2022年高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法.docx
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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高中数学空间向量之- 平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义 :假如 a,那么向量a 叫做平面的法向量.平面的法向量共有两大类(从方向上分),很多条.2、平面法向量的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法一 内积法 : 在给定的空间直角坐标系中,设平面的法向量 n x, y,1 或 nx,1,z,或 n1,y, z ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在平面内任找两个不共线的向量a, b .由 n,得 n a0 且
2、nb0 ,由此得到关于x, y 的方程组,解此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组即可得到n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法二:任何一个x, y, z 的一次次方程的图形是平面.反之,任何一个平面的方程是x, y, z 的一次方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AxByCzD0 A, B, C不同时为0 ,称为平面的一般方程.其法向量n A, B, C ; 如平面与3 个坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标轴的交点为P a,
3、0,0, P0,b,0, P0,0, c , 如下列图 , 就平面方程为: xyz1 , 称此方程为平面的截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式方程,把它化为一般式即可求出它的法向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方法三 外积法 :设,为空间中两个不平行的非零向量,其外积a b 为一长度等于| a | b | sin,( 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,两者交角,且0),而与,皆垂直的向量.通常我们实行右手定就,也就是右手四指由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 方
4、 向 转 为的 方 向 时 , 大 拇 指 所 指 的 方 向 规 定 为ab 的 方 向 ,abba.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 ax1, y1, z1, bx2, y2, z2, 就 : aby1z1 ,y2z2x1z1 , x1y1x2z2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(注: 1、二阶行列式 : Mabadcb . 2、适合右手定就. )cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例1、已
5、知, a2,1,0, b1,2,1 ,zD 1C1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_试求( 1): ab; ( 2): ba .A1E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Key: 1ab1,2,5 ;2 bay1,2,5FDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、如图 1-1, 在棱长为2 的正方体ABCDA1 B1C1D1 中,A图 1-1Bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求平面 AEF的一个法向量n . key : 法向量 nAF
6、AE1,2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、平面法向量的应用Bn1、 求空间角B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 、求线面角:如图2-1 ,设 n 是平面的法向量,AB 是平面的一条斜线,A,就 AB 与平面所成的角为:CA图 2-1-1nCA图 2-1-2可编辑资
7、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2-1-1:n, ABarccosn AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 2-1-2:2n, AB2arccos| n |n AB| AB |sin| cosn , AB|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2| n | | AB |2(2) 、求面面角 : 设向量 m , n 分别是平面、的法向量,就二面角l的平面角为:nmnm图 2-2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m, narccosm n(图 2-2 ) ;图 2-3可编辑资料 - - - 欢迎
8、下载精品_精品资料_m, n| m |arccos| n |m| m |n| n | 图 2-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个平面的法向量方向选取合适, 可使法向量夹角就等于二面角的平面角.商定,在图2-2 中, m 的方向对平面而言向外,n 的方向对平面而言向内.在图2-3 中, m 的方向对平面而言向内, n 的方向对平面而言向内.我们只要用两个向量的向量积(简称“外积”,满意“右手定就” )使得两个半平面的法向量一个向内一个向外,就这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角.2、 求空间距离Bb( 1)、异面直线之间距离:na方法指导 :如图 2-4, 作直线a
9、、b 的方向向量a 、 b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 a、b 的法向量 n ,即此异面直线a、b 的公垂线的方向向量.图 2-4A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在直线a、b 上各取一点A、B,作向量AB .求向量AB 在 n 上的射影d,就异面直线a、b 间的距离
10、为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d| AB| n |n |, 其中 na, nb, Aa, BbnMB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_( 2)、点到平面的距离:方法指导 :如图 2-5, 如点 B 为平面 外一点,点A为平面 内任一点,平面的法向量为n ,就点 P 到NAO图 2-5n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面 的距离公式为d| ABn |nBa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| n |( 3)、直线与平面间的距离:方法指导 :如图 2-6, 直线 a 与平面之间的距离:ABnA图 2-6n可编辑资料 - - - 欢迎
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