将在合同中获利？解：在一个月 按 31 天运算 的时间里, 迈克每天得到经过 31 天后,共得到 31 10310万元 而吉米,第一天得到 1 分,其次天得到 2 分,第三天得到 4 分,第四天得到 8 分,第 20 天得到 219分,10 万元, 增长的方式是直线增长,名师归纳总

18、结 第 31 天得到 230 分,12 4816 2 302 147 483 647 分214 7.48万元 第 7 页,共 8 页使用运算器运算可得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48310 1 837.48万元 所以吉米将在合同中获利10某公司为了实现 1 000 万元利润的目标,预备制定一个鼓励销售部门的嘉奖方案：在销售利润达到 10 万元时,开头按销售利润进行嘉奖,奖金 y万元 随销售利润x万元 的增加而增加,但奖金总数不超过 5 万元,同时奖金不超过利润的 25%.现有三个嘉奖模型：

19、y0.25x,ylog 7x 1,y1.002 x,其中哪个模型能符合公司的要求？解： 借助运算器或运算机作出函数 y5, y0.25x,y log7x1,y 1.002 x 的图像 如图,观看图像发觉,在区间 10,1 000上,模型 y0.25x, y1.002 x的图像都有一部分在直线 y 5 的上方,只有模型 ylog7x1 的图像始终在 y5 的下方,这说明只有按模型 ylog 7x1 进行嘉奖时才符合公司的要求,下面通过运算确认上述判定第一运算哪个模型的奖金总数不超过 5 万对于模型 y0.25x,它在区间 10,1 000 上单调递增,当x20,1 000 时, y5,因此该模型

20、不符合要求；对于模型 y 1.002 x,由函数图像,并利用运算器,可知在区间 805,806内有一个点x0满意 1.002x05,由于它在区间 10,1 000上单调递增,因此当 xx0 时, y5,因此该模型也不符合要求；对于模型 ylog 7x 1,它在区间 10,1 000上单调递增,而且当 x 1 000 时, ylog 71 0001 4.55 5,所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求再运算按模型 ylog 7x1 嘉奖时,奖金是否不超过利润的 25%,即当 x10,1 000时,是否有y xlog7x10.25 成立令 fxlog 7x10.25x,x10,1 000 利用运算器或运算机作出函数 fx的图像 如图 ,由图像可知它是单调递减的,因此名师归纳总结 fxf10 0.316 70,log7x10.25x. 25%. 第 8 页,共 8 页所以,当 x10,1 000时,log 7x 10.25. x说明按模型ylog 7x1 嘉奖,奖金不会超过利润的综上所述,模型y log7x1 的确能符合公司要求- - - - - - -