2022年高等数学基础第二章教学辅导 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重点：第 2 章学习重点辅导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.把握求简洁极限的常用方法.求极限的常用方法有1利用极限的四就运算法就.2利用两个重要极限.3利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量.4例利用连续函数的定义.1 求以下极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 lim9sin 3x32 limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x1x1x21x2cos2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 lim 12x x4 lim可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x xsin x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5 lim xe1x0x1解 1对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四就运算法就和第一重要极限运算,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim9sin 3 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=lim 9sin 3x39sin 3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x9sin 3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=limsin 3 xlim1可编辑资料 - -

3、- 欢迎下载精品_精品资料_x0x=31162x09sin 3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2利用第一重要极限和函数的连续性运算,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin x1limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x1x1sin x1x1 x11 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x11111x1 x112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3利用其次重要极限运算,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lim 12

4、x x lim 12 x122x 2e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x04利用无穷小量的性质无穷小量乘以有界变量仍是无穷小量运算,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2 x1cos2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lim xcos2 x1212limxlim 1x2x= 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xsin xx1sin x2xlim 1xsin x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：其中当 x时,sin x1 sincos2 x1

5、x ,1 cos 2 x1 都是无穷小量乘以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx界变量,即它们仍是无穷小量.x 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 利用函数的连续性运算,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim xex101 0 e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x1012. 知道一些与极限有关的概念(1) 知道数列极限、 函数极限、 左右极限的概念, 知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等.(2) 明白无穷小量的概念,明白无穷小量与无穷大量的关系,知道无穷小量的性质.(3) 明白函数在某点连

6、续的概念,知道左连续和右连续的概念,明白“初等函数在定义区间内连续”的结论.会判定函数在某点的连续性,会求函数的间断点.例 2 填空、挑选题1以下变量中,是无穷小量的为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. ln1 x0 xB. lnx x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1C. e x x0D. x22 x 241 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解选项 A 中：由于x0时,故ln, ln不是无穷小量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选项 B 中：由于 x1 时,ln xx0

7、,故xxln x 是无穷小量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选项 C中：由于 x0时,11,故 e xx0 .但是 x0 时, 1,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故 e x,因此1e x 当 x0 时不是无穷小量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2选项 D 中：由于 x2x4量.1,故当 x x22 时, x22x41x2,24x4不是无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此正确的选项是B.2 以下极限运算正确的选项是.A.

8、lim x sin 1lim x lim sin 10x0xx0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. limtan 2 xlimtan2 x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sin 2 xx0 sin 2 x2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. lim x2xxxlimx2xxlim x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. lim x1 x 1lim x1xlim x11e1ee1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1xx1xx1e可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解选项 A 不正确.由于limsin1 不存在,故不能直接用乘积的运算法就,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xlim x sin 1lim x lim sin 1x0xx0x0x选项 B 正确.将分子、分母同除以2x ,再利用第一个重要极限的扩展形式,得到tan 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limtan 2 xlim2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sin 2 xx0 sin 2x2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

10、选项 C 不正确.由于x算法就,即时, x2x,x,故不能直接用极限的减法运可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2lim xxxxlimx2xxlim xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_选项 D不正确.lim x1) x1 可以分成两项乘积,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1x1 x 1x1 xx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim xx1= lim xxlim 1xx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中第一

11、项lim x11 x = lim 1x x =lim 1x1 x1xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1x11 x11lim 1x1) xex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而其次项lim xxx1 11lim x1x 11e 11x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故原算法错误.正确选项应是 B.3当 k时,f xx1x2kx0在 x0 处连续.x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 0B. 1C. 2D. 1解函数在一点连续必需满意既是左连续又是右连续.由于函数已是右连续,且f 0011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

12、_精品资料_而左连续f 0 limx 2kkf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 k1 时,f x 在 x0 处连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正确的选项是 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 懂得导数定义.懂得导数定义时,要解决下面几个问题：1牢记导数定义的极限表达式.2会求曲线的切线方程.3知道可导与连续的关系 可导的函数肯定连续,连续的函数不肯定可导 .例 3 填空、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.设 f xx1 ,就 f x10.可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品_精品资料_A 不存在B . 1C.0D .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由于 x1 时 f xx11 ,是常数函数,而点x1x0 在 1, 范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内,故f 00.正确的选项是 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 f xlnx ,就limf x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x11A 1B.e 2C.0D.不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解假如

14、单看 求极限limf xlimln x,很难求出结果. 但是假设联想到ln 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_以及导数的定义,即有x1 x1limx1 xf x1limln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 x1xlim1 x ln x1ln 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确的选项是 C. ln xx 1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3极限limsin x0xsin x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xA. 1B. cos x0C.

15、 sinx0D.不存在解这个极限的表达式正是函数sin x 在点 x0 处导数的定义,即有sin x0xsin x0limcos x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x故正确的选项是 B.4设 f x 在 x0 处可导,且 f 00 ,就limf x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.不存在B.f 0C.0D. 任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解因已知f x 在 x0 处可导,且f 00 ,将f x 看成f xf 0 , x 看成可编辑

16、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 ,就limf xlimf xf 0 就是f x 在 x0 处的导数,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xx0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xf 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x正确选项是 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5曲线 yx3x 在点 1, 0处的切线是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.y2x2B.y2 x2C.y2x2D.y2 x2解 依据导数的几何意义可知,可编辑资料 - -

17、 - 欢迎下载精品_精品资料_y 0 x3x3x 212x 1x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是曲线 yx3x在点 1,0处的切线斜率,故切线方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y02 x1) ,即 y2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确的选项是 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6函数f xx 在点 x0 =16 处的导数值f 16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解因 f xx 1,故 f2x1611.2 168可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4娴熟把握求导数或微分的方法.

18、详细方法有1利用导数或微分的基本公式2利用导数或微分的四就运算法就3利用复合函数微分法4利用隐函数求导法就例 4 求以下导数或微分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设 y x2 e2 x ,求 y .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解利用导数乘法法就y12 e2 x2e 2 x x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 yx2 sin xex,求 y2 x42e12 x2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2解yesin x2x xsin x x可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品_精品资料_x2 sin x= ex2xcosx x2xx 2sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 sin x2= exxxcosxx 2sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3设函数 yy x 由方程 exy2解方程两边对 x 求导,得：x1 确定,求 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy 22e y2xyy 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得y 22xyyye xy21 exy2y 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

20、4设 yx12 x12 xy,求 dy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由于 yx12 x11222x2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以dyy dx12dx 2x2x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5知道微分的概念.知道高阶导数概念,会求函数的二阶导数.例 5填空、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 已知 y =1 x4 ,就 y =4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

21、下载精品_精品资料_A. x3B.3 x 2C.6xD. 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解直接利用导数的公式运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 14x4 x3 , y x3 3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确的选项是 B.2已知函数 y = f x 的微分 dy = 2 xdx,就 y =.2xC.2D.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由于函数 y = f x 的微分为 dy = 2 xdx,即y2 x ,于是 y 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确的选项是 C.可编辑资料 - -

22、- 欢迎下载精品_精品资料_3 lncos x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. tan xB. tan xC. cot xD. cot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解依据复合函数求导法就,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lncos xcos x=sin x= tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故正确选项应是 A.cos xcos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4假设f x 可导,且f x0 ,

23、就以下不等式不正确的选项是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. lnf x1f xB. lnf xf xf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. f lnx f ln x xD. 1f xf xf 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解第一要留意,这里要挑选的是不正确的式子.先看 A：依据复合函数的求导法就可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lnf xf x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x故 A 不正确.因此正确的选项是A.可编辑资料 - - - 欢迎下载