2022年高等数学知识在生物化学工程中的应用举例 .docx

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1、精品_精品资料_高等数学学问在生物化学工程中的应用举例高等数学是生命科学学院校开设的重要基础课程,数学方法为生物化学的深化讨论进展供应了强有力的工具.下面仅举一些用高等数学基础学问解决生物化学工程中的一些实际问题的例子,旨在启示同学怎样正确懂得和稳固加深所学的学问,并且强化应用数学解决实际问题的意识.例1在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内输送液体,使液体流淌的主要因素有1流体本身的位差. 2两截面间的压强差.3输送机械向流体外作的外功.流淌系统的能量衡量常用柏努利方程式,下面来介绍柏努利方程式.定态流淌时液体的机械能衡量式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

2、精品资料_2g zu 2p2vdpWeh fp11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该式队可压缩液体和不行压缩液体均适用.对不行压缩液体,1式中p2pvdp项应视过程性质等温、绝热可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 多 变 过 程 按 热 力 学 原 就 处 理 , 对 不 可 压 缩 液 体 , 其 比 容 v 或 者 密 度为 常 数 , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p2vdpp1p2dppp1p 2p ,代入 1式有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品_精品资料_u 2pg z2Weh f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或gz11p1u2We22up22gz2hf22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2式称为柏努利方程式.u 2p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_需要注明的是,为动能, gz 为位能,2为静态能,We 为有效能,h f 为能量损耗, z为高度差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2混合气体粘度的运算 常温下混合气体的运算式为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1yii M i2i 1mn13

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yi M i2i 1其中m 为常温下混合气体的粘合度 Pa.s. yi 为纯组分 i 的摩尔分率. i 为混合气体的温度下,纯组分i的粘度 Pa.s. M i 为组分 i 的分子量 Kg/kmol .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：空气组分约为O2 0.21, N 20.78, Ar0.01 均为体积积分率,试利用 O2, N 2, Ar的粘度数量,运算常可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_温下 200 C 时空气的粘度？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：常温下空气可视为抱负气体,故各组分的体积

5、积分率等于摩尔分率,O 2 , N 2, Ar的分子量分别为 32,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28 及 39.9,经查表知道常温下200 C 时各组分的粘度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O22.0310 5 Pas可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N 21.710 5 Pas可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 3式运算空气的粘度,即Ar2.0910 5 Pas可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1yii M i2

6、i 1mn1yi M i2i 1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.212.0310 532 20.7811.710 5128 20.012.09110 539.9 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.7810 5 Pas0.2132 20.782820.0139.9 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 在细胞生长运算中的应用随着细胞的生成繁衍,培育基中的养分物质被消耗,一些有害的代谢产物在培育液中累积起来,细胞的生长速度开头下降,最终细胞浓度不再增加,进入静止期,在静止期细胞的浓度到达最大值.假如细胞的生长速率的下降是由于养分物

7、质的消耗造成的,可以通过以下的分析来统计分批培育可能到达的最大细胞浓度.设限制性基质为A,其浓度为 a,且 A 的消耗速度与细胞浓度成正比：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_adaKX dt4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4式中K a 为常数,假定接种后培育液中细胞浓度为X 0 ,且立刻进入指数生长阶段,且始终保持到静止期,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X mX 0expm t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 X m 为分批培

8、育到达的最大细胞浓度,即A 完全耗尽时细胞浓度,由 3式和 4式可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得a 0aK aX mX 00mK a X mmX 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_也就是说分批培育过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系.假如细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积存,可以认为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dXKXdt1-f 有害物质浓度 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为便利起见,假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系dX可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_KX 1d

9、tbC t 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 k, b 为常数,Ct 为有害物质浓度.由于有害物质有细胞产生,可以认为dC tqX dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t=0 时, Ct =06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式中 q 为常数,由 6式可得ttCqXdt0,代入 5式有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此有效生长速度为dXKX 1dttbqXdt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

10、 - 欢迎下载精品_精品资料_1dXXdtK 1tbqXdt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_随着时间急剧下降,当 1t Xdt时,细胞的生长停止.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bq0例 4细胞团内的氧传递rrdr细胞集成团时,氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗,为便利起见,把细胞团看作一个匀称的耗氧球体,设它的半径为 R,密度为,取其半径为 r,厚度为 dr 的一层球壳进行稳态时的物料衡量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D dCdr4 r 2 |D dCdr4 r 2 |Qo24 r 2dr可编辑

11、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 D 为氧在细胞内的扩散系数, C 为半径 r 处的氧浓度,将上式整理,可得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 dr因此0 时,D d r 2drdC drD r 2r Q2o2dC|r drdrdrr 2 dCdr|r r Q2o2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 2CD 2dr2 dC Qor dr7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程2QoQo Km2m

