2022年经济数学基础4 .docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 微分学部分综合练习 一、 单项挑选题1 函数yx1的定义域是（ D）且x0lg xAx1Bx0Cx0Dx12 以下各函数对中,（ D）中的两个函数相等Afx x2,gxx Bfx xx21,gxx+ 1 x1Cyln x 2,gx2lnx Dfx sin2cos 2x,g x 13设fx1,就ffx（C）xA1 Bx1 C x Dx2x24 以下函数中为奇函数的是（ C）Ayx2xByexexCylnx1Dyxsinxx15 已知fxxx1,当（A）时,fx为无穷小量 . tanA. x0 B. x1C. x D. x6 当 x时,以下变量

2、为无穷小量的是（D）Ax21 Bln1x Ce1 x Dsinxxx7 函数f x sinx,x0在 x = 0 处连续,就 k = C xk,x0A-2 B-1 C1 D2 8 曲线y11在点（ 0, 1）处的切线斜率为（ A）11 3xA1 B21 C22131 D2xx9 曲线ysinx在点 0, 0处的切线方程为（ A）1 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A. y = x B. y = 2xC. y = 1 x D. y = -x 210设 ylg2x,就 d y（ B）Ep=（B）A1 2

3、 xd x Bx1dx Cln10 xd D1 d xxln1011以下函数在指定区间,上单调增加的是（ B）Asinx Be x Cx 2 D3 - x 12设需求量 q 对价格 p 的函数为q p32p,就需求弹性为A3pp B32pp C32p D32p2pp二、填空题1 函数fx x22,05xx20的定义域是5,2x0x,12 函数fxlnx5 1x的定义域是 -5, 2 23 如函数fx1x22x5,就fx x264 设fx 10x10x,就函数的图形关于对称Y 轴25lim xxsinx.1x6 已知fx 1sinx,当时,f x 为无穷小量x7. 曲线 yx 在点1 ,1 处的

4、切线斜率是y10.5留意：肯定要会求曲线的切线斜率和切线方程,记住点斜式直线方程yy 0fx 0xx 0ep,就需求弹性为 Epp8 函数 y3 x1 2的驻点是 .x=19. 需求量 q 对价格 p的函数为q p100222 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三、运算题（通过以下各题的运算要娴熟把握导数基本公式及复合函数求导法就；这是考试的 10 分类型题）1已知 y2xcosx,求yxxx解：y 2xcosxx 2 ln 2xsinxcosxx 2 ln 2xsinx2cosxx2x2已知f x

5、2 sinxlnx ,求f x 解fx2xln2sinx2xcosx1x3已知ycos2xsinx2,求yx解yxsin2x2xcosx2 x22xsin2xln22xcosx24已知yln3xe5x,求y x 解：yx 3 ln2x lnx e5x5 x 3ln2x5e5xx5已知y52cosx,求y；2解： 由于y 52cosx52cosxln5 2cosx 2sinx 52cosxln5所以y2sin52cosln52ln52226设ycos e2xxx,求dy解： 由于y2 ecos2xsin2x3x1所以d y2 ecos2xsin2x3x1dx22227设ysin ex5 cosx

6、,求d 解： 由于ysin exsinx 54 cosx cosx esinxcosx54 cosxsinx所以d ysin excosx54 cosxsinx d x8设ytanx32x,求d 解： 由于y1x3x32xln2 x3x232xln22 coscos2x3 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以d y3x232xln2dxcos2x四、应用题（以下的应用题必需娴熟把握；这是考试的20 分类型题）x26x1设生产某种产品x个单位时的成本函数为：Cx1000 . 25（万元） , 求：（

7、1）当x10时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时,平均成本最小？解（1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：Cx1000 . 25 x26 xCx1000 .25x6,Cx05.x6x20 时,x所以,C 10 1000 . 2510 2610185C 101000 .25106185.,C 1005.1061110（2）令Cx 1000.250,得x20（x20舍去）x2由于x20是其在定义域内唯独驻点,且该问题的确存在最小值,所以当平均成本最小 . 2某厂生产一批产品,其固定成本为 2022 元,每生产一吨产品的成本为 60 元,对这种产品的市场需求规律为 q 1000

