2022年高中数学-柯西不等式与排序不等式.docx

《2022年高中数学-柯西不等式与排序不等式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学-柯西不等式与排序不等式.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3.1 3.2柯西不等式1. 二元均值不等式有哪几种形式？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：abab a 20,b0 及几种变式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知 a、b、c、d 为实数,求证 a2b2 c2d 2 acbd 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法：（比较法） a2b2 c2d 2 acbd 2 =.=adbc20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：如a、b、c

2、、d 为实数,就 a2b2 c2d 2 acbd 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：a2b2c2d2| acbd |或a2b2c2d2| ac | bd |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或a2b2c2d 2acbd .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：设a1 , a2 , an , b1 ,b2 ,bnR ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 2a 2a 2 b 2b

3、2b 2 a ba ba b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n1 12 2n n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（当且仅当a1a2b1b2an时取等号,假设bi0 ）bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22变式： aa122aaaa .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12nn定理：设,是两个向量,就| | .等号成立？（是零向量,或者,共线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知a、b、c、d 为实数,求证a2b2c2d 2 ac2bd 2 .

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222证法：（分析法）平方 应用柯西不等式 争论：其几何意义？（构造三角形）三角不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理：设x , y , x , yR ,就xyxy xx yy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如1122x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y311221212R ,就结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：求函数y3x1102x 的最大值？分析：如何变形？ 构造柯西不等式的形式可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品_精品资料_变式： y3x1102 x 推广：yabxcdefx , a, b, c, d, e, fR 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2：如x, yR , xy2 ,求证：112 .xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

6、分析：如何变形后利用柯西不等式？（留意对比 构造）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点：11111 xy1x 2y 2 1 2 1 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy2xy2xy争论：其它证法（利用基本不等式）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知3x2 y1 ,求 x2y 2 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答要点：（凑配法）x2y21 x2y2 3222 13x2y21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论：其它方法（数形结合法）练习：已知a 、 bR ,求证：13131311 ab4

7、.ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：已知 3x2 yz1 ,求 x2y2z2 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：如x, y, zR ,且 1111,求 xxyzyz的最小值 .23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如x, y, zR ,且xyz1 ,求 x2y2z2 的最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变

8、式：如x, y, zR ,且xyz1 ,求xyz 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2：如 a b c ,求证：114.abbcac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要点：11112ac ab bc114abbcabbc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

9、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 已知正数a ,b, c 满意abc1证明a 3b3c3a 2b 2c23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23131312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：利用柯西不等式a 2b2c2a 2 a 2b 2b 2c 2c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3232a2b 232c2abca3b3c3abc 2abc1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于abc222abc3 a

10、2b222abbcca在此不等式两边同乘以2,再加上 abc22c得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 2b2c2a3b 3c33 a 2b2c2故 a 3b3c3a 2b 2c23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 设 p 是ABC 内的一点,x, y, z是 p 到三边a, b, c 的距离, R 是ABC 外接圆的半径,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明xyz1a 2b2c22 R可编辑资

11、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：由柯西不等式得,xyzax1by1cz1axbycz111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabcabcabc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记 S 为ABC 的面积,就axbycz2S24R2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyzabcabbcca 2Rabc1abbcca 2R1a 2b2c22 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故不等式成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知实数a, b, c ,d 满意a bcd3 ,a 22b 23c26d 25 试求 a 的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由柯西不等式得,有2b23c26d 211122362bcd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2b 23c26d 2b cd2由条件可得,5a 23a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得, 1a2 当且仅当2b3c6d时等号成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 21 31 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入 b1,c1 , d1 时,a2b1,c2 , d1 时a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_36max33min3.3排序不等式排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数可编辑资料 - - - 欢迎下载

14、精品_精品资料_组: a1a2 an ; b1b2bn .c1 , c2 , cn 是 b1 ,b2 , ,bn 的任一排列 , 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2b2 +anbn 同序和 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1c1a2 c2 + + an cn 乱序和 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1bna2bn1 + + an b1 反序和 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 a1a2 = an 或 b1b2 =bn 时,反序和等于同序和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_排序不等式的应用：

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：设a1 , a2 , an 是 n 个互不相同的正整数,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111aa2a3an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明过程：23n23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 b1 ,b2 , bn 是 a1 , a2 , an 的一个排列,且b1b2bn ,就 b11,b22,bnn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222又 111123n,由排序不等式,得可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品_精品资料_a2a3a12232anb2b3bn2b1222n23n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：分析目标,构造有序排列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：已知a, b, c 为正数,求证：2a3b3c3 a2 bcb2 acc 2 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解答要点：由对称性,假设abc ,就 abc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22于是a 2ab2bc2ca2 cb2 ac2b , a2ab2bc2 ca2 bb2cc2 a ,两式相加即得 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载