2022年高中数学选修知识点总结4.docx

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1、精品_精品资料_平行线等分线段定理高中数学选修 4-1 学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推理 2：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.相像三角形的判定及性质相像三角形的判定：定义：对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形.相

2、像三角形对应边的比值叫做相像比（或相像系数）.由于从定义动身判定两个三角形是否相像,需考虑6 个元素,即三组对应角是否分别相等,三组对应边是否分别成比例,明显比较麻烦.所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相像的简洁方法：（1）两角对应相等,两三角形相像.（2）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像.（3）三边对应成比例,两三角形相像.预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与三角形相像.判定定理 1 ：对于任意两个三角形, 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像.简述为：两角对应相等,两三角形相像.判定定理 2 ：

3、对于任意两个三角形, 假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等, 那么这两个三角形相像.简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像.判定定理 3 ：对于任意两个三角形, 假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像.简述为：三边对应成比例,两三角形相像.引理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.定理：（ 1）假如两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相像.（ 2）假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相像.定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个

4、三角形的斜边和直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像.相像三角形的性质：（1） 相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相像比.（2） 相像三角形周长的比等于相像比.（3） 相像三角形面积的比等于相像比的平方.相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比,外接圆的面积比等于相像比的平方.直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推

5、论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.圆内接四边形的性质与判定定理定理 1：圆的内接四边形的对角互补.定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.圆内接四边形判定定理：假如一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理：经过

6、半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.割线定理：从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.高中数学选修 4-4 学问点总结一、选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求：1. 坐标系： 懂得坐标系的作用 . 明白在平面直角坐标系伸缩变换作用

7、下平面图形的变化情形. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,懂得在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分,能进行极坐标和直角坐标的互化 . 能在极坐标系中给出简洁图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,懂得用方程表示平面图形时挑选适当坐标系的意义.2. 参数方程：明白参数方程,明白参数的意义. 能挑选适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、学问归纳总结：xx, 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 伸缩变换：设点Px,y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P x, y 对应可编

8、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yy,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到点 P x , y ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ,简称 伸缩变换.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ,叫做 极点 .自极点 O 引一条射线 Ox 叫做 极轴 .再选定一个长度单位、一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 ,这样就建立了一个 极坐标系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离| OM| 叫做 点 M 的极径 ,记为.以

9、极轴 Ox 为始边,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_射线 OM 为终边的xOM 叫做点 M 的极角 ,记为.有序数对 , 叫做点 M 的极坐标,记为M , .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极坐标 , 与 ,2 k kZ 表示同一个点.极点O 的坐标为0,R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如0 , 就0 , 规定点 , 与点 , 关于极点对称,即, 与 , 表示同一点.可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯独的极坐标, 表示.同时,极坐标, 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的点也是唯独确定的.5. 极坐标与直角坐标的互化：222xy,xcos ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6.圆的极坐标方程：ysin,tany x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极坐标系中,以极点为圆心,r 为半径的圆的极坐标方程是r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极坐标系中,以C

11、a,0 a0 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是2acos.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极坐标系中,以Ca, a 20 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是2 asin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在极坐标系中,0 表示以极点为起点的一条射线.R表示过极点的一条直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在极坐标系中,过点Aa,0 a0 ,且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cosa .可

12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 参数方程的概念：在平面直角坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数xyf t ,gt ,并且对于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 的每一个答应值,由这个方程所确定的点M x, y都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ,联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变数 x, y 的变数 t 叫做 参变数 ,简称 参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_29. 圆 xa2 yb2r的参数方程可表示为x arcos , y brsin .为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y 2椭圆a 2b 21 ab0 的参数方程可表示为x acos , y bsin.为参数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线 y 22 px 的参数方程可表示为x 2 px2 ,t为参数 .y 2 pt.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_经过点M O xo ,yo ,倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为x xoy yotcos tsin,（ t 为参数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范畴.在参数方程与一般方程的互化中,必需使围保持一样 .x, y的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、不等式的基本性质高中数学选修 4-5 学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（对称性） abba（传递性）（可加性） abacbcab, bcac可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品_精品资料_（ 同向可加 性） a（ 异向可减 性） ab, cdb, cdacbdacbd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（可积性） ab, c0acbc ,ab, c0acbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 同向正数 可乘性） ab0, cd0acbd（ 异向正数 可除性） ab0,0cdab cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（平方法就）ab0anbn nN ,且n1 （开方法就）ab0n an b nN ,且n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（倒数法就）

16、 ab011 ; ab011abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、几个重要不等式 a2b22ab a,bRa 2b 2, （当且仅当 ab时取 号） .变形公式： ab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（基本不等式）ababa,bR2,（当且仅当 ab时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形公式：ab2ab2abab.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用基本不等式求最值

17、时（积定和最小,和定积最大）,要留意满意三个条件“ 一正、二定、三相等 ” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三个正数的算术几何平均不等式）abc 33 abc a、b、cR （当且仅当 abc 时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b2c2abbcca a,bR（当且仅当 abc时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333 abc3abc a0, b0, c0 （当且仅当 abc时取到等号） .可编辑资料 - - - 欢迎

18、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如ab0,就 baab2 （当仅当 a=b 时取等号）如ab0, 就 baab2 （当仅当 a=b 时取等号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定值三角不等式a babab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、几个闻名不等式11平均不等式：2aba2abb ,（ a, bR,当且仅当 ab 时取 号） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ab22（即调和平均几何平均算术平均平方平均

19、） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变形公式： abab 2a2b ;a2b2ab2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22224、一元二次不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求一元二次不等式 ax 2bxc0或0 a0,b 24ac0 解集的步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判定对应方程的根. 三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象. 五解集：依据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 5、

20、高次不等式的解法：穿根法 .分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿（奇穿偶切 ）,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集.6、分式不等式的解法：先移项通分 标准化,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f xgx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x（“ 或”时同理）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xg x0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xaa0f x0

21、2f xa a0f x02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xaf xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xg xg x0或2g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xgxf x0g x0f xg xf x0gx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x g x2f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指

22、数不等式的解法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,a f xag xf xg x当 0a1时,a f xa g xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据指数函数的性质转化. 9、对数不等式的解法f x0f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时,log af xlogagxgx0当 0a1时,log af xlog ag xg x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：依据对数函数的性质转化. 10、含肯定值不等式的解法：f xgxf xg x

23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：a.a a0平方法：f xg xf xg x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同解变形法,其同解定理有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xaaxaa0; xaxa或xaa0;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xg xg xf xg x g x0 f xg xf xg x 或f xg x g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_规律：关键是去掉肯定值的符号.11、含有两个（或两个以上）肯定值的不等式的解法：规律：找

24、零点、划区间、分段争论去肯定值、每段中取交集,最终取各段的并集. 12、含参数的不等式的解法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解形如ax2bxc0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类争论,分类争论的标准有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论 a 与 0 的大小.争论与 0 的大小.争论两根的大小.13、恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

25、当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式ax2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时b0, c0;当 a0 时a0 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmaxa;f xa 恒成立f xmaxa;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xa 恒成立f xmina;f xa 恒成立f xmina.可编辑资料 - - - 欢迎下载