2022年高一数学人教新课标版函数及其表示方法教案.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数及其表示方法一、目标认知学习目标：1会用集合与对应的语言刻画函数.会求一些简洁函数的定义域和值域,初步把握换元法的简洁运用.2能正确熟悉和使用函数的三种表示法：解析法,列表法和图象法明白每种方法的优点在实际情境中,会依据不同的需要挑选恰当的方法表示函数.3 求简洁分段函数的解析式.明白分段函数及其简洁应用重点:函数概念的懂得,函数关系的三种表示方法分段函数解析式的求法难点:对函数符号的懂得.对于详细问题能敏捷运用这三种表示方法中的某种进行分析,什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法二、学问要点梳理学问

2、点一、函数的概念1函数的定义设 A 、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数 x,在集合B 中都有唯独确定的数fx 和它对应,那么就称f:A B 为从集合A 到集合 B的一个函数 .记作： y=fx , xA 其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域.与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx|xA 叫做函数的值域.2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决 定的,所以,假如两个函数的定义域和对应关系完全致,即称这两个函数相等或为同一函数 .两个函数相

3、等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致,而与表示自变量和函数值的字母无关 .3区间的概念1 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间.2 无穷区间.3 区间的数轴表示 区间表示：x|a x b=a , b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -.学问点二、函数的表示法1函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系优点：简

4、明,给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系优点：直观形象,反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系优点：不需运算就可看出函数值.2分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形学问点三、映射与函数1.映射定义：设 A 、B 是两个非空集合,假如依据某个对应法就f,对于集合A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯独的元素和它对应,这样的对应叫做从A 到 B 的映射.记为f ： A B.象与原象：假如给定一个从集合A 到集合 B 的映射,那么A 中的元素a 对应的 B 中的

5、元素 b 叫做 a 的象, a 叫做 b 的原象 .留意：1A 中的每一个元素都有象,且唯独.2B 中的元素未必有原象,即使有,也未必唯独.3a 的象记为fa.2.函数：设 A 、B 是两个非空数集,如f ：A B 是从集合A 到集合 B 的映射,这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的函数,记为y=fx.留意：1 函数肯定是映射,映射不肯定是函数.2 函数三要素：定义域、值域、对应法就.3B 中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯独.4 原象集合 =定义域,值域=象集合 .三、规律方法指导1.函数定义域的求法1当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合

6、.详细的讲,就是考虑分母不为零,偶次根号的被开方数、式大于或等于零,零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时遇到的全部有意义的限制条件 .2当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,仍要有实际意义 .3求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,留意定义域是一个集合,其结果必需用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -

7、- - - - - - - - - -对于给出原象要求象的问题,只需将原象代入对应关系中,即可求出象 .对于给出象, 要求原象的问题,可先假设原象,再代入对应关系中得已知的象, 从而求出原象. 也可依据对应关系,由象逆推出原象 .3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法就以后,值域就完全确定了,但求值域仍是特殊要留意讲究方法,常用的方法有：观看法： 通过对函数解析式的简洁变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数的图象的 最高点 和 最低点 ,观看求得函数的值域.配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分留意到自变量取值范畴的情形下,利用求

8、二次函数的值域方法求函数的值域.判别式法： 将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范畴,常用于一些 分式 函数等.此外,使用此方法要特殊留意自变量的取值范畴.换元法： 通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简洁的函数,从而利用基本函数的取值范畴来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,仍有 最值法 、数形结合法等 .总之,求函数的值域关键是重视对应法就的作用,仍要特殊留意定义域对值域的制约 .经典例题透析类型一、函数概念1.以下各组函数是否表示同一个函数？1234思路点拨： 对于根式、分式、肯定值式,要先化简再判定,在化简时要留意

9、等价变形,否就等号不成立.解： 1,对应关系不同,因此是不同的函数.(2) 的定义域不同,因此是不同的函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数.(3) 的定义域相同,对应关系相同, 因此是相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 定义域相同,对应关系相同,自变量用不同字面表示,仍为同一函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - -

10、- - - - - -总结升华： 函数概念含有三个要素,即定义域,值域和对应法就,其中核心是对应法就,它是函数关系的本质特点.只有当两个函数的定义域和对应法就都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是：1 定义域不同,两个函数也就不同.2 对应法就不同,两个函数也是不同的.3即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不肯定是同一函数,由于函数的定义域和值域不能唯独的确定函数的对应法就.举一反三：【变式 1】判定以下命题的真假(1) y=x-1 与是同一函数.(2) 与 y=|x|是同一函数.(3) 是同一函数.(4) 与 gx=x 2-|x|是同一函数 .答： 从函数的定义及三要素入手

