2022年高中数学第四章定积分定积分的概念分析“求汽车行驶的路程”感悟定积分概念的形成素材北师大版-.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4.1分析“求汽车行驶的路程”感悟定积分概念的形成定积分概念的懂得对大多数同学来说是比较抽象的. 概念的形成不是以一段文字可以概括和说明的 . 而是要通过一种数学运算来表达定积分的内涵与意义. 所以对这种运算假如不能有一种清楚的熟悉, 就很难真正把握定积分的定义. 下面我们就把这一运算过程通过“求汽车行驶的路程”具体的分解开, 以助于同学们深刻懂得其本质.一. 提出问题汽车以速度 v 组匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为Svt 假如汽车作变速可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线运动

2、,在时刻t 的速度为v tt 22 （单位： km/h ）,那么它在0 t 1 单位： h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这段时间内行驶的路程S （单位： km）是多少？分析： 与求曲边梯形面积类似,实行“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路 程问题, 化归为匀速直线运动的路程问题把区间0 ,1 分成 n 个小区间, 在每个小区间上,由于 v t的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得S （单位： km）的近似值,最终让n 趋紧于无穷大就得到S（单位： km）的精确值 （ 思想： 用化归为各个小区间上匀速直线运动路

3、程和无限靠近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）解： 1 分割在时间区间0 ,1 上等间隔的插入n1 个点,将区间0 ,1 等分成 n 个小区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 , 1,1 , 2,n1 ,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记第 i 个区间为i1 , ii1, 2 , n,其长度为 :tii11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把汽车在时间段0 , 1,1 , 2,n1 ,1上行驶的路程分别记作：可编辑资料 - -

4、 - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnS1 ,S2 ,Sn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显,nSSi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1（ 2）近似代替可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n 很大,即t 很小时,在区间i1i,上,可以认为函数v tt 22

5、 的值变化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点i1处的函数值n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_vi12i12 ,从物理意义上看,即使汽车在时间段i1 , ii1, 2 , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的速度变化很小,不妨认为它近似的以时刻i1 处的速度 vi12i12 作匀可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_速直线运动,

6、 即在局部小范畴内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积Si 近似的代替可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Si ,即在局部范畴内“以直代取”,就有:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i1SiSivt n2i112nn2i112innn1,2,3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求和nni2112i1nnnni1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,SiSivti 1i 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20111nn

7、n2n11nn2 =1122 2n32n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=1n1n3n2n162 =1111123n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得到 S 的近似值SSn111112 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）取极限当 n 趋向于无穷大时,即t 趋向于 0 时, Sn111113n2n2 趋向于 S ,从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而有 : Slim Snnlimnn1i 1 nvi1 nli

8、mn111113n2n25 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索： 结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t0 , t1 , v0 和曲线vt 22 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程SlimnSn 在数据上等于由直线t0,t1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v0 和曲线vt22 所围成的曲边梯形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如物体做变速直线运动,速度函数为vv t,那么我们也可以采纳分割、近似代替、 求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限靠近的思想,求出它在 a t b 内所作的位移S 二实例展现例 弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力Fxkx（ k 为常数,

10、x 是伸长量）,求弹簧从平稳位置拉长b 所作的功分析： 利用“以不变代变”的思想,采纳分割、近似代替、求和、取极限的方法求解解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,就所作的功为WFx 1 分割在区间0, b 上等间隔的插入n1 个点,将区间0 ,1 等分成 n 个小区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 , b,nb , 2b,nnn1 b, bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记第 i 个区间为i1 bib,i1, 2 , n ,其长度为 :xibi1 bb.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

11、nnnnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把在分段0 , b,b2b,n1 b, b上所作的功分别记作：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnW1 ,W2 ,Wn（ 2）近似代替i1 bi1 bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有条件知：WiFxknnni1, 2 , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnWnWiki1 bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1i 1nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - -

12、 - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kb2=2012kb2 n n1n12kb211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn22n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得到 W 的近似值WWnkb211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）取极限nkb21kb2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2Wlim WnlimWilim1.nnni 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以得到弹簧从平稳位置拉长b 所作的功为：kb2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载