2022年线性代数重点总结 .docx

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1、精品_精品资料_A不行逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r AAAxn有非零解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0是A的特点值A的列（行）向量线性相关A可逆 r AnAx0只有零解A的特点值全不为零AA的列（行）向量线性无关AT A是正定矩阵A与同阶单位阵等价Ap1 p2ps , pi 是初等阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R n , Ax总有唯独解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量组等价相像矩阵矩阵合同具有反身性、对称性、传递性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 关

2、于 e1 ,e2, en ：称为n 的标准基,n 中的自然基,单位坐标向量. e1 ,e2, en 线性无关. e1, e2 , en1. tr E =n .任意一个 n 维向量都可以用 e1, e2 , en 线性表示 . 行列式的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 A与B 都是方阵（不必同阶） , 就AAABBBA B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1mn A BB上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于副对角线：a2n 1a1 na2n 1

3、a1n 1n n 12a1na2nan1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an1an1 逆矩阵的求法 : A 1A A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A E初等行变换 E A 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1TTab1dbABACT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cdadbccaCDBTD T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11a1a11a2a2aan1n11a1ana21a2aan11可编辑资料 - - - 欢迎

4、下载精品_精品资料_A1A 1A1A 1111n1A2A2A2A12AA 1AA 1nnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 方阵的幂的性质：Am AnAm n Am n Amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 fxa xmaxm 1a xa ,对 n 阶矩阵 A 规定：f Aa AmaAm 1a Aa E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm110mm110为 A的一个多项式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 Am n , Bn s ,A 的 列 向 量 为 1,2,n ,

5、B 的 列 向 量 为 1 ,2 ,s , AB 的 列 向 量 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1, r2,rs,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就： riA i ,i1,2, s,即 A 1,2 ,s A1, A2 , A s 用A, B中简可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T如b1, b2, bn , 就Ab1 1b22bnn单的一个提可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即： AB的第i个列向量 ri是A的列向量的线性组合AB的第i

6、个行向量 ri 是B的行向量的线性组合,组合系数就是,组合系数就是i的各重量.高运算速度i的各重量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量. 用对角矩阵右乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,A11B11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与分块对角阵相乘类似 , 即： AA22B22, B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

7、_精品资料_A11B11ABA22 B22AkkBkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Akk Bkk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 矩阵方程的解法：设法化成IAXB或IIXAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 A0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(I) 的解法：构造 A B初等行变换 E X （当B为一列时 ,即为克莱姆法就）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(II) 的解法：将等式两边转置化为AT X TBT,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

8、用I 的方法求出 X T,再转置得 X可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Ax和 Bx同解（A, B 列向量个数相同） , 就： 它们的极大无关组相对应 , 从而秩相等. 它们对应的部分组有一样的线性相关性. 它们有相同的内在线性关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 判定 1,2 ,s 是 Ax0 的基础解系的条件：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2,s 线性无关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2,s 是 Ax0 的解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sn

9、r A每个解向量中自由变量的个数. 零向量是任何向量的线性组合 , 零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关.单个非零向量线性无关. 部分相关 , 整体必相关.整体无关 , 部分必无关 . 原向量组无关 , 接长向量组无关.接长向量组相关 , 原向量组相关 . 两个向量线性相关对应元素成比例.两两正交的非零向量组线性无关. 向量组1,2,n 中任一向量 i 1 i n 都是此向量组的线性组合 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 向量组1,2,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1 个向量线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

10、- - 欢迎下载精品_精品资料_向量组1,2,n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余 n1个向量线性表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 维列向量组1,2,n 线性相关r An.m 维列向量组1,2,n 线性无关r An.r A0A.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 1,2 ,n 线性无关,而 1,2 ,n ,线性相关 , 就 可由 1,2 ,n 线性表示 , 且表示法惟可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一.矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩 .阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 .矩阵的行初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变列向

11、量间的线性关系矩阵的列初等变换不转变矩阵的秩 , 且不转变行向量间的线性关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量组等价1,2 ,n 和 1 ,2 ,n 可以相互线性表示 .记作：1,2,n1,2 ,n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .记作： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.矩阵 A与 B 等价r Ar BA, B 作为向量组等价 , 即：秩相等的向量组不肯定等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵 A与 B 作为向量组等价r 1,2

12、,nr 1,2,nr 1,2,n,1 ,2 ,n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵 A与 B 等价.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r 1,2,n,1,2 ,s r 1,2,nr 1 ,2 ,s r 1,2,n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示 , 且sn ,就 1,2 ,s 线性相关 .可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量组1,2,s 线性无关 , 且可由1,2 ,n 线性表示 , 就s n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.向量组1,2,s 可由向量组 1,2,n 线性表示 , 且r 1,2,s r 1,2,n , 就两向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_量组等价.任一向量组和它的极大无关组等价 .向量组的任意两个极大无关组等价 , 且这两个组所含向量的个数相等 .如两个线性无关的向量组等价 , 就它们包含的向量个数相等 .可编辑资料 -

14、- - 欢迎下载精品_精品资料_.如 A是mn 矩阵, 就 r Aminm, n , 如r Am, A 的行向量线性无关.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如r An , A 的列向量线性无关 , 即：1,2,n 线性无关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组的矩阵式Ax向量式x11x22xnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a11 a21Aam1a12 a22am2a1nx1b1a2nx2b2, x,amnxnbm1 j2 jj, jmj1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

15、资料_学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax有无穷多解nAx有非零解当A为方阵时A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2,n线性相关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可由1 ,2,n线性表示Ax有解r Ar AAx有唯独组解Ax只有零解当A为方阵时A0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1,2 ,n线性无关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当A为方阵时克莱姆法就