11、判定是否是同一函数,有1 、3 是假命题, 2、4 是真命题 .2.求以下函数的定义域用区间表示 .1.2.3.思路点拨： 由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范畴.解： 1的定义域为x2 -20,.2.3.总结升华： 使解析式有意义的常见形式有分式分母不为零.偶次根式中, 被开方数非负 .当函数解析式是由多个式子构成时,要使这多个式子对同一个自变量x 有意义,必需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

12、资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集,因此,要列不等式组求解.举一反三：【变式 1】求以下函数的定义域：1. 2. 3.思路点拨： 1 中有分式,只要分母不为0 即可. 2中既有分式又有二次根式,需使分式和根式都有意义.3只要使得两个根式都有意义即可解： 1当|x-2|-3=0 ,即 x=-1 或 x=5 时,无意义,当|x-2|-3 0,即 x -1 且 x 5 时,分式有意义,所以函数的定义域是-, -1 -1 , 5 5, + .2要使函数有意义,须使,所以函数的定义域是.3要使函数有意义,须使,所以函数的定义

13、域为-2.总结升华： 小结几类函数的定义域：1 假如 fx 是整式,那么函数的定义域是实数集R.2 假如 fx 是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.3 假如 fx 是二次根式, 那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.4 假如 fx 是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.即求各集合的交集5 满意实际问题有意义.3.已知函数fx=3x 2+5x-2 ,求 f3 , fa , fa+1.思路点拨： 由函数 fx 符号的含义,f3 表示在 x=3 时, fx 表达式的函数值.解： f3=3 32+5 3-2=27+15-2=

14、40 .举一反三：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【变式 1】已知函数.1 求函数的定义域.2求 f-3 ,的值.3当 a 0 时,求 fa fa-1 的值 .解： 1由.2.3当 a0 时,.【变式 2】已知 fx=2x 2-3x-25 , gx=2x-5 ,求：1f2 , g2. 2fg2 , gf2 . 3fgx , gfx思路点拨

15、： 依据函数符号的意义,可以知道fg2 表示的是函数fx 在 x=g2 处的函数值,其它同理可得解： 1f2=2 22-3 2-25=-23 . g2=2 2-5=-1.2fg2=f-1=2 -1 2-3 -1-25=-20 . gf2=g-23=2 -23-5=-51 .3fgx=f2x-5=2 2x-5 2 -32x-5-25=8x 2-46x+40 .gfx=g2x 2-3x-25=2 2x2-3x-25-5=4x 2-6x-55.总结升华： 求函数值时,遇到本例题中23 这种类型的函数称为复合函数,一般有里 层函数与外层函数之分,如fgx ,里层函数就是gx ,外层函数就是fx ,其对

16、应关系可以懂得为,类似的 gfx 为,类似的函数,需要先求出最里层的函数值,再求出倒数其次层,直到最终求出最终结果.4. 求值域 用区间表示 ：1y=x 2-2x+4 .思路点拨： 求函数的值域必需合理利用旧学问,把现有问题进行转化.解： 1y=x 2-2x+4=x-1 2+3 3,值域为 3 , + .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2

17、.3.(4) ,函数的值域为-,1 1,+ .类型二、映射与函数5. 以下对应关系中,哪些是从A 到 B 的映射,哪些不是.假如不是映射,如何修改可以使其成为映射.1A=R , B=R ,对应法就f：取倒数. 2A= 平面内的三角形 , B= 平面内的圆 ,对应法就f：作三角形的外接圆. 3A= 平面内的圆 ,B= 平面内的三角形 ,对应法就f：作圆的内接三角形思路点拨： 依据定义分析是否满意“A 中任意”和“ B 中唯独”解： 1不是映射,集合A 中的元素0 在集合 B 中没有元素与之对应,不满意“A 中任意”.如把 A 改为A=x|x 0 或者把对应法就改为“加1”等就可成为映射. 2是映

18、射,集合A 中的任意一个元素三角形 ,在集合 B 中都有唯独的元素该三角形的外接圆 与之对应,这是由于不共线的三点可以确定一个圆.3不是映射,集合A 中的任意一个元素圆 ,在集合B 中有无穷多个元素该圆的内接三角形有无数个 与之对应,不满意“B 中唯独”的限制.如将对应法就改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射总结升华： 将不是映射的对应改为映射可以从动身集A 、终止集 B 和对应法就f 三个角度入手举一反三：【变式 1】判定以下两个对应是否是集合A 到集合 B 的映射？ A=1 ,2, 3, 4 , B=3 ,4, 5, 6,7, 8, 9 ,对应法就 A=N *, B=0 , 1