12、C C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2式中Qom 为最大耗氧速率,K m 为米氏常数,代入 7式中,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d 2C2D2 dC Qo m C8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dr 2r drK mC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界条件为r=R 时, CCLR=0 时, dC0dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取 yC , Xr ,CLRK m代入 8式,有CL可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 a6 R.6CL Dd 2 ydx 22 dyayxdxy9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2Qo m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_边界条件就改为x=1 时, y=1x=0 时, dy1 .dx设细胞团的表现比耗氧速率为 Q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4R3QR 4 rdr 3r 3 2QCdr ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得Q2Qo m31x 2 y30y0 3dx ,omK mC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

14、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9式可写作d x 2 dy dxdxax2 y,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1因此有Q2Qo m3 x 2ady 10dx3 dy | a dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设取细胞团外表的比耗氧速率QQoCL2mK mCLQom21作为比较,就细胞元的耗氧有效因子为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q3 Qa1) dy | dx1 ,a 就反映了细胞团

15、中最大反应速率与最大传输速率之比,反应速率越大, 传递速率越小,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x细胞团内部缺氧就越重,有效因子也就越低.例 5 在中心导体模型中的应用长柱状细胞,如神经轴突和肌纤维细胞,其长度尺寸远大于细胞直径,电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方 向流经一段细胞内介质所代表的中心电阻高出许多,从而细胞流内流淌的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离, 这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础. 假设设 r m 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位长膜电阻,Cm 为单位长膜电容,ri , re分别为胞内、外

16、液单位长介质电阻.令胞内、外电位分别为Vi ,Ve ,于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是膜两侧电位差 VmViVe .经推导可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rmrire2Vm2VmxVmrm Cmt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m令2rm, rirermCm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就得到标准的电缆方程形式：2VVmm22Vmmxt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设细胞膜处于电绝缘状态,单位长度膜面积上的电流Vmmi mdV mdt0 ,即02Vm

17、=0,上式成为一阶常微分方程：x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： VV e t /m ,其中V 为 t=0 时的V值.明显时间常数表征匀称膜电位差的自然衰减性质.对非均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m00mm匀性质莫而言, Vm 的被动衰减较为复杂,m 仅是一个主要衰减因子.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当输入为直流稳态电压时,上式简化为d 2V2mV.假如在x=0 处维护 VV ,其余的方均不加任何电压,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x/dx 2mm0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x处Vm 为有

18、限值,就方程的解为 VmV0e. 描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减.对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 x到 x的双无限长电缆, x=0 处维护 VmV0 稳固值要求外加电流加倍.无限与半无限长电缆上的稳态分布,为实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_验确定细胞参数供应了依据.例 6 在动力学猝灭与静态猝死中的应用激发态分子或荧光团由于加入像I 与O2 等猝死剂,彼此发生碰撞而造成荧光的猝死,又叫做动力学猝死或动态猝灭.这种猝死听从 Stern-Volmer 方程.此方程从荧光量子效率或从激发衰变率都可

19、导出.假设 r 为衰变率, 就其与有猝灭剂时的总衰变率的比值即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FF0rrK q Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或者写成F01K qF0 Q1K dQ10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式中 F0 , F分别为没有和有猝死时的荧光, Q 为猝灭剂的浓度,K q 为双分子猝死常数,0 是荧光团在无猝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_灭剂时的荧光寿命, K d 就是 Stern-Volmer 猝灭常数,这说明

20、荧光团的寿命愈长,它与猝灭剂碰撞的几率.此几可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率就打算于它们的扩散速率、分子大小与浓度等：qK4 aAD /103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D 为荧光团与猝灭剂扩散系数之和, a 为分子半径之和, A 为亚氏常数,测定 K q 可以给出扩散系数的情形.测定 K q 最好用荧光寿命而不用荧光强度, 由于后者可能被其他因素干扰, 其中一种就是下面要表达的静态猝灭.碰撞猝灭可使激发态去布局 depopulation,假设激发态在有和无猝灭剂时的寿命分别为和 0 ,就10r1rK q Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

21、因此,0 /1K q0Q11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此式与 10式相像.它说明动态猝死的一个重要特性, 即荧光强度的降低与荧光寿命的削减是等价的.由于 F0 / F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的测定较便利,通常仍是常用此参量.又由于F0 / F的猝灭剂浓度呈线性关系,所以F0 / F对Q 左图可得到一条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线,其斜率就等于K d 或 K q0 ,从而可得到猝灭常数的数值.Stern-Volmer 的线性关系只适用于溶液中只有一可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品_精品资料_类荧光团的情形,并且它们对猝灭剂易感性是相同的.假设细筒中含有两类荧光团,并且其中只有一类对猝灭剂易感,就用 Stern-Volmer 方程得到的是像 X 轴弯曲的曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_静态猝死是荧光团与猝灭剂在基态时就形成的不发荧光的络合物,当此络合物种荧光团吸取光能激发时, 即刻回到基态而不发光,所以此时荧光强度与猝灭剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数K q 推导出来.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_静态猝灭的方程式与动态猝灭相像,只是在此以K s 代替 K q0 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F01FK s Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设在一溶液中同时存在静态和动态猝死, 这时 S-V 曲线就是向 Y 轴弯曲的曲线. 由于发光的分数 F / F0 是未络合的部分 f 以及未被碰撞猝灭的部分两者的乘积,因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FfF 0rrK q Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 f11K sQ,就：F F01K d Q1K s Q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这个修改过的 Stern-Volmer 方程是Q 的二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载

