2022年必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题 .docx

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1、精品_精品资料_一、学问点总结必修五第一章解三角形学问点总结及经典习题 数学教研组 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 正弦定理 :abc2R（R: 外接圆半径）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或变形：a : b : csin A:sinB :sin C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论：定理： 在三角形中, 、为其内角, 就sinsin,等号当且当 = 时成立.判定三角形大小关系时,可以利用如下原理：sin A sin BA Ba b可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_cos Acos BABa b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形的面积公式：S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 余弦定理：a2b2b2a2c22bccos Ac22ac cosB或cos Ab2c2a2a22bcc2b2b22aca2c22abcosB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2b2a22ba cosCcosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

3、精品资料_3. 利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1） ）正弦定理： 1、已知两角和一边（如A、B、c）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b.ASA 或AAS2、已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形 .SSA（2） ）余弦定理： 1、已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C =,求角 C.SSS2、已知两边和夹角（如 a、b、C）,应用余弦定理求 c 边.再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= ,求另一角 .SAS主流思想：利用正、

4、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 三角形中的基本关系： sin ABsin C,cosABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin ABcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C2222226. 求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意,弄清已知和所求.（2） 建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图.（3） 求解：正确运用正、余弦定理求解.（4） ）检验：检验上述所求是否符合实际意义.习题练习可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_解三角形 A 组一、挑选题1. 在 ABC 中,如 b2asin B ,就 A 等于（ D ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 300 或60 0B 45 0或60 0C 120 0 或60 0D 300或150 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0002. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（B ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0A 90二、填空题B 120C 135D 150可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

6、精品资料_3. 在 ABC 中,如 a 2b 2bcc2 , 就A 120 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在 ABC 中,如 b三、解答题2, B30 0 ,C135 0 ,就a62 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在 ABC 中,设 ac2b, AC, 求sin B 的值.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： ac2b, sin AsinC2sin B ,即 2sinAC cos

7、AC4sinB cos B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin B1 cos AC3 ,而 0B, cos B13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22242224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin B2sinB cos B231339可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22448可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解三角形 B 组 一、挑选题 1在 ABC 中,A: B : C1: 2:3,就 a : b : c 等于（ C ）可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_A 1: 2:3B 3: 2:1C 1:3 : 2D 2 :3 :1二、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 如在 ABC 中,A600, b1, SABC3, 就sinabAsin Bc=（sin C239 ）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在 ABC 中,如 a9, b10,c12, 就ABC 的外形是锐角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在 ABC 中,如 a3, b2 , c62 就A600

9、.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在锐角 ABC 中,如 a三、解答题2, b3 ,就边长 c 的取值范畴是 5,13 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在 ABC 中, A120 , cb, a21,S0ABC3 ,求 b,c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： SABC1 bc sin A 23, bc4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222abc2bc o sA,

10、 bc,5而 cb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 b1,c4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在 ABC 中,如acos2 Cc cos2 A3b ,求证： ac2b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：a cos2 Cc cos2 A3b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin A1cos Csin C1cos A

11、3sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即sin Asin AcosCsin CsinCcosA3sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin Asin Csin AC3sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即sin Asin C2sinB , ac2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解三角形 C 组一、挑选题1. A 为

12、ABC 的内角,就sin Acos A的取值范畴是（ C ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 2 ,2B. 2 ,2 C 1,2 D2,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 在 ABC 中,如 a7,b3, c8 ,就其面积等于（ D ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 12B21C 28D 63 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、3. 在 ABC 中,如 ac acbbc ,就 A（ C ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 90 0B 600C 120 0D 150 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan Aa 24. 在 ABC 中,如2 ,就 ABC 的外形是（ B ）tan BbA直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、解答题5. 假如 ABC 内接于半径为 R的圆,且求ABC 的面积的最大值.2 Rsin 2 Asin 2 C2ab) sin B,可编辑资料 - -

14、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 2 Rsin Asin A2 Rsin Csin C2absin B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a sinAc sin C2absinB, a 2c22abb 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 2c22ab,cos Ca2b 2c22ab2 ,C2450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c sin C2 R,

15、c2 Rsin C2R, a 2b 22R22ab,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 R22aba 2b222ab, ab2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222R2Sabsin Cab, 24422Smax212R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另法： S1 ab sin C2 ab22 Rsin A2R sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22Rsin A42

16、 Rsin B2R2 sinAsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2R212cos ABcos AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2R21cosAB2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2R22212 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22S21 R2此时 AB 取得等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_max2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知 ABC 的三边 abc 且ac2b, AC,求

17、a: b: c .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： sin Asin C2sinB,2sinAC cos AC 224sinAC cos AC 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin B1 cos AC2 ,cos B14 ,sin B2sinB cos B7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222424224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC,A CB, A3B ,CB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin 3Bsin 3cos Bco

18、s 3sin B71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin CsinBsincos Bcossin B71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a : b : csin A:sinB :sin C77 : 7 : 77 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在 ABC 中,如 abc abc3ac ,且 tanA tanC33, AB 边上的高为 43 ,求角A, B,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的大小与边 a,b, c

19、 的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： abc abc3ac, a2c2b 2ac,cos B10, B602可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t a nAC t a nAt aCn,333,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1t a nAt Ca n 1At a nCt a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t a nAt aCn 2,联3 合 tan Atan C33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan A23tan A1A750A450可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或得或,即00可编辑资

20、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan C1tan C23C45C75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A750, C450时, b434326, c831, a8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A450, C750时, b4346, c431, a8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A750, B600 , C450 时, a8, b4326, c831,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A450

21、, B600 ,C750 时, a8, b46, c431 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解三角形 D 组1. 在 ABC 中, sin Acos A22, AC2 , AB3 ,求tan A 的值和 ABC的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：先解三角方程,求出角A的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A2 cosA45 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A45 1 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0A180 ,

22、A4560 , A105.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan Atan4560 131323 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinAsin105sin4560 sin45cos60cos45sin6026 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABC1 ACAB sin A 21232624326 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

23、_解法二：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式 sin Acos A 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2sinAcos A1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0A180 ,sin A10,cos A0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解 sin 2 A 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A 212sinA

24、cos A3 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos A62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_+得 sin A26 .4得 cos A26 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 tan Asin A cosA26442623 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. （2022 上海文数 18. ）如 ABC 的三个内角满意 sinA :sinB :sin C5:11:13,就 ABC（ C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A）肯定是锐角三角形 .（B）肯定是直角三角形 .（C）肯定是钝角三角形 .

25、D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3（.2022 天津理数 7）在 ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,如 a2b23bc ,sin C23 sin B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 A= A （A） 300（B） 60 0（C） 120 0（D） 1500可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. （2022 湖北理数） 3. 在 ABC 中, a=15,b=10,A=60,就 cosB = D 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 223B 223C 6 D633可编辑

26、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. （2022 广东理数） 11. 已知 a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边,如 a=1,b=3 , A+C=2B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 sinC= 1.6. （2022 全国卷理）在ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 2c 22b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且sinAcosC3cos Asin C, 求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

27、精品_精品资料_7. （2022 四川卷文）在ABC 中, A、B为锐角,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510.（I ）求 AB 的值.（ II ）如 ab21,求 a、b、c 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解（ I ） A、B 为锐角,sin A5 ,sin B10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos A1

28、sin 2 A2 5 ,cos B1sin 2 B3 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos ABcos A cos B 0AB, sin Asin BAB2 53 105102.5105102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II ）由（ I ）知 C3,44sin C22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 abc得sin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5a10b2c,即 a2b, c5b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又ab21

29、2bb21b1a2, c5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. （2022 辽宁文数 17）（本小题满分 12 分）在 ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asin A（）求 A 的大小.2bcsin B2cbsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如 sin Bsin C1,试判定 ABC 的外形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）由已知,依据正弦定理得2a 22bc) b2cbc可编辑资料 - - - 欢迎下

30、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a 2b 2c2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由余弦定理得 a 2b2c22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故cos A1 , A2120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）得sin 2 Asin 2 Bsin 2 Csin Bsin C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

31、 欢迎下载精品_精品资料_又sin Bsin C1 ,得 sin Bsin C12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0B90 ,0C90 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 BC所以 ABC 是等腰的钝角三角形.9. （2022 辽宁理数）（ 17）（本小题满分 12 分）在 ABC中, a, b, c分别为内角 A, B, C的对边,且 2asin A（）求 A的大小.2 acsin B2 cbsin C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求

32、 sin Bsin C 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（）由已知,依据正弦定理得2a22bcb2cbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故cosA1,A=120 6 分2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由（）得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Bsin Csin Bsin60B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 cosB1 sinB22sin60B故当 B=30时, sinB+sinC 取得最大值 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载