8、 10 p（q为需求量,p为价格）试求：（1）成本函数,收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？解（1）成本函数 C q = 60 q +20221由于 q 1000 10 p,即 p 100 q,10所以收入函数 R q = p q =100 10 q q =100 1q10 1q 2（2）利润函数 L q = R q -C q =100 q 1 q - 60q +2022 = 40q -1 q -2022 210 10且 L q =40q-1 q -2022 =40- 0.2q 210令 L q = 0,即 40- 0.2q = 0,得 q = 200,它是 L q 在其定义域内的唯独驻点

9、4 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以, q = 200是利润函数 L q 的最大值点,即当产量为200吨时利润最大3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为Cq = 20+4q+0.01q2（元）,单位销售价格为 p = 14-0.01q（元 /件）,试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？解（1）由已知Rqpq 14.0 01 q014 q.001 q2q200 . 02 q2利润函数LRC14 q0 . 01 q2204 q0 . 01 q210 q就L100.04q,

10、令L100. 04q,解出唯独驻点250. 由于利润函数存在着最大值,所以当产量为（2）最大利润为250 件时可使利润达到最大,L250 10250200 . 02250 225002012501230（元）9800（元） .4某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为Cq5.0q236q为使平均成本最低,每天产量应为多少？此时,每件产品平均成本为多少？解由于 C q C q 0.5 q 36 9800 q 0q q9800 9800C 0.5 q 36 0.5 2q q9800令 C q 0,即 0 5q 2 =0,得 q1=140, q2 = -140（舍去） . q1=140 是 C q 在

11、其定义域内的唯独驻点,且该问题的确存在最小值 . 所以 q1=140 是平均成本函数 C q 的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140 件. 此时的平均成本为 C 140 0.5 140 36 9800176（元）1402q5已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q 250 20 q10（万元）问：要使平均成本最少,应生产多少件产品？解由于 C q =C q = 250q q20q , C q = 1025020q=2501q10q210令 C q =0,即25010,得q 150, q2 =-50（舍去）,q2105 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共

12、 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - q1=50 是 C q 在其定义域内的唯独驻点所以, q1=50 是 C q 的最小值点,即要使平均成本最少,应生产 50 件产品经济数学基础12期末复习二考核方式： 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合,成果由形成性 考核作业成果和期末考试成果两部分组成,其中形成性考核作业成果占考核成绩的 30%,期末考试成果占考核成果的70%课程考核成果满分100 分,60 分以上为合格,可以获得课程学分试卷类型： 试卷类型分为单项挑选题、填空题和解答题三种题型分数的百分 比为：单挑选题 15%,填空题 15,解答题 70内容比例：

13、微积分占 58%,线性代数占 42% 考核形式 ：期末考试采纳闭卷笔试形式,卷面满分为 100 分考试时间： 90 分钟复习建议：（1）重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题 基本一样,只是删去了部分非考试重点内容,把这部分内容把握了,考试就没有问 题）（2）模拟试卷（在考试指南栏目中）（3）虽然试卷中给出了积分公式,但要在复习时通过文本中的练习题有意识的记记,要把公式中的x 念成 u,并留意幂函数有两个特例（1dx2xC,1dx1C）当公式记,考试时才能尽快找到公式并熟x2 xx练应用；积分的运算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积 分公式）；积分学

14、部分考核要求第 1 章 不定积分 1懂得原函数与不定积分概念；6 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （1）如函数Fx的导数等于f x,即Fxfx,就称函数Fx是f x 的原函数；f（2）原函数的全体Fxc（其中 c是任意常数）称为f x的不定积分,记为xdx=Fxc；（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系 不定积分与导数（微分）之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它本身；先求导,再积分,等于函数加上一个任意常数,即ffxdx=f x,dfxdx =fxd x, c,dfxxdxfxfxc2娴熟把

15、握不定积分的运算方法；（1）第一换元积分法（凑微分法）（2）分部积分法 第 2 章 定积分 1明白定积分的概念,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区分不定积分与定积分之间的关系；定积分的结果是一个数,而不定积分的 结果是一个表达式；如 f 是奇函数,就有af x dx0a2娴熟把握定积分的运算方法； 3会求简洁的无穷限积分；第 3 章积分应用娴熟把握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；积分学部分综合练习一、 单项题 1 以下等式不成立的是（） 正确答案： DAe x xdx deBsinx dxdcos x1C1xdx Dlnx dxd2xx7 / 19 _精品资料_

