2022年高中数学公式完全总结归纳均值不等式及常见题型.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -均值不等式归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 1如 a,bR ,就 a 2b 22ab(2) 如 a, bR ,就 abab222（ 当 且 仅 当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 1如a,bR * ,就 ab2ab 2 如a ,bR* ,就 ab2ab（当且仅当ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 如 a,

2、bR* ,就 ab2ab当且仅当 a2b 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 x0 ,就 x1 2 当且仅当 xx1时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12 当且仅当 xx1 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12即x12或 x1-2当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如 ab0 ,就 abb 2当且仅当 aab 时取“

3、=”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 ab0 ,就 ab2即 ab2或 ab-2当且仅当 ab 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bababa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 a ,bR ,就 ab 22ab（当且仅当 a222b 时取“ =”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ps.1 当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”(2) 求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)

4、 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -应用一：求最值例 1：求以下函数的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） y3x211 2x 2（2）y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1y 3x 2 12223xx126值

5、域为 6, +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -112 当 x0 时, y xx2x x 2.111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x当 x0 时, y xx =（ x x） 2x= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域为（, 2 2,+）解题技巧可编

6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧一：凑项例已知 x5 ,求函数 y44 x214 x5的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：因 4x50 ,所以第一要“调整”符号,又4 x214x不是常数,所5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以对 4x2 要进行拆、凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5x,54x0,y4x2154x13231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44x554x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当54 x1,即 x54x1 时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1 .可编辑

7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧二：凑系数例 1.当时,求yx82 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：由知,利用均值不等式求最值,必需和为定值或积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值.留意到2x82 x8 为定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值,故只需将 yx82 x 凑上一个系数即可.当,即 x2 时取等号当 x2 时, yx82x 的最大值为 8.评注：此题无法直

8、接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：设 0x3 ,求函数 y24x32 x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 0x3 32x20 y4 x32x2 2 x32 x222x32x922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2 x32 x, 即 x340, 32时等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - -

9、 - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -技巧三：分别x27 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.求 y x1 的值域.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析一：此题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即时,y技巧四：换元2 （ x14x159 （当且仅当 x 1 时取“”号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析二：此题看似无法运用

10、均值不等式,可先换元,令t=x 1,化简原式在分别求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t12y7t1）+10t 2=5t44t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ttt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即 t=时,y2t4 t59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式子分开再利用不等式求最值.即化为ymg xAg xB A0, B0 ,gx 恒正可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品_精品资料_或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值.技巧五：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,结合函数a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx的单调性.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求函数 yx25x24的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令x24tt2 ,就 yx5x411tt2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x24x24t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 t0, t1 t

12、1 ,但 t1 解得 tt1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 yt51 在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y.2所以,所求函数的值域为5 ,.2练习 求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

13、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）x23xyx1 , x0（2）y2x1, x3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 已 知 0x1 , 求 函 数yx1x 的 最 大 值 . 3 0x2 , 求 函 数3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx23x 的最大值 .条件求最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如实数满意 ab2

14、 ,就3 a3b 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3 a3b 定值,因此考虑利用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均值定理求最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：3 a 和3 b 都是正数,3 a3b 23a3b23a b6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 3 a3b时等号成立,由a b2 及 3 a3b 得 ab 1 即当 ab1 时,3a3 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最小值是 6可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11 的最小值 . 并求 x,y的值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错.2：已知 x0, y0 ,且 191,求 xy 的最小值.xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错 解 ：x0, y0, 且 191,19xyxy9故22xy12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxyxy min12.可

16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因：解法中两次连用均值不等式,在xy2xy 等号成立条件是xy ,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1929 等号成立条件是19 即 y9x , 取等号的条件的不一样,产生错误.可编辑资料 - -

17、- 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解：x0, y0, 191,xyxy19y9 x1061016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 且 仅 当 y9x19时 , 上 式 等 号 成 立 , 又1, 可 得 x4, y12 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy min16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：（ 1）如

18、x, yR且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧七2 已知a, b, x, yR且 a xb1 ,求 xyy 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 x, y 为正实数,且 x 2 y2 1,求 x1 y2的最大值 .a2 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同 时 仍 应 化 简1 y2中y2前 面 的 系 数 为122,x1y x可编辑资料 -

19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y 2222x1y 22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面将 x,1 y 22 2分别看成两个因式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222x 2 1y2x 2 y 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1yx2 21y 222222323即 x1y24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x2 2 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学

20、习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -技巧八：1已知 a,b为正实数, 2b a ba30,求函数 y a b的最小值 .2分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的.二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等

21、式的途径进行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_302b302b2b30b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法一： ab1,a bb1 b b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a 0 得, 0 b 15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t b+1, 1 t 16, a b 2t 34t 312t 2（ t 16t） 34 t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16t2t 16t 81可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a b 18 y立.18当且仅当t

22、4, 即 b 3,a6时,等号成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：由已知得：30ab a2b a 2b 22ab 30 ab22a b令 u a b就 u 222u 30 0, 52 u 321ab32, a b18, y18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：此题考查不等式ab2ab（ a, bR ）的应用、不等式的解法及运算能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_力.如何由已知不等式aba2b30（ a,bR ）动身求得 ab 的范畴,关键是寻可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_找到 ab与ab 之间的关系,由此想到不等式ab2ab（ a,bR ）,这样将已知条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_件转换为含 ab 的不等式,进而解得ab 的范畴 .变式： 1. 已知 a0, b 0,ab a b 1,求 a b的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2. 如

24、直角三角形周长为1,求它的面积最大值.技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10,求函数 W3x2y的最值 .22a ba b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此题很简洁3x2y2（3x）2（2y） 223x2y 25解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢.W 0 , W2 3x 2y 23x2y 10 23x2y 10 3x 2 2y 2 10 3 x 2y 20 W20 25可编辑资料

25、- - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 :求函数 y2x152x 1x 5 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：留意到 2x221与 52x 的和为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 22 x152 x 2422 x152x42 x152 x8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y0 ,所以 0y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2x1=52x ,即 x3 时取等号.故2ymax22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式制

26、造了条件.总之,我们利用均值不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用均值不等式.应用二：利用均值不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知a, b, c 为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）正数a , b,c满意 a bc 1,求证： 1 a 1 b1 c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8ab c例 6：已知 a、b、cR ,且abc1.求证：1111118可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc可编辑资料 - -

27、- 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个“ 2”连乘,又 111 abc2 bc,可由此变形入手.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：a、b、cR , abc1.111 abc2

28、bc.同理 112ac ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaabb112ab .上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得cc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111112bc2ac2ab8 .当且仅当abc1 时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知x0, y0 且 191 ,求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范 xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围.解：令xyk , x0, y0, 191 ,xy9 x9 y1.10y

29、9 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy11023.k16, m,16kxkykkxky可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 ： 如 a是.b1, Plg alg b ,Q1lg a2lg b, Rlgab , 就2P, Q, R的 大 小 关 系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： ab1 lg a0,lg b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Q 1 （ lg a2lg blg alg bp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abR lg 2lgab1lg abQ2 RQ.P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载