2022年高等数学函数与极限.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关学问）（）邻域（去心邻域） （ ）Ua,x | xaUa,x |0xa其次节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函 数 f函 数 fx 无穷小x 无穷大lim fx0 lim fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_无穷小与无穷大的相关定理与推论（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（定理三）假设fx 为有界函数,g x 为无穷小,就limfxgx0可编辑资料 - - - 欢迎

2、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（定理四） 在自变量的某个变化过程中,如 fx 为无穷大, 就 f1x 为无穷小. 反之,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 fx为无穷小,且fx0 ,就f1 x为无穷大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】运算：limxx0fxgx（或 x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx M 函数fx在 xx0 的任一去心邻域U x0 ,内是有界的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、_精品资料_（fx M , 函数fx在 xD 上有界.）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 lim g x0 即函数g x 是 xx0 时的无穷小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ lim g xx0 即函数g x 是 x时的无穷小. ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由定理可知limxx 0fxgx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ limxf xgx0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第三节极限运算法就

4、极限的四就运算法就（）（定理一）加减法就（定理二）乘除法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_关于多项式px 、 q x商式的极限运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mp xa0 x1mn设：a xm 1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_q xb0 xb xn 1b1nnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 limp xxq xa0 nmb00nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

5、料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxlimxx0 gxf x0g x00g x0gx000, fx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0gx0fx00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（特殊的,当fxlimxx0 gx0（不定型）时,通常分子分母约去公因式即

6、约去可去间断0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点便可求解出极限值,也可以用罗比达法就求解）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值limx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】解：因为x3,从而可得x3,所以原式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limx3limx3lim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x29x3x3x3x3 x36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 x3 为函数fxx3x29的可去间断点可编辑资料

7、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如果运用罗比达法就求解（详见第三章其次节）：0x3 0x311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： lim2limlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 x9 L x3x29x3 2x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（定理五） 如函数fx 是定义域上的连续函数,那么, limxx 0fxflimxxx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值

8、：limx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】limx3x2x39limx316可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3x29x3 x2966可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四节极限存在准就及两个重要极限夹逼准就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一个重要极限：limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0, sin xxtan x limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1lim1x0x可编辑资料 - - - 欢

9、迎下载精品_精品资料_limlimx01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sin xx0 sin xlimsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（特殊的,limxx0sin xx0 1 ） xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调有界收敛准就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结

10、归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次个重要极限：xlim11exx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一般的,g xlimfxlim fxlim g x,其中lim fx0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：【求解示例】x 1lim2 x3x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：limx 12x3limx 12 x12x 1lim12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x1x2x12x 12x1

11、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 122 xx 112 x 1 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim1222x 1lim122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 12 x12 x 12 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 1lim2x 12x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lim1lim2 x 1ex 12 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x 12 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

12、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lime2 x 12 x 22 x 1e1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五节无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_U sin U1U tan U arcsin U arctan U ln1U 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1U 2 12cosU可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（乘除可替,加减不行）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：limln 1xx l

13、n 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】x0x23x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 x0, 即x0,所以原式limln 1xx ln 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim 1xln 1xlim 1xx 0xlim xx3x211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0x x3x 0 x x3x 0 x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第六节函数的连续性函数连续的定义（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limfxxx0limxx0fxfx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精

14、品_精品资料_间断点的分类（） 第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）（特殊的, 可去间断点能在分式中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次类间断点无穷间断点（极限为）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_约去相应公因式）【题型示例】设函数fx连续函数？【求解示例】e2 xx,axx0 应当怎样挑选数a ,使得0fx成为在 R 上的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 -

15、- - - - - - - - -第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 01f0eee可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f0f0a0a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由连续函数定义limfxlimfxf0e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0 ae第七节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】证明：方程fxgxC 至少有一个根介于a 与 b 之间【证明示例】1（建立帮助函数）函数x

16、fxgxC 在闭区间a, b 上连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ab0（端点异号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 由 零 点 定 理 , 在 开 区 间a, b内 至 少 有 一 点, 使 得0 , 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fgC0 （ 01）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4这等式说明方程fxgxC 在开区间导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（）a, b内至少有一个根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】已知函数fxex1, x0 在 x0 处可导,求a , b可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】1f0f0e01f0,af0f0axbx0e01e012be012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由函数可导定义f0f0f0f0a1f0b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a1,b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求yfx 在 xa 处的切线与法线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（或：过yfx 图像上点a, fa处的切线与法线方程）可编辑资料 - - - 欢迎下

