2022年高中数学必修知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_高中数学 必修 1 学问点A I CUA ,A U C U A U可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一章集合与函数概念1.1 集合（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.补集eU A x | xU ,且xAC U A UC U A IB C UB C UA IA) U C U B C U B 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（3） 集合与元素间的关系aM 或

2、aM 两者必居其一【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 集合的表示法自然语言法：列举法： 元素 1,元素 2,元素 n描述法： x | x 具有的性质 ,图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5） 集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.| x | x |aa0aa0 x |axax | xa 或 xa把 axb 看 成一个整体 , 化成 | x |a ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（6） 子集、真子集

3、、集合相等【1.1.2 】集合间的基本关系| axb |（2）一元二次不等式的解法c,| axb |cc0| x |aa0) 型不等式来求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_名称记号意义性质示意图判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABA 中的任一元素都属子集（或 BA于 B(1) AA2A(3) 如 AB 且 BC ,就 AC(4) 如 AB 且 BA ,就 ABABBA或b24ac000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAB ,且 B 中至（ 1）A （A 为非空子集）二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_真子集BA（或

4、BA）少有一元素不属于 AA 中的任一元素都属(2) 如 AB 且 BC ,就 ACyax 2bxca0O的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合AB于 B ,B 中的任一元素相等都属于 A(1) AB(2) BAAB一元二次方程2x1,2bb22a4acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7） 已知集合 A 有 n n真子集 .1) 个元素,就它有 2n 个子集,它有 2n1个真子集,它有 2nn1个非空子集,它有 22 非空axbxc的根0a0（其中 x1x2x1x22 a无实根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） 交集、并集、补集【1.

5、1.3 】集合的基本运算ax 2bxc的解集0 a0 x | xx1 或x x2 x | xb R2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_名称记号意义性质示意图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AI B交集 x | xA, 且xB（ 1） A IAA（ 2） AI（ 3） A I BAax 2ABbxc的解集0 a0 x | x1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x | xA, 或A I BB（ 1） A U AA1.2 函数及其表示1函数的概念（ 1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个

6、数 x ,在集合 B 中都有唯独确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AU B（ 2） A UA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并集（ 3） A U BAAB的数f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xBA U BB记作 f : AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数第1页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 区间的概念及表示法闭区间, a, b .开区间,a, b .半开半闭区间,a,b 或 a, b .函数的性 质定义图象判定方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 xa, xa, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a, a, b, b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需 ab （3） 求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值

8、时的实数的集合函数的单调性假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的 值 x 1 、x 2 ,当 x1 x 2时,都有fx1fx2,那么就说 fx在这个区间上是 增函数假如对于属于定义域 I 内某个yy=fXfx 2fx1ox1x 2 x1） 利用定义2） 利用已知函数的单调性3） 利用函数图象（在某个区间图象上升为增） 4）利用复合函数1）利用定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 区间上的任意两个自变量的yy=fXfx 12）利用已知函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

9、资料_ ytanx 中, xk2 kZ 零（负）指数幂的底数不能为零值 x 1 、x 2 ,当 x1fx2, 那 么 就 说ox 1fx 2x 2x3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集fx 在这个区间上是 减函数4）利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 a, b ,其复合函数f g x的定义域应由不在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是

10、减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等式 ag xb 解出去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义对于复合函数 yf g x ,规律：同增异减.ay可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的求函数值域与最值的常用方法：（ 2）打“”函数 f xxax0 的图象与性质可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品_精品资料_观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值2f x 分别在 ,a 、a, 上为增函数, 分别在 a , 0 、0,a 上为减函数.（ 3）最大（小）值定义x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程 a y xb y xc y0 ,就在2一般的,设函数 yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f xM .可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_a y0时,由于x, y 为实数,故必需有b y4a yc y0 ,从而确定函数的值域或最值（ 2 ）存在 x0I ,使得f x0 M 那么,我们称 M 是函数f x 的最大值,记作fmax xM 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值一般的,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（ 1 ）对于任意的 xI ,都有f xm .（ 2 ）存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问x0I ,使得

13、f x0m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作f max xm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的【1.3.2 】奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【1.2.2 】函数的表示法定义图象判定方法性 质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） 函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种（6） 映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依

14、据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 aA, bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象注：函数是特殊的映射1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值函数的奇偶性假如对于函数fx 定义域内任意一个 x ,都有 f x=fx ,那么函数 fx 叫做 奇函数假如对于函数fx 定义域内任意一个 x ,都有 fx=

15、fx,那么函数 fx 叫做 偶函数（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1 ）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2 ）利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）函数的单调性定义及判定方法如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 第2页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（

16、或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或rsr s aaaa0, r , sRrsrs a aa0, r , sR abrar br a0, b0, rR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（ 4）指数函数【2.1.2 】指数函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 作图利用描点法作图：函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定函数的定义域.化解函数解析式.定义函数y ax a0 且 a1 叫做指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_争论函

17、数的性质（奇偶性、单调性）.画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换y图象y1a1ya x0ya xy1a1y0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf xk 0,上移 k个单位k 0,下移 | k |个单位yf xk0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_伸缩变换OxOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x对称变换0

18、1,伸1,缩yf x.yf x0 A 1,缩A 1,伸yAfx定义域R值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当 x0 时, y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf xx轴yf xyf xy轴yf x奇偶性非奇非偶1单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x原点yf xyf x直线y xyfx函数值的a x1, x0xa1, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x去掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |变化情形a x1, x0a x1, x0xa1, x0xa1, x0

