2022年最全最详细抽象函数对称性、奇偶性与周期性常用结论 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一. 概念 : 抽象函数是指没有给出详细的函数解读式或图像 , 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数, 如函数的定义域 , 解读递推式 , 特定点的函数值 ,特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解读表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能1、周期函数的定义：对于 f x 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T,使得 f x T f x

2、恒成立,就称函数 f x 具有周期性, T 叫做 f x 的一个周期,就 kT （k Z k 0）也是 f 的周期,全部周期中的最小正数叫 f x 的最小正周期；分段函数的周期：设 y f x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为 C: y f x ,x a , b , T b a；把 y f x 沿 x 轴平移 KT K b a 个单位即按向量a kT , 0 平移,即得 y f x 在其他周期的图像：y f x kT , x kT a , kT b；f x x a, bf x f x kT x kT a, kT b2、奇偶函数：设yffx ,xfa ,b或xyfb ,aa ,b如x fx

3、,就称fx 为奇函数；如fx x 就称yx 为偶函数；分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：名师归纳总结 点A x ,y 与B 2 ax2, by 关于点 a ,b 对称；C关 于第 1 页,共 10 页点A ax,by 与B ax ,by 关于a ,b 对称；函数yfx 与 2 byf2 ax 关于点a ,b 成中心对称；函数byfax 与byfax 关于点 a ,b 成中心对称；函数F（x ,y0 与F2 ax , 2 by0 关于点a ,b成中心对称；（2）轴对称：对称轴方程为：AxByC0；点A x ,y与Bx/,y/B x2AAxByC,y2BAxByA2B2A2

4、B2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线AxByC0 成轴对称；函数yCfx与y2BAxByC,yfxB2AAxByC关于直线A2B2A2B2AxBy0成轴对称；Fx ,y C0 与Fx2A AxByC2AxByC0关于直线A2B2A2B2AxBy0成轴对称；二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yfx图象本身的对称性（自身对称）a2b对称如f xaf xb ,就f x 具有周期性；如f axf bx ,就f x 具有对称性：“ 内同表示周期性,内反表示对称性” ；1、fax fbxyfx图象关于直线xax2bx推论 1：faxfaxyfx的图象关于

5、直线xa对称推论 2、fxf2axyfx的图象关于直线xa对称推论 3、fxf2ax yfx的图象关于直线xa对称2、faxfbx2 cyfx的图象关于点a2b,c 对称推论 1、faxfax2byfx的图象关于点a,b对称推论 2、fxf2ax 2byfx的图象关于点a,b对称推论 3、fxf2ax2 byfx的图象关于点a ,b对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解读几何中的对称曲线轨迹方程懂得）名师归纳总结 1、偶函数yffx与yf x图象关于 Y轴对称第 2 页,共 10 页2、奇函数与yfxyf x图象关于原点对称函数3、函数yyx与f x 图象关于 X 轴对称- - -

6、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、互为反函数yf x 与函数yf1 x 图象关于直线yx 对称5. 函数yfafx 与yfbx 图象关于直线xba对称2推论 1: 函数yax与yfax图象关于直线x0对称推论 2: 函数yfx与yf2ax图象关于直线xa对称推论 3: 函数yf x与yf2aa对称x图象关于直线x（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx 关于点（ a,0）中心

7、对称,就以下三个式子成立且等价：（1）fa x fa x （2）f2a x fx （3）f2a x f x 易知, yfx为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例；2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量x,均有 fg x fgx,就复数函数 yfgx为偶函数；x,均有 fg x fgx定义 2、 如对于定义域内的任一变量就复合函数 yfgx为奇函数；说明：（1）复数函数 fgx 为偶函数,就 fg x fgx 而不是 f gx fgx,复合函数 yfgx 为奇函数,就 fg x fgx 而不是 f gx fgx；（2）两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx

8、 a f xa ；yfx a 为奇函数,就 f xa fa x （3）yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数 yfx 关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a,0）中心对称）3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ ba）/2 轴对称 性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称 推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称 推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - -

9、- - - - - - 4、函数的周期性yfx 定义域内的任一变量x 点有以下条如 a 是非零常数,如对于函数件之一成立,就函数yfx 是周期函数,且2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a fx fx a 1/fx fx a 1/fx 5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx 同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T2|a b| 性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx 必为周期函数,且 T2|a b| 性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数

10、fx 必为周期函数,且 T4|a b| 6、函数对称性的应用（1）如 y f x 关于点（h , k 对称,就 x x / 2 h , y y / 2 k , 即/f x f x f x f 2 h x 2 kf x 1 f x 2 f x n f 2 h x n f 2 h x n 1 f 2 h x 1 2 nk（2）例题名师归纳总结 1、fx axaxa关于点（1,12 2）对称：fx f 1x 1；xa第 4 页,共 10 页fx4xx112x1 关于（0,1）对称：fxfx2f112fxx11R ,x0 关于（11,2）对称：f（x2x 2、奇函数的图像关于原点（0,0）对称：fx

