2022年高一数学--函数单调性与最值 .docx

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1、精品_精品资料_函数单调性引入对于二次函数 . = .2 ,我们可以这样描述“在区间0, + 上,随着 .的增大,相应的 . .也随着增大”.在区间 0,+ 上,任取两个 .1.,.2 ,得到 .1 = .2,.2 = .2,当.1 .2时,有. .1 . .2 .12这时,我们就说函数 . . = .2 在区间 0 ,+ 上是增函数 .一、 函数单调性的判定与证明1、函数增减性的定义一般的,设函数 . . 的定义域为 .：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于定义域 .内.某个区间D 上的任意两个自变量的值.1., .2,当 .1. .2时,都有 . .1. . .2 ,

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么就说函数在区间D 上是 增函数 increasing function 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于定义域 .内.某个区间D 上的任意两个自变量的值.1., .2,当 .1. . .2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么就说函数在区间D 上是 减函数 decreasing function .【例 1】以下四个函数中,在 0, 上为增函数的是 A fx 3 xB fx x23xC fx 1x 13D fx |x|23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】选 C当 x0 时,fx

3、 3 x 为减函数.当 x 0, 2 时,fx x 3x 为减函数,当 x, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时, f x x2 3x 为增函数.当 x0, 时, f x 1为增函数.当 x 0, 时, f x |x|为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_减函数应选 C. 2xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】判定函数 gx在 1, 上的单调性 x 1 2x1 2x22 x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1【解】 任取 x1 ,x2 1, ,且 x1x2,就 gx

4、1gx2 x11x2 x1 1x2 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 1x1x2,所以 x1 x20 ,因此 gx1 gx20 ,即 gx1gx2 故 gx在1, 上是增函数【例 3】 求以下函数的单调区间1f x 3|x|.2 f x |x2 2x3|.3 y x2 2|x| 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 1f x 3|x|3x,x 0, 3x, x 0 的单调性,请作出当a=1 时函数的图像.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 2】争论 . . =.2-1 -1 .f

5、3222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”x4 函数 y 1的单调递减区间是, 00, 5 函数 y fx在1 , 上是增函数,就函数的单调递增区间是1 , 4. 人教 A 版教材习题改编 函数 y x2 2xx 2,4 的增区间为5. 假设函数 y 2k 1x b 在, 上是减函数,就 k 的取值范畴是二、函数最值1、函数最值定义一般的,设函数 .= . . 的定义域为,假如存在实数M 满意：1 对于任意的 .,. 都有 . . .2存在 .0 .,. 使得 . .0 = .那么,我么称 M 是函数

6、 .= . 的最大值 maximum value 请你仿照函数最大值的定义,给出函数.= . . 的最小值 minimum value 的定义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 9】函数 fx1, x 1, x x2 2,x 1的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 当 x 1 时,函数 fx1 x为减函数,所以fx 在 x1 处取得最大值,为f1 1.当 x 1 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知函数 fx x2 2 在 x 0 处取得最大值,为f0 2. 故函数 fx的最大

7、值为 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 10】函数 . . =1.-1在区间 ., . 1 上的最大值是 1,最小值是 1,就 .+ .=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1, . 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变式 4】函数 . . = .-.2 + 2, .0 ,就 f x在a, b上是单调递增函数,假如f x1 f x2 x1 x20,就 fx在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间(2) 定义法：先求定义域,再取值 作差 变形 确定符号 下

8、结论(3) 图象法： 假如 fx是以图象形式给出的, 或者 fx的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间3、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1) 比较大小比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决(2) 解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉, 使其转化为详细的不等式求解此时应特殊留意函数的定义域(3) 利用单调性求参数视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数单调区间,与已知单调区间比较求参数.需留意假设函数在区间 a, b上是单调的,就该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4) 利用单调性