16、r Ar A不行由 1 ,2 ,n线性表示Ax无解r Ar Ar A1r A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵转置的性质： AT TA ABTBT ATkATkATATA ABTATBT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_矩阵可逆的性质： A 1 1A AB 1B 1 A 1kA 1k 1 A 1A 1A 1 A 1T AT 1 A 1 k Ak 1A k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相伴矩阵的性质： A n 2AA ABB AkAk n 1 An 1

17、 AAAA1 A 1A A k Ak AAA AA E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如r An AT A Tkr A 1如r An1ABA BkAkn A0如r An1kAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11,2 是Ax0的解 ,12也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2是Ax0的解, 对任意k, k也是它的解齐次方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31,2,k是Ax0的解, 对任意k个常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,2 ,k , 1 122kk

18、也是它的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线性方程组解的性质：4是Ax的解,是其导出组 Ax0的解 ,是Ax的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_51,2是Ax的两个解 ,12 是其导出组 Ax0的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_62是Ax的解,就1也是它的解12是其导出组 Ax0的解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_71,2,k 是Ax的解,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1221 122kk也是Axkk是Ax的解

19、0的解12k112k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 设 A为mn 矩阵, 如 r Am, 就 r Ar A , 从而 Ax肯定有解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 mn 时, 肯定不是唯独解 .方程个数未知数的个数向量维数向量个数, 就该向量组线性相关 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 是r A和r A 的上限. 矩阵的秩的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ r Ar AT r AT A可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品_精品资料_ r AB r Ar B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ r AB minr A, r B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ r kAr A 如k00如k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ rAr A Br B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如A0, 就r A 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如Am n , Bn s, 且r AB0, 就r Ar B n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如P,Q可逆 , 就r PAr AQr A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如A可逆 ,就r ABr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如B可逆 , 就r AB r A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如r An, 就r ABr B, 且 A在矩阵乘法中有左消去律 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB0BABACBC标准正交基 n 个n 维线性无关的向量 , 两两正交 , 每个向量长度为 1.与 正交,0 .是单位向量,1. 内积的

22、性质： 正定性： ,0,且,0 对称性： ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 双线性： ,12 ,1,2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 12 ,1,2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c,c, c施密特1,2 ,3 线性无关 ,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正交化2,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221 1 13 ,1 3,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3311 1222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123单位化

23、： 123123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正交矩阵AATE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A是正交矩阵的充要条件： A的 n 个行（列）向量构成n 的一组标准正交基 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 正交矩阵的性质：ATA 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AATAT AE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A是正交阵 , 就AT （或A 1 ）也是正交阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 两个正交阵之积仍是正交阵.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 正交阵的行列式

24、等于1 或-1.A的特点矩阵EA .A的特点多项式EAf .A的特点方程EA0 .AxxAx与x线性相关 上三角阵、下三角阵、对角阵的特点值就是主对角线上的n 各元素.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 A0 , 就0 为 A的特点值 , 且 Ax0 的基础解系即为属于0 的线性无关的特点向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A12nnitr A1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 r A1 , 就 A 肯定可分解为 A = a22b ,b ,b、Aa ba ba b A , 从而 A可

25、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n1 12 2n nan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的特点值为： 1tr Aa1b1a2b2anbn ,23n0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 A的全部特点值 1 ,2 ,n ,f x 是多项式 , 就:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f A 的全部特点值为f 1, f 2 , f n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当

26、A可逆时,A 1 的全部特点值为1 , 1 , 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12nAAAA 的全部特点值为,.12nkAkaAbEab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是A的特点值A 1,就:21分别有特点值2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AmmAAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kAkaAbEab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x是A关于 的特点向量,就x也是A 12关于A12的特点向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mmAAA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A

27、与 B 相像BP 1AP（ P 为可逆阵）记为： AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A 相像于对角阵的充要条件： A 恰有n 个线性无关的特点向量 .这时, P 为 A 的特点向量拼成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的矩阵,P 1 AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为 A 的特点值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A可对角化的充要条件：nr i EAkiki 为 i 的重数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 n 阶矩阵 A有n 个互异的特点值 , 就 A与对角阵相像 .

28、1A与 B 正交相像BPAP（ P 为正交矩阵）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 相像矩阵的性质：A 1B 1如 A, B 均可逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ATBT可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AkBk（ k 为整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EAEB , 从而 A, B 有相同的特点值 , 但特点向量不肯定相同 .10即: x 是 A 关于 0 的特点向量 , Px 是 B 关于的特点向量 .AB从而 A, B 同时可逆或不行逆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ r Ar B可编辑资料 - - -

29、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tr Atr B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 数量矩阵只与自己相像 . 对称矩阵的性质： 特点值全是实数 , 特点向量是实向量. 与对角矩阵合同. 不同特点值的特点向量必定正交. k 重特点值必定有 k 个线性无关的特点向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 必可用正交矩阵相像对角化（肯定有n 个线性无关的特点向量 , A 可能有重的特点值 , 重数= nr EA ）.A可以相像对角化A 与对角阵相像.记为： A（称 是 A的相像标准型） 如 A为可对角化矩阵 , 就其非零特点值的个

30、数（重数重复运算）r A . 设 i 为对应于i 的线性无关的特点向量 , 就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1,2 ,n A1, A2, An11 ,2 2 ,nn 121,2 ,n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Pn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 AB ,CD , 就：AB. CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n 如 AB , 就f Af B ,f Af B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次型f x1, x2 , xnX T AXA为对称矩阵X x , x , x T可编辑资料 -