16、- - - - - - -第 7 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - x2 如fx d x1e2c,就f x =（）. 正确答案： Dx1exx1exA.eC.D.e2 B.222244留意：主要考察原函数和二阶导数3 以下不定积分中,常用分部积分法运算的是（）正确答案： CAc os2 x 1d x Bx 1 x 2d xxCx sin 2 x d x D2 d x1 x1 14. 如 f x e x d x e x c,就 f x =（）正确答案： CA1 B -1 C12 D-12x x x x5. 如 F x 是 f x 的一个原函数,就以下等式成立的

17、是 正确答案： Bx xAa f x d x F x Ba f x d x F x F a b bCa F x d x f b f a Da f x d x F b F a 6 以下定积分中积分值为0 的是（） 正确答案： AA1ex2exdxB1ex2exd xxd x11Cx3cosx d xDx2sin7 以下定积分运算正确选项（）正确答案： D0A11 2 x d x2B16d x151C2sinxdx0Dsinx d x28 以下无穷积分中收敛的是（）正确答案： C31d xA1lnx d x B0exd x C11 2d xxD1x9 无穷限积分11 3dxx=（） 正确答案： C

18、8 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A0 B1 C21 D. 2二、 填空题1dex dx 应当填写：ex d x留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算,肯定要留意是先积分后求导（微分）仍是先求导（微分）后积分；2 函数fxsin2x的原函数是 应当填写： -1 cos2x + c 23 如fx存在且连续,就d fx 应当填写：f x留意：此题是先微分再积分最终在求导；4 如 f x d x x 1 2 c,就 f x .应当填写：2 x 1 5 如 f x d x F x c,就 e

19、xf e xd x =.应当填写：F e x cx x留意：f F C , 凑微分 e dx de6d dx 1 eln x 21 dx . 应当填写： 0 留意：定积分的结果是“ 数值” ,而常数的导数为 0 7 积分 11 x 2 x1 2 d x 应当填写： 0 留意：奇函数在对称区间的定积分为 0 8 无穷积分 0 x 11 2d x 是 应当填写：收敛的由于0 x 11 2 dxx 11 0 1三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握；这是考试的 10 分类型题）2 21x 4d x 解：x 4d x = x 2d x = 1x 22 x cx 2 x 2 22 运算 sin2 1x d

20、 x 解：sin2 1x d x sin 1 d 1 cos 1 cx x x x x3 运算 2 x d x 解：2 xd x2 2 xd x 22 xcx x ln 29 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 4 运算xsinxd x解：xsinx dxxcosxcosx d xxcos xsinxc5 运算x1lnx dxx12dx =1x22x lnxx2xc=2311解：x1lnx dx=1x12lnx122x24112e1d1e12ee16运算2exdx解：2exd x=xx21x21x21x

21、1lnxe 272 ex11lnxd x解：e 2x11lnxd x=e 211xd1lnx =21111ln11=1xsin2x2-12 0sin2xd x =1cos2x2=82xcos2x dx解：2 0xcos2x dx00242e209e1lnx1 d x解 ：e1lnx1 dxxlnx1 e1e1xxd 1x00001 lnx=e1e11x1 d x1=e1x00lne=1 留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1）常见凑微分类型肯定要记住dx1d kxC,xdx1dx2,x e dxdex,1dxd1,1dx2 dx,k2x2xx1dxdlnx ,sinxdxdcos ,cosx

22、dxdsinxx,常考的有三种类型要清晰；bbvduuv dxbudvuv（2）分部积分：b aaaa四、应用题（以下的应用题必需娴熟把握；这是考试的 20 分类型题 ）1投产某产品的固定成本为36万元 ,且边际成本为Cx=2x + 40万元/百台.试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低 .解：当产量由 4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为C6 42 x40 d x=x240x6= 100（万元）410 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 又Cx x

23、 0 Cx dxc0=x240x36 =x4036xxx令 C x 1 36x 2 0, 解得 x 6 . x = 6 是惟一的驻点,而该问题的确存在使平均成本达到最小的值；所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2 已知某产品的边际成本 C x=2（元 /件）,固定成本为 0,边际收益 R x=12-0.02x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件,利润将会发生什么变化？解：由于边际利润Lx RxCx=12- 0.02x2 = 10- 0.02x.令Lx= 0,得 x = 500；x = 500 是惟一驻点,而该问题的确存在最大值所以,当产量为 500 件时,