11、fx0； 3、如fxf 2ax 或faxf ax ,就yfx 的图像关于直线对称；设fx 0 有n 个不同的实数根,就2 axnna. x 1x 2x nx 1 2 ax 1x 22 ax 2x n22 当n2k1 时,必有x 12ax 1,x 1a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f xTf x T0 yfx的周期为 T , kT kZ 也是函数的周期a2、fxaf xbyfx的周期为Tba3、fxafxyfx的周期为T2a4、fxaf1yfx的周期为T2ax 5、fxaf1yf x 的周期为T2

12、ax 6、fxa1fxyfx的周期为T3 a1fx7、fxa f11yfx的周期为T2ax 8、fxa 1fxyfx的周期为T4 a1fx9、fx2 afxafxyf x 的周期为T6a10、如p0 ,fpxfpxp,就Tp.2211、yfx有两条对称轴xa和xbbayfx周期T2 ba推论：偶函数yfx满意faxfaxyfx周期T2 a12、yfx有两个对称中心a,0和b0,bayfx周期T2ba推论：奇函数yfx满意faxfax yfx周期T4a13、yfx有一条对称轴xa和一个对称中心b0,baf x的T4b四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型名师归纳总结 敏捷应用函数奇偶性、

13、周期性与对称性,可奇妙的解答某些数学问题,它对训练同学第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析问题与解决问题的才能有重要作用 1. 求函数值. 下面通过实例说明其应用类型；0x例 1. （ 1996 年高考题）设fx是,上的奇函数,f2xfx,当x1时,fxx,就f75.等于（ -0.5 ）ff（D）-1.5. （A）0.5 ；（ B）-0.5 ；（C）1.5 ；例 2（ 1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知fx是定义在实数集上的函数,且2 1fx1fx ,f 1 23,求 1989的值 .f 1989 32；2、比较函数值大

14、小 1f例 3. 如fxxfR 是以2 为周期的偶函数,当x1,0时,fx x1998,试比较98、f101、104的大小 . 1917151且0解：fxxR 是以2 为周期的偶函数,又fx x 1998在1,0上是增函数,116141,f1f16f14,即f101f98f104.171915171915171915k3、求函数解读式,上且以2 为周期的函数,对例 4. （ 1989 年高考题）设fx是定义在区间Z,用kI 表示区间2k,12k1 ,已知当x0Ifx 2 x.求fx在kI上的解时,读式 . 名师归纳总结 间解：设x2 k,12k1 ,2k1x2k11x2k1第 6 页,共 10

15、 页xI0时,有fx x2,由1x2k1 得fx2 kx2k2fx是以 2 为周期的函数,fx2k fx ,fx x2 k2. 例 5设fx是定义在,上以 2 为周期的周期函数,且fx是偶函数,在区2 3,上,fx 2 x3 24 .求x,12时,fx的解读式 . 42时,解：当x,32,即x2 3,fx fx 2 x3242 x324又fx是以 2 为周期的周期函数,于是当x,1 2,即3x有fx fx4 fx 2x43242 x1 24 1x2 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fx 2 x124 1x2 .4、判定函数奇偶性例 6. 已知 f

16、x 的周期为 4,且等式 f 2 x f 2 x 对任意 x R 均成立,判定函数 f x 的奇偶性 . 解：由 f x 的周期为 4,得 f x f 4 x ,由 f 2 x f 2 x 得f x f 4 x ,f x f x , 故 f x 为偶函数 . 5、确定函数图象与 x 轴交点的个数例 7. 设函数 f x 对任意实数 x 满意 f 2 x f 2 x ,f 7 x f 7 x 且 f 0 ,0 判定函数 f x 图象在区间 30 , 30 上与 x 轴至少有多少个交点 . 解：由题设知函数 f x 图象关于直线 x 2 和 x 7 对称,又由函数的性质得f x 是以 10 为周期

17、的函数 . 在一个周期区间 ,0 10 上,f 0 ,0 f 4 f 2 2 f 2 2 f 0 0 且 f x 不能恒为零 ,故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 . 而区间 30 , 30 有 6 个周期,故在闭区间 30 , 30 上 f x 图象与 x 轴至少有 13 个交点 . 6、在数列中的应用名师归纳总结 a 1例 8. 在数列an中,a 13,a nn11a n1 n2 ,求数列的通项公式,并运算第 7 页,共 10 页1a n1a 5a9a 1997.2 思路类似 . tg分析：此题的思路与例tg41a 11解：令a 1tg,就a 21a 11tga 31a21tg4