19、 ,对应法就f:x x 除以 2 得的余数. A=N ,B=0 , 1, 2 , f： x x 被 3 除所得的余数.设 X=0 , 1, 2,3, 4 ,思路点拨： 判定是否构成映射应留意：A 中元素的剩余.“多对一”“一对一”构成,而“一对多”不构成映射.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解： 构成映射,构成映射,构成映射,不构成映射,

20、 0 没有象 .【变式 2】已知映射 f： A B ,在 f 的作用下,判定以下说法是否正确？1 任取 xA ,都有唯独的 y B 与 x 对应.2A 中的某个元素在 B 中可以没有象.3A 中的某个元素在 B 中可以有两个以上的象.4A 中的不同的元素在 B 中有不同的象.5B 中的元素在 A 中都有原象.6B 中的元素在 A 中可以有两个或两个以上的原象 .答： 1、6 的说法是正确的, 2 、3 、4、5 说法不正确 .【变式 3】以下对应哪些是从 A 到 B 的映射？是从 A 到 B 的一一映射吗？是从 A 到 B的函数吗？1A=N , B=1 ,-1 , f： x y=-1 x.2A

21、=N , B=N +, f ：x y=|x-3| .3A=R , B=R ,4A=Z , B=N , f： x y=|x| . 5A=N , B=Z , f： x y=|x| . 6A=N , B=N , f：x y=|x|.答： 1 、4 、5、6 是从 A 到 B 的映射也是从 A 到 B 的函数,但只有 6 是从 A 到 B的一一映射. 2 、3 不是从 A 到 B 的映射也不是从A 到 B 的函数 .6. 已知 A=R , B=x ,y|x , yR , f：A B 是从集合A 到集合 B 的映射, f ：xx+1 , x2+1,求 A 中的元素的象, B 中元素的原象 .解：A 中元

22、素的象为故.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -举一反三：【变式 1】设 f： A B 是集合 A 到集合 B 的映射,其中(1) A=x|x 0 , B=R , f： xx 2-2x-1 ,就 A 中元素的象及 B 中元素 -1 的原象分别为什么？2A=B=x, y|xR, y R , f ： x , y x-y , x+y ,就 A 中元

23、素 1, 3的象及 B 中元素 1, 3的原象分别为什么？解：1 由已知 f ：x x 2-2x-1 ,所以 A 中元素的象为.又由于 x 2-2x-1=-1 有 x=0 或 x=2,由于 A=x|x 0 ,所以 B 中元素 -1 的原象为2.2由已知 f:x ,y x-y ,x+y ,所以 A 中元素 1,3的象为 1-3,1+3 ,即-2,4.又由于由有 x=2 , y=1 ,所以 B 中元素 1, 3的原象为 2, 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 24 页 - - - - - - - - - -

24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数的表示方法7. 求函数的解析式1如 f2x-1=x 2,求 fx .2如 fx+1=2x 2+1 ,求 fx.思路点拨： 求函数的表达式可由两种途径.解： 1 f2x-1=x 2,令 t=2x-1 ,就.2fx+1=2x 2+1 ,由对应法就特点可得：fx=2x-1 2+1即： fx=2x 2-4x+3.举一反三：【变式 1】1 已知 fx+1=x 2+4x+2 ,求 fx .2已知：,求 ff-1.解： 1 法 1fx+1=x 2+4x+2=x+1 2+2x+1-1

25、fx=x 2+2x-1 .法 2令 x+1=t , x=t-1 , ft=t-1 2+4t-1+2=t 2+2t-1 fx=x 2+2x-1 .法 3设 fx=ax 2+bx+c 就fx+1=ax+1 2+bx+1+cax+1 2+bx+1+c=x 2+4x+2.2 -1 0, f-1=2 -1+6=4ff-1=f4=16.总结升华： 求函数解析式常用方法：1 换元法. 2 配凑法. 3 定义法. 4待定系数法等.留意：用换元法解求对应法就问题时,要关注新变元的范畴.8.作出以下函数的图象.1.2.3.4.思路点拨： 1 直接画出图象上孤立的点.23 先去掉肯定值符号化为分段函数.可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解： 1,图象为一条直线上5 个孤立的点.(2) 为分段函数,图象是两条射线.(3) 为分段函数,图象是去掉端点的两条射线.4图象是抛物线.所作函数图象分别如下列图：类型四、分段函数9. 已知,求 f0 , ff-1 的值 .思路点拨： 分段函数求值,必需留意自变量在不同范畴内取值时的不同对应关系.解： f0=2 0