24、精品_精品资料_F1 K dF0K s Q2K d K s Q 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令就F1K appKQKdK s QKd Ks Q2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_appF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 K app 对Q 作图亦可得到一条直线, 此直线的截距为K dKs ,斜率为K d K s .至于动态部分就可用来测定, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01K d Q .例 7在三维重建中的应用目前用于讨论三维重建的生物原料有单科蛋白、噬菌体、单纯疱疹病毒

25、核衣壳和膜蛋白结晶体,从二维投影到三维重构的方法许多,但最适于TEM 的方法是傅里叶变换,下面分别介绍：(1) 傅里叶变换假设函数 fx 满意傅氏积分定理的要求,就在其连续处有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1a 2aaf xe iax dxei xd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设令F f xe iaax dx频域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就f x1a F ei x d2a空域时域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 F

26、 和 fx 可通过积分相互表达, 称为傅里叶变换对. 假设扩展到三维, F x ,y ,z 和 fx,y,z也一样是傅里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叶变换对.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三维重构的目的是要得到 fx,y,z,如能得到 F x ,y ,z ,就可通过傅氏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变换的到 fx,y,z.电镜的二维图像相当于sx,y通过傅氏变换得到Sx ,y ,假如能在 Sx ,y 和 F x ,y ,z 之间建立联可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,就问题得到解决.(2) 中心界面定理 central

27、slice theorem一个无力二维投影的傅里叶变换严格等于该物体的三维傅里叶变换中与投影方向垂直的通过原点的截面中心界面.这个定理告知我们,二维投影的傅里叶变换是三维傅里叶变换的一个特例.可详细为,假设物体二维投影以下面的函数表示：s x, yf x, y, zdz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令其二傅里叶变换为Sx ,y ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sx ,y s x ,y exp2i xxyy dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

28、_令样品二维像 fx,y,z的三维傅里叶变换为F x ,y ,z ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x ,y ,z f x, y, z exp2 i xxyyzz dxdydz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 z0 时,得到x ,y 轴的傅里叶空间中间界面 F x ,y ,z .依据上等式可得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x ,y ,0f x, y, z exp2 i xxyy dxdy

29、dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 F x ,y ,0 = Sx ,y .s x, y exp2 i xxyy dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这就证明白物体在z 方向的投影的二维傅里叶变换Sx ,y 与其三维像fx,y,z 的三维傅里叶变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F x ,y ,z 在z0 时的截面相等.假如我们能得到各个方向投影的一系列si ,就可以整合出 F.再利用傅里可编辑资

30、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ia叶变换的反变换,就可以从频率域回到空间域重建出样品的三维图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, y, zFx ,y ,z e x xy y zz dxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以上是重建的基本理论.(3) 三维重建的步骤0057 0 倾角范畴内记录了 18 张样品照片, 15 张电子衍射图.通常获得一个辨论率为的结构所需要的最少观看面数 N 由下式给出：ND /式中 D 为样品的线度.如前所述,在电子衍射图中,由于透过样品的电子束直接落在照相底片上,不受电镜辨论率的约束,因此依据规章的电子衍射把戏,可精

31、确运算出结构因子的振幅,而从高辨论电子显微镜的密度分布可简单运算出相位.为了从照片中抽取出结构信息,需要进行傅里叶变换.试验中是将电镜照片通过光学衍射仪完成如下公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F h,k I x, y exp 2i hxky dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的傅里叶变换,产生明显的晶体衍射图,即从像平面返回到衍射平面,由此得到相应的像素点阵,再利用光密度扫描仪扫描,即得到密度的傅里叶变换.最终把电镜图像转化成数字信号.综合从电子衍生图得到的傅里叶项振幅和从电镜显微像得到的相位,再经傅里叶合成得到晶体的一个晶电子密度图.由电子光学线性

32、成像原理可知,电子波经过薄晶样品以后,携带了样品沿电子束方向投影信息,衍射到达物镜的后焦面,这个过程在数学上等于进行了一次傅里叶变换,也就是说在TEM 物镜后焦面上得到的电子衍射可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_像就是前述的 Sx ,y ,只要转变样品的倾角就可以得到一系列的Si , i1,2, .依据中心界面定理就可以得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到 F x ,y ,z ,再通过傅里叶的反变换就得到fx,y,z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 在振动光谱中的应用一般说来,蛋白质含有多种不

33、同的二级结构,而特点振动频率就反映了多肽或蛋白质的特定二级结构,下面介绍从谐振子模型来说明双原子分子的振动光谱：假设设 m1, m2 分别为相连的两个原子1 和 2 的质量, x 为在时间 t 离开中心的位移,就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复原力：化简上两式,可得到FkxFmad 2 xm dt 2d 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m2kx0 dt12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_K 为键力常数,它是键强度的度量.解 12,得到： xAcos2 vtd 2x ,对 x 两次微分得到2dt代入12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是得：振动频率v1k2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 m 用 代入,m1m2m1m2为折合质量.