9、求最值应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、课后练习一、挑选题1. 以下说法中正确的有假设 x1 ,x2 I,当 x1x2 时, f x1fx2,就 y fx 在 I 上是增函数. 函数 y x2 在 R 上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y1 x在定义域上是增函数.1y x的单调区间是, 0 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 0 个B 1 个C2 个D 3 个【解析】 选 A 函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x1, x2,强调的是任意,从而不对. y x2 在

10、x 0 时是增函数, x0 时是减函数,从而 y x2 在整个定义域上不具有单调性.y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整个定义域内不是单调递增函数,如 3 f5. y1的单调递减区间不是x x在 ,00, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而是 , 0和0, ,留意写法2. 函数 f x |x 2|x 的单调减区间是A 1,2B 1,0C0,2D 2 , x2 2x, x 2,【解析】 选 A由于 fx |x 2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,2 x2 2x, x2.32022 黑龙江牡丹江月考设函数 fx定义在实数集上, 它的图象关于直线x 1 对称,

11、且当 x 1 时,fx 3x 1,就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A fCf13 f23 f32 f13 f23B f32 D f23 f32 f312 f 3213 f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 选 B由题设知,当 x1 时, fx单调递减,当 x 1 时, fx 单调递增,而 x1 为对称轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f 32 f 11 f 1 1 f 12,又 131 213f 3,即 f 133f 22f 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224 创新题 定义新运算：当a b 时, a b

12、 a.当 ab 时, a b b2,就函数 fx 1 xx 2 x , x 2,2 的最大值等于 A 1B 1C6D 12【解析】 选 C由已知得当 2x 1 时, fxx 2,当 1x 2 时, fx x3 2. fxx 2, fx x3 2 在定义域内都为增函数f x的最大值为 f2 23 2 6.5函数 y |x 3| |x1|的 A 最小值是 0,最大值是 4B最小值是 4,最大值是 0 C最小值是 4,最大值是 4D 没有最大值也没有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 选 Cy |x 3| |x 1| 4x3 2x 2 1 x3 4x 1作出图象可求可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62022 长春调研 已知定义在 R 上的函数 fx满意 fx f x 0,且在 , 0上单调递增,假如x1 x20 且 x1x20 ,就 f x1 fx2的值A 可能为 0B 恒大于 0C恒小于 0D可正可负【解析】 选 C由 x1x20 不妨设 x10. x1x2 0, x1 x20. 由 fx f x 0 知 f x为奇函数又由 fx在 ,0上单调递增得, fx1f x2 f x2,所以 fx1 fx20. 应选 C.二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知函数 fx为 R 上的减函数,假设f1xf1 ,就实数 x 的

14、取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】 由题意知 fx为 R 上的减函数且 f1x1,即 |x|1,且 x 0.故 1x0,0, x 0, 1, x1, 0, x 1, x2, x1 时, fx0,代入得 f1 fx1 fx1 0,故 f1 0.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明：任取 x1, x2 0, ,且 x1x2,就x11 ,由于当 x1 时, fx0 ,x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fx2 0,即 fx1 fx20 ,因此 fx10 时, fxx2,就 fx

15、1 fx2 fx1 x2 x2 fx 2 fx1x2 fx2 fx2 fx1 x2 又当 x0 时, fx0 , f x1 x20 ,即 fx10 时,恒有 fx1. 1求证： fx在 R 上是增函数.2假设 f3 4,解不等式 fa2a 52.【解】 1设 x10, 当 x0 时, fx1 , fx2 x11. fx2 f x2 x1x1 fx2 x1 fx11, fx2 f x1 fx2 x1 10 . f x1fx2, fx在 R 上为增函数2 m, n R,不妨设 m n 1, f1 1 f1 f1 1. f2 2f 1 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f3 4. f2 1 4. f2 f1 1 4. 3f1 2 4, f1 2, fa2 a 52 f1 , fx在 R 上为增函数, a2 a 51 . 3a2,即 a 3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载