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf（2） 识图x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |a 变化对 图象的影响在第一象限内, a 越大图象越高.在其次象限内,a 越大图象越低可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3） 用图2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数图象形象的显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它

20、是探求解题途径,获得问题结果的x如 aN a0, 且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重要工具要重视数形结合解题的思想方法a其次章基本初等函数 负数和零没有对数对数式与指数式的互化：b（ 2）几个重要的对数恒等式xlogNa xN a0, a1,N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1） 分数指数幂的概念log a10 , log a a（ 3）常用对数与自然对数1 , log a ab 可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品_精品资料_m正数的正分数指数幂的意义是：a nn a m a0, m , nN, 且 n1 0 的正分数指数幂等于 0常用对数： lg N ,即log 10 N .自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）对数的运算性质假如 amm0, a1, M0, N0 ,那么M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 m加法： log a Mlog a Nlog a MN 减法： log a Mlog a Nlog a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的负分数指数幂的意义是：

22、an nn a0, m, nN, 且 n1 0 的负分数指数幂没N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数（2） 分数指数幂的运算性质数乘：n loga Mlog a MnnR alog a NN第3页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnlog b N（ 1）幂函数的定义： 一般的,函数 yx 叫做幂函数,其中 x 为自变量,是常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ log ab Mlog a M bb0, nR换底公式：log a Nblog b a0, 且b1（ 2）幂函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎

23、下载精品_精品资料_（ 5）对数函数函数名称【2.2.2 】对数函数及其性质对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义函数 ylog a xa0 且 a1 叫做对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx1a1ylog a x0a1x1ayylog x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象O1,0x1,0Oxyx 1（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函

24、数时,图象分布在第一、二象限图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域0,值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1 时, y0 关于 y 轴对称 .是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 .是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性： 假如0 ,就幂函数的图象过原点, 并且在 0, 上为增函数 假如0 ,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数奇偶性： 当为

25、奇数时,幂函数为奇函数, 当为偶数时, 幂函数为偶函数 当qp（其中x0 x1logax0 x1x00x1logax00x1就p, q 互质, p 和 qZ ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数值的变化情形log a x log a log a0 x1log a x0 x1如 p 为奇数 q 为奇数时,就qyx p 是非奇非偶函数qyxp 是奇函数,如 p 为奇数 q 为偶数时,就qyxp 是偶函数,如 p 为偶数 q 为奇数时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 变化对 图象的影响在第一象限内, a 越大图象

26、越靠低.在第四象限内,a 越大图象越靠高图象特点：幂函数yx , x0, ,当1 时,如 0x1,其图象在直线 yx 下方,如 x1 ,其图象在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 反函数的概念设函数 yf x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子 x y 假如对于 y 在 C直线 yx 上方,当1时,如 0x1,其图象在直线 yx 上方,如 x补充学问二次函数1 ,其图象在直线 yx 下方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的任何一个值, 通过式子 x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x y 表示 x

27、是 y 的函数,（ 1）二次函数解析式的三种形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 x y 叫做函数yf x 的反函数,记作 xf1 y ,习惯上改写成 yf1 x 一般式：f xax2bxca0 顶点式：f xa xh2k a0 两根式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7）反函数的求法f xa xx1 xx2 a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定反函数的定义域,即原函数的值域.从原函数式yf x 中反解出 xf1 y .（2）求二次函数解析式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 xf1 y 改写成 yf1 x ,并注

28、明反函数的定义域已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）反函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数yf x 与反函数 yf x 的图象关于直线 yx 对称11如已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求（ 3）二次函数图象的性质f x 更便利 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数yf x 的定义域、值域分别是其反函数yfx 的值域、定义域2bb24 acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Pa,b 在原函

29、数yf x 的图象上,就P b,a 在反函数 yf1 x 的图象上二次函数f xaxbxca0 的图象是一条抛物线, 对称轴方程为 x, 顶点坐标是, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数2a2 a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 幂函数第4页可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbb4acb24 圆台的表面积 Srlr 2RlR25 球的表面积 S4 R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 a0 时,抛物线开口向上, 函数在 ,

30、 上递减,在, 上递增,当 x2a2abb时, fmin x2a4a.（二）空间几何体的体积1 柱体的体积VS底 h2 锥体的体积V1 Sh底3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,抛物线开口向下,函数在, 上递增,在 , 上递减,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a2ab4acb23 台体的体积1V（ S上3S上S下S下 h4 球体的体积V4R 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x时,2afmax x4a2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系其次章 直线与平面的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 二次函数f

31、 xax2bxca0) 当b24ac0时,图象与 x 轴有两个交点. 2.1.11. 平面含义：平面是无限延展的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y点.第三章 函数的应用f x xD ,把使f x0 成立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零2. 平面的画法及表示0（1） 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45 ,且横边画成邻边 2 倍长（如图）（2） 平面通常用希腊字母、等表示,如平面、平面等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数零点

32、的意义：函数y坐标.即：f x 的零点就是方程f x0 实数根,亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等.3. 三个公理：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 fx0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点（1）公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理1 作用： 判定直线是否在平面内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点：（2 ） 公理 2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理2 作用： 确定一

33、个平面的依据.（3 ） 公理 3 假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.作用：判定两平面是否相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 （代数法）求方程f x0 的实数根.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数4、二次函数的零点：yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax2bxca20 共面直线平行直线：同一平面内,没有公共点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_）,方程）,方程axax2bxcbxc0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点0 有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点.所成角范畴：0,90 当两条异面直线所成的角是直角时,记作a b.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二重零点或二阶零点 ）,方程 ax 2bxc0 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点注：两条直线相互垂直,有共面垂直与异