18、载精品_精品资料_【求解示例】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 yfx , y|x afa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2切线方程：yfafaxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法线方程：yfa1xa fa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次节函数的和（差） 、积与商的求导法就函数和（差） 、积与商的求导法就（）1线性组合（定理一） ： uvuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,当1 时,有 uv2函数积的求导法就（定理二）： uvuvu vuv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

19、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3函数商的求导法就（定理三）： 第三节反函数和复合函数的求导法就反函数的求导法就（）uu vuv vv2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求函数【求解示例】由题可得f1 xfx的导数为直接函数,其在定于域D上单调、可导,且fx0.可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品_精品资料_f1x1fx复合函数的求导法就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】设【求解示例】ylnearcsinx2 1x2a2,求 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： yearcsin1x 2 1x2a2earcsinx 2 1x2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1arcsin x 2 122earcsinx 2 1x212x2a222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exa1x12xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1arcsin x 2 122earcsinx 2 12x

21、2x212x22x2x2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_exa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_earcsin1x 2 1x2a2earcsinx 2 1xx212x2xx2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四节高阶导数nn 1dn yd n 1 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fxfx（或dxndx n 1）（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求函数yln 1x 的 n 阶导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】y11x

22、11x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y1x211x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y11x3121x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y n1n 1n1；1x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第五节隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导（等式两边对x 求导）（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】试求：方程法线方程yxey 所给定的曲线C ： yy x 在 点1e,1的切线方程与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】由yxey 两边对 x 求导可编辑资料 - - - 欢迎下

23、载精品_精品资料_即 yxey化简得 y1eyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - y111e11e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程：y1法线方程：y11x1e1e1e x1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数方程型函数的求导x【题型示例】设参数方程ytd 2 y,求tdx2dy可编辑资料 - -

24、- 欢迎下载精品_精品资料_【求解示例】 1. dydxtd 2 ydx2.tdx2t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第六节变化率问题举例及相关变化率第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算法就（）dyfxdx中值定理与导数的应用第八节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】现假设函数fx 在0,上连续,在0,上可导,试证明：0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_使 得 fcosfsin0 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【证明示例】1（建立帮助函数）令 xfx sin x明显函数x 在闭区间0,上连续,在开区间0,上可导.

25、2又0f0 sin00fsin即000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3由罗尔定理知0,使得fcosfsin0 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x【证明示例】1 时, exe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（建立帮助函数）令函数fxex ,就对x1 ,明显函数fx 在闭区间1,x上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续,在开区间1,x上可导,并且fxex .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

26、迎下载精品_精品资料_2由拉格朗日中值定理可得,1, x 使得等式 exe1x1 e 成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 ee1 , exe1x1 e1e xe ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得 exe x ,即证得：当x1 时, exex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】证明不等式：当【证明示例】x0 时, ln 1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（建立帮助函数）令函数f xln 1x ,就对x0 ,函数fx 在闭区间0, x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

27、迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -上连续,在开区间0,上可导,并且fx1.1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由拉格朗日中值定理可得,0, x 使得等式立,ln 1xln 101x0成1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简得ln1x1x ,又0, x ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f11 , ln 1x11

28、xx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即证得：当x1 时, exe x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第九节罗比达法就运用罗比达法就进行极限运算的基本步骤（）1 等价无穷小的替换（以简化运算）2判定极限不定型的所属类型及是否满意运用罗比达法就的三个前提条件0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 属 于 两 大 基 本 不 定 型 （,0fxfxl i ml i m） 且 满 足 条 件 ,就 进 行 运 算 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa gxxa gx（再进行1、2 步骤,反复直到结果得出）B 不属于两大基本不定型（转化

29、为基本不定型） 0型（转乘为除,构造分式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：lim xln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0【求解示例】1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：lim xln xlimln xlimln xlimx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0x01L x01x0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx2x1 lim x0a x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一般的,lim xln x0 ,其中,R ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x

30、0型（通分构造分式,观看分母）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：【求解示例】lim11x0sin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：lim1 1limxsin xlimxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin xxx 0xsin xx 0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xsin x1cosx 01cos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limlimlimlim0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2

31、L x0xx02xL x02xx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00 型（对数求极限法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【题型示例】求值：lim xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0【求解示例】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 yxx ,