18、tg21a21tg4tgn1 44an1,于是aan1tgn1 41an1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 不难用归纳法证明数列的通项为：a ntg4n4,且以 4 为周期 . 于是有 1,5,9 1997 是以 4 为公差的等差数列,a 1a 5a 9a 1997,由19971n.314得总项数为500 项,a 1a 5a 9a 1997500a 15007、在二项式中的应用例 9. 今日是星期三,试求今日后的第9292天是星期几？. 分析：转化为二项式的绽开式后,利用一周为七天这个循环数来进行运算即可解：9292 91192C091 92C 92

19、191 91C9091 2C 92 91911929292 92 7131 92C0713 92C 92 1713 91C 92 90713 292C91 713 192由于绽开式中前92 项中均有 7 这个因子,最终一项为1,即为余数,故9292天为星期四 . 8、复数中的应用n z例 10. （上海市1994 年高考题）设z1. 3 2i i是虚数单位,就满意等式2,z且大于 1 的正整数 n 中最小的是N,；（D）7. （A） 3 ；（ B）4 ；（C）6 分析：运用z13i方幂的周期性求值即可22解：znz ,z zn110zn11,z3,1n1 必需是3 的倍数, 即n13 k kn

20、3 k1kN.k1 时,n 最小 , nmin4 . 故挑选B 9、解“ 立几” 题名师归纳总结 例 11.ABCDA 1B 1C 1D 1是单位长方体,黑白二蚁都从点A 动身,沿棱向前爬行,每走第 8 页,共 10 页一条棱称为“ 走完一段” ；白蚁爬行的路线是AA 1A 1D 1,黑蚁爬行的路线是ABBB 1.它们都遵循如下规章：所爬行的第i2段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中iN. 设黑白二蚁走完第1990 段后,各停止在正方体的某个顶点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 处,这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）2 ；（ C）3；（D）

21、0. 解：依条件列出白蚁的路线 AA 1 A 1 D 1 D 1 C 1 C 1 C CBBA AA 1 , 立刻可以发觉白蚁走完六段后又回到了 A 点 . 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判定每六段是一个周期 . 1990=6 331 4,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难运算出在走完四段后黑蚁在 D 点,白蚁在 C点,故所求距离是 2 .例题与应用例 1：fx 是 R上的奇函数fx= fx+4 ,x0 ,2 时 fx=x,求 f2007 的值例 2：已知 fx 是定义在 R上的函数,且满意 fx+21fx=1+fx, f1=2 ,求f2022 的值 ；故 f2

22、022= f251 8+1=f1=2 例 3：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 2 , 0 时, fx= 2x+1,就当 x ,4 6 时求 fx 的解读式1例 4：已知 fx 是定义在 R上的函数,且满意 fx+999=, f999+x=f999f x x , 试判定函数 fx 的奇偶性 . 例 5：已知 fx 是定义在 R上的偶函数, fx= f4-x,且当 x 2 , 0 时, fx 是减函数,求证当 x ,4 6 时 fx 为增函数例 6：fx 满意 fx =-f6-x,fx= f2-x,如 fa =-f2000,a5 ,9 且fx 在5 ,9 上单调

23、. 求 a 的值 . 例 7：已知 fx 是定义在 R上的函数, fx= f4x ,f7+x= f7x,f0=0,求在区间 1000,1000 上 fx=0 至少有几个根？解：依题意 fx 关于 x=2,x=7 对称,类比命题 2（2）可知 fx 的一个周期是 10 故 fx+10=fx f10=f0=0 又 f4=f0=0 即在区间 0 ,10 上,方程 fx=0 至少两个根又 fx 是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程 fx=0在区间 1000,1000 上至少有 1+22000=401 个根 . 10例 1、 函数 yfx 是定义在实数集 R上的函数,那么yfx 4

24、与 yf6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1,0）对称名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：据复合函数的对称性知函数 y fx 4 与 yf6 x 之间关于 点（ 64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D；（原卷错选为 C）例 2、 设 fx 是定义在 R上的偶函数,其图象关于 是周期函数；（ 2001年理工类第 22 题）x1 对称,证明 fx例 3、 设 fx 是（,）上的奇函数,fx 2 fx ,当0x1 时 fx x,就

25、 f7.5等于（ -0.5 ）（1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 fx 是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20x f20 x ,就 fx 是（ C ）A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数六、巩固练习1、函数 y fx 是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 yf6 x 的图象（）；A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称D关于点（ 1,0）对称2、设 fx 是（,）上的奇函数,fx 2 fx,当 0x1 时,fx x,就 f7.5=（）；A 0.5 B 0.5 C1.5 D 1.5 3、设 fx 是定义在（,）上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx 是（）；A偶函数,又是周期函数 C奇函数,又是周期函数B偶函数,但不是周期函数 D奇函数,但不是周期函数4、fx是定义在 R上的偶函数,图象关于x1 对称,证明fx 是周期函数；参考答案： D,B,C,T2；名师归纳总结 5、在数列 中,已知x 1x 21,x n2x n1x nN*,求x 100=-1 第 10 页,共 10 页- - - - - - -