2022年第十一章曲线积分与曲面积分习题答案 .docx

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1、精品_精品资料_第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1. 利用 Green 公式,运算以下曲线积分：1,其中为正向圆周. 解：由 Green 公式,得,其中为.2,其中为以及为顶点的三角形负向边界. 解：由 Green 公式,得.*3,其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧.解：连直线段 AB ,使 L 与围成的区域为 D,由 Green 公式,得*4,其中为正向圆周.解：由于,.作足够小的圆周:,取逆时针方向,记与 围成的闭区域为,由 Green 公式,得,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 运算以下对坐标的曲线积分：,其中为曲线上由

2、点到点的一段弧.解：,故积分与路径无关,取经 x 轴到点的一条路径, 从而原式 =.*3 设函数具有一阶连续导数,证明对任何光滑封闭曲线,有.证 明 ：, 记L围 成 的 闭 区 域 为D,由Green公 式 , 得.第四节 对面积的曲面积分1. 填空题：1 设为球面,就.2 面密度的光滑曲面的质量.2. 运算以下对面积的曲面积分：1,其中为平面在第一卦限的部分. 解：,2,其中为的部分.解：,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*3,其中为解：, 其中,.围成四周体的整个边界 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第七节 Stokes公式 * 环流量与旋度1利用斯托克

3、斯公式运算以下曲线积分：1,为面内圆周逆时针方向.解：取为平面的下侧被围成的部分, D 为在面上的投影区域.由 Stokes 公式,得2,为平面在第一卦限部分三角形的边界,从轴正向看去是逆时针方向.解：取为平面的上侧被围成的部分,的单位法向量. 由 Stokes 公式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十一章综合练习题1. 填空题：1已知为椭圆,其周长为,就12a.2 已知为直线上从点到点的直线段,就1.3 设是以点,为顶点的三角形正向边界,就0.4 曲线积分与路径无关,就可微函数应满意条件.*5 设为平面在第一卦限的部分,取上侧,就0.2. 求以下曲线积分：1,其中为球面被

4、平面所截得的圆周.解：在的方程中,由于 x, y, z 循环对称,故,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*2,其中是以为圆心,为半径的正向圆周.解：,.作足够小的椭圆,取顺时针方向,由格林公式, 得.所以*3 在 过 点和的 曲 线 族中 , 求 一 条 曲 线, 使 该 曲 线 从到积 分的值最小 .解：令,就.所以所以得驻点.又,故在取得最小值,从而为.*4 设曲线积分与路径无关 , 其中具有连续的导数 , 且,运算.解：,由于积分与路径无关,所以,即,从而. 由,知,所以. 于是.5运算以下曲面积分：1,其中为圆柱面介于与之间的部分. 解：在的方程中,由于 x 与 y

5、循环对称,故,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*2,其中为下半球面的上侧.解：设平面,取下侧.和围成的下半球体为.由格林公式得：近三年考研真题2022 年） 1. 设,为四条逆时针方向的平面曲线,记,就）CD ）2022 年） 2. 设,就2022 年） 3. 设 L 是柱面方程与平面的交线,从 z 轴正憧憬 z 轴负向看去为逆时针方向,就曲线积分2022 年） 4. 已知 L 是第一象限中从点0 ,0）沿圆周到点 2,0）,再沿圆周到点0, 2）的曲线段,运算曲线积分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_近三年考研真题解读2022 年） 1.解读： 由格林公式：,在内,因此.而在在外,因此.可得. 利用极坐标分别运算出和）2022 年） 2.解读： 由曲面积分的运算公式可知：,其中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故原式 =.2022 年） 3.解读：由斯托克斯公式得：2022 年） 4.解读： 设圆为,圆为,所补的直线为,由格林公式得：原式可编辑资料 - - - 欢迎下载