24、利润最大 . 当产量由 500件增加至 550 件时,利润转变量为L550 10 5000 . 02 x d x 10x.001 x2550 =500 - 525 = - 25 （元）500即利润将削减 25 元. 3 生产某产品的边际成本为C x=8x万元/百台,边际收入为 R x=100- 2x（万元 /百台）,其中 x 为产量,问产量为多少时,利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润有什么变化？解：L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10x令 L x=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 Lx的唯独驻点,该问题的确存在最大 值,故

25、x = 10是 Lx的最大值点,即当产量为10（百台）时,利润最大 .又 L 10 12L x d x 10 12 100 10 x d x 100 x 5 x 2 1210 20即从利润最大时的产量再生产 2 百台,利润将削减 20 万元.4 已知某产品的边际成本为 C q 4 q 3 万元 /百台 , q 为产量 百台 ,固定成本为 18万元 ,求最低平均成本 . 解：由于总成本函数为Cq4q3d q=2q23 q2c3 q18当 q = 0 时,C0= 18,得 c =18；即C q=2 q11 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 19 页_归纳总结汇总_

26、 - - - - - - - - - 又平均成本函数为A qCq 2 q318qq令 A q 2 182 0, 解得 q = 3百台 , 该题的确存在使平均成本最低的产量 .q所以当 q = 3 时,平均成本最低 . 最底平均成本为 A 3 2 3 3 18 9 万元 /百3台 5 设生产某产品的总成本函数为Cx 3x万元 ,其中 x 为产量,单位：百吨销售 x 吨时的边际收入为Rx152x（万元 /百吨）,求： 1 利润最大时的产量；2 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨,利润会发生什么变化？解：1 由于边际成本为 C x 1,边际利润 L x R x C x = 14 2x令 L x

27、 0,得 x= 7 ；由该题实际意义可知, x= 7 为利润函数 Lx的极大值点,也是最大值点 . 因此,当产量为 7 百吨时利润最大 .2 当产量由 7百吨增加至 8 百吨时,利润转变量为L8 7 142 x d x 14 x2 x8= - 17（万元）即利润将削减 1 万元 .一、 单项挑选题1 设 A 为32矩阵, B 为23矩阵,就以下运算中（）可以进行 .正确答案： A AAB BAB T CA+B DBA T2 设A,B为同阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（T）正确答案： B A. AB TATBTB.ABTBTATC.T AB1A1BT1D.ABT1A1B1留意：转置矩阵、逆矩阵的

28、性质要记住3 以下结论或等式正确选项（）正确答案： C CA如A,B均为零矩阵,就有ABB如ABAC,且AO,就BOC对角矩阵是对称矩阵 D如AO,BO,就AB4 设 A是可逆矩阵,且AABI ,就 A1（）. 正确答案： C12 / 19 _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 19 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - A. B B. 1B C. IB D. IAB1留意：由于 AI+B=I, 所以 A1I+BATBI（）5 设A 12 ,B13 , I 是单位矩阵,就正确答案： D A132 B12 C22 D23263635250136 设A0013

29、,就 rA =（） 正确答案： C 2413 A4 B3C2D1 13126,就7 设线性方程组AXb的增广矩阵通过初等行变换化为013140002100000此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）正确答案： A A1B2C3D48 线性方程组x 1x 21解的情形是（） 正确答案： A x 1x 20A. 无解B. 只有 0 解C. 有唯独解D. 有无穷多解9设线性方程组A mnXb有无穷多解的充分必要条件是（）正确答案： D ArA rA m BrA n Cmn DrA rA n10. 设线性方程组AXAXO（）b有唯独解,就相应的齐次方程组 A无解 B有非零解 C只有零解 D解不能确定 正确答案： C二、 填空题1如矩阵 A = 12,B = 231,就 A TB= 应当填写：2314622 设A,B均为 n阶矩阵,就等式AB 2A22ABB2成立的充分必要条件是 .应当填写：A,B是可交换矩阵13 / 19 _精品资料_ - -