27、2+1=1ff-1=f2 -1+3=f1=2 12+1=3.举一反三：【变式 1】已知,作出 fx 的图象, 求 f1 ,f-1 ,f0 ,fff-1+1的值 .解： 由分段函数特点,作出fx 图象如下：如图,可得：f1=2 . f-1=-1 . f0=.fff-1+1=ff-1+1=ff0=f=+1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1

28、0. 某市郊空调公共汽车的票价按以下规章制定：1 乘坐汽车5 公里以内,票价2 元. 25 公里以上,每增加5 公里,票价增加1 元不足 5 公里按 5 公里运算 ,已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1 公里,假如沿途包括起点站和终点站设 20 个汽车站,请依据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.解： 设票价为y 元,里程为x 公里,由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式：依据这个函数解析式,可画出函数图象,如下图所示：举一反三：【变式 1】移动公司开展了两种通讯业务： “全球通”,月租 50 元,每通话 1 分钟,付费 0.4 元.“神州行”不缴月租,每通话 1

29、分钟,付费 0.6 元,如一个月内通话 x 分钟,两种通讯方式的费用分别为 y 1, y 2元 , . 写出 y 1, y 2 与 x 之间的函数关系式？ . 一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同？ . 如某人估计一个月内使用话费200 元,应挑选哪种通讯方式？解： ： y 1=50+0.4x , y2=0.6x .：当 y1=y2 时, 50+0.4x=0.6x , 0.2x=50 , x=250当一个月内通话250 分钟时,两种通讯方式费用相同.：如某人估计月付资费200 元,采纳第一种方式：200=50+0.4x , 0.4x=150 x=375 （分钟）采纳其次种方式：200=

30、0.6x ,应采纳第一种全球通 方式 .学习成果测评基础达标一、挑选题1判定以下各组中的两个函数是同一函数的为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -,.,.,.,.A 、,B、CD 、2函数 y=的定义域是 A -1 x 1B x -1 或 x 1C 0 x1D -1 , 13函数的值域是 A -, , + B - , ,+ CRD -,

31、, +4以下从集合A 到集合 B 的对应中： A=R ,B=0 , +, f:x y=x 2. A=-2 , 1 , B=2 ,5 , f:x y=x 2+1. A=-3 , 3 , B=1 ,3 , f:x y=|x|其中,不是从集合A 到集合 B 的映射的个数是 A 1B 2C 3D 45已知映射f:A B,在 f 的作用下,以下说法中不正确选项 A A 中每个元素必有象,但 B 中元素不肯定有原象B B 中元素可以有两个原象C A 中的任何元素有且只能有唯独的象D A 与 B 必需是非空的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - -

32、- -第 13 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -数集6点 x , y在映射 f 下的象是 2x-y , 2x+y ,求点 4, 6在 f 下的原象 A , 1B 1, 3C 2, 6D -1 , -37已知集合P=x|0 x 4 , Q=y|0 y 2 ,以下各表达式中不表示从P 到 Q 的映射的是 A y=B y=C y=xD y=x 28以下图象能够成为某个函数图象的是 9函数的图象与直线的公共点数目是 A B C或D 或10已知集合,且,使中元

33、素和中的元素对应,就的值分别为 A BCD11已知,如,就的值是 A B 或C,或D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移,这个平移是 A 沿轴向右平移个单位B沿轴向右平移个单位C沿轴向左平移个单位D 沿轴向左平移个单位二、填空题1 设 函 数就 实 数的 取 值 范 围 是 2函数的定义域 3

34、函数 fx=3x-5在区间上的值域是 4如二次函数的图象与x 轴交于,且函数的最大值为,就这个二次函数的表达式是 5函数的定义域是 6函数的最小值是 三、解答题1求函数的定义域2求函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3依据以下条件,求函数的解析式：1 已知 fx 是一次函数,且ffx=4x-1 ,求 fx .2 已知 fx 是二次

35、函数,且f2=-3 , f-2=-7,f0=-3 ,求 fx .3 已知 fx-3=x 2 +2x+1 ,求 fx+3 .4 已知.5 已知fx 的定义域为R,且2fx+f-x=3x+1,求fx.才能提升一、挑选题1设函数,就的表达式是 A BCD 2函数满意就常数等于 A 3B -3CD3已知,那么等于 A 15B 1C 3D 304已知函数定义域是,就的定义域是 A BCD5函数的值域是 A B CD 6已知,就的解析式为 A B CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页,共 24 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -