2022年放缩法技巧全总结 .docx

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1、精品_精品资料_2022 高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而布满摸索性和挑战性,能全面而综合的考查同学的潜能与后继学习才能,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观看所给数列通项的结构,深化剖析其特点,抓住其规律进行恰当的放缩.其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1.1求n22k 1 4k的值;2 求证:1n15 .2k 1 k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:1由于24n 212n21 2n112n112n1,所以

2、n22k 1 4 k1112 n12n2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 由于 1n 21n 21444n 21212n112n1,所以112 11kn2k 13512n112512 n133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇巧积存 :1 1n 244 n244n21122n112n121C 1 C22n1nn11nn11nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) Tr 1r1Cnn rn. r . n1r .nr11r .r r1n 1n1r11 r2r可编辑资料 - - - 欢迎下

3、载精品_精品资料_4 151 nn1111121321115n n1261n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 2 n12n12nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 2n1n 91k n1kn12n111kknn11,n1 nn811k22 n11k1112n32n11nn1k2 n11 2n 1 2n13 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10nn1 .1n.n11 .111n2 2n 12n 12 22n12n 12n1n122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn11222n2nnnn2 n 1nn 111n 1nn2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2121 2121 22 21212121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_121312nn11111nn1n n1n1n11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13142n 12 2 n31 2n3k2132n12 n1111n1n11n1n12nn1n1n2 n1231512n2n131nn1n2可编辑资料 -

5、 - - 欢迎下载精品_精品资料_k. k1.k2.k1 .k2 .nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15i1j2ij1 i 2j 22ij i 21j 21ii 21j1j 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2.1 求证:11132522 求证: 111 2n171 26111n22 2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4(3) 求证: 116361 31 3 54n 22 4n1 3 5 2n12n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 42 4 62 4 62n

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 求证： 2 n111112312 2nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:1由于12 n122n11 2n 1112 2 n 112n1,所以ni 1 2i11 21 112 312n 11 112 312n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1114163614n21 114221 1 111n24n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3)

7、 先运用分式放缩法证明出1 3 52n11, 再结合1进行裂项 ,最终就可以得到答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 4 62n2n1n2nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 第一 1n2 n1n2n1n,所以简单经过裂项得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n11111123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再 证12 2 n 1n2 n 12 22n12n1而 由 均 值

8、不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 , 所 以211nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112312n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 求证: n6n1111 2n14915n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:一方面 :由于 11n221n444n 21212 n 112n1,所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11121211251可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 k3

9、5另一方面 :111492 n11n22n1331112334111nnn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当n3时,nn16nn12n,当 n11 时,n6n1 2n11111 ,249n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2 时, n6n1 2n1111491 ,所以综上有n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6nn12n11114915n23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例

10、 4.2022 年全国一卷 设函数f xxx ln x . 数列an满意 0a11 . an 1f an . 设 b a1,1 ,整数k a1b . 证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明: ak 1b .a1 ln b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列 ,故存在正整数 mk ,使amb ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak 1akb ,否就如 amb mk ,就由 0a1amb1 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am ln ama1 ln ama1 ln b0 ,ak 1akakln a

11、kka1amm 1ln am,由于kam ln amm 1ka1ln b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 ak 1a1k | a1 ln b |a1ba1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5.已知 n, mN , x1, Sm1m2m3mnm , 求证:nm 1m1 Snn1m 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:第一可以证明 : 1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm 1nm 1n1m 1 n1 m 1n2 m 11m 10n k m 1k 1k1

12、m1 所以要证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nm 1m1Snn1 m 11只要证 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nk m 1k 1k1m 1nm1k m k 1 n1 m 11n1m 1nm 1nm 1n1m 12m 11m 1n kk 11m 1k m 1 故只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要证 n k k m 11k1m 1 n m1k m k 1n kk 11m 1k m 1 ,即等价于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k

13、m 1k1m 1m1k mk1m 1k m ,即等价于 1m1k11 m 1 ,1m1kk11 m 1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而正是成立的 ,所以原命题成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a例 6. 已知n4n2n ,Tn2na1a2,求证: T1anT241T34 n 213.Tn22 n 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T解析:n4142434 n21222n 14123 4n12 12 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以Tn434n2n12 12n 4 n 132 n422n 132n4n 12332

14、n 14 n 13 2n3 2n 1232n2 2 2n 23 2 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32 2 2n2 n1 2 n1312 2 n112 n 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T从而 1T2T33111Tn1233712 n1132n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1例 7. 已知 x1, xnnn2k1, kZ ,求证:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n112k, k1Z 2 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x2

15、x3证明:14 x4 x54 x2n x2n 111112,由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 x2nx2n 14 2n1 2n14 4n 214 4n22n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 nnn1 ,所以412x2 n x2 n 12 n2nn12 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以14 xx14 xx14 x x2 n11nN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23452 n 2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数放缩例 8.求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n 3n3

16、n5n 66 nN * .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:先构造函数有ln xx 1ln x11 , 从而 ln 2ln 3ln 4ln 3n3n1 111 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2343n233n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111111123456789由于 111233 n533993n 13n 11112n2 n13n5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_66918272 3n 13 n6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ln 22l

17、n 33ln 44ln 2ln 33nn3nln 315n6ln n3 n5n662n 2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9.求证 :12,23 n2n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:构造函数f x ln x ,得到xln n nln n 2 ,再进行裂项n2ln n2n 2111n21nn, 求和后可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数构造形式 :ln xx1 , ln nn12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_例 10.求证 : 1123111ln n11n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:提示: ln n函数构造形式 :1ln xln n1nnn1x, ln x11 x2ln n11nlnnn1ln 2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当然此题的证明仍可以运用积分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,取函数1,f xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一:n 1SABCFx,从而, 1 in1ln x |nnnxiln nDln niE可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品_精品资料_取i1有, 1 nn iln nln nn i1 ,FCOABn-inx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有 12ln 2 , 13ln 3ln 2 , ,1nln nln n1 ,1n1ln n1) ln n ,相加后可以得到 :11231ln n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一方面 Sn1xABDEn i,从而有1i nin 1n i xln x |nniln nln ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_取i1有,1 n1ln nln n1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有ln n 11121 ,所以综上有 11n231ln n1111n12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11.求证 : 11112.3.11n.e 和 111 19811.132 n e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:构造函数后即可证明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12.求证 : 112 1231n n1e2 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

21、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:ln nn 1132nn1,叠加之后就可以得到答案1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数构造形式 :ln x 123 x0 x 11 ln1 x x3 xx 1加强命题 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13.证明 : ln 2ln 3ln 4ln nn n1 nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:构造函数3f x45ln x1n1x141 x1 ,求导,可以得到 :可编

22、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x112x 1xx ,令1f x0 有1x2 ,令f x0 有 x2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f xf 20 ,所以 ln x1x2 ,令 xn 21 有, ln n2n21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 ln nn 1 ,所以ln 2ln 3ln 4ln nn n1) nN *, n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 12345n 14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

23、料_a例 14. 已知11,an 111n2 ann1 . 证明 an2ne2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析:an 111n n1 an1) 2 n11nn 11 a ,2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后两边取自然对数,可以得到ln an 1ln11n n 11n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_然后运用ln1xx 和裂项可以得到答案 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_放缩思路：a n 1112nn1n a

24、 n2ln an 1ln 11n 2n1n ln an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln ann 11n2n1 .于是2nn 11ln an 11ln an1n 2n11 ,2 n1 n 1111 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln ai 1i 1ln a i 2i ii2i 1ln a nln a 11n2n2.1 1n22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln anln a12ae2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n注：题目所给条件 ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用.当然

25、,此题仍可用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nnn1n2) 来放缩：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 111nna n11nn1an 11 11n n an 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnan 11lnan1ln111n 1 ln ai 11ln ain 111ln an1ln a 21111 , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln an11ln 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n1.nn 1i 2i 2i i1an3e1e2 .例 15.2022 年厦门市质检 已知函数f x 是

26、在 0, 上到处可导的函数 ,如xf xf x 在 x0 上恒成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 求证：函数g xf x x在0,上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 当 x10, x20时,证明 :f x1 f x2 f x1x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(III) 已知不等式ln1xx在x1且x0 时恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：1 ln 2 2221 ln 32321 ln 424 21n 12 ln n1 22 nn1 n2nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

27、_精品资料_解析:Ig xf x xx 2f x0 ,所以函数g x f x x在 0,上是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 由于g xf x x在 0,上是增函数 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1 x1f x1x1x2 x2f x1 x1x1x2f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2 x 2f x1 x1x 2 x2f x2 x2x1x2f x1x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两式相加后可以得到f x1 f x2 f x1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3f x1 x1f x1x2x1x 2xn xnf x1x1x1x2f x1x 2nxnxn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 2 x2f x1x2x1x2xn xnx2f x2 x1x2f x1x2x nx 可编辑