2022年高二离散型随机变量的均值与方差正态分布理科2.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -年级高二学科数学内容标题离散型随机变量的均值与方差.正态分布（理科）编稿老师邵珍红一、教学目标：（ 1）明白离散型随机变量的期望值、方差的意义,会依据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.（ 2）正态分布曲线的性质、标准正态曲线N （ 0, 1）二、学问要点分析：1. 数学期望：一般的,如离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称Ex1 p1x2 p 2xn pn为 的数学期望,简称期望可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 数

2、学期望是离散型随机变量的一个特点数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.3. 平均数、均值：在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令p1p2pn ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就有 p1p21pn, E nx1x2xn 1,所以的数学期望又称为平n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均数、均值 .4. 期望的一个性质：E abaEb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如 B （n, p）,就 E =n.p6. 方差：对于离散型随机变量,假如它全部可能取的值是x1 ,x2 ,xn ,可编辑资料 -

3、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且取这些值的概率分别是p1 ,p2 ,p n ,那么,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D x1E2p1 x2E2p2 xnE 2p n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称为随机变量的均方差,简称为方差,式中的E是随机变量的期望 .7. 标准差： D的算术平方根D叫做随机变量的标准差,记作.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 方差的性质： （ 1）D aba 2 D.（ 2） DE2 E 2 .可编辑资料 - - -

4、欢迎下载精品_精品资料_（ 3）如 B（ n, p）,就 Dnp（ 1 p） .9. 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的.随机变量的方差、 标准差也是随机变量的特点数, 它们都反映了随机变量取值的稳固与波动、集中与离散的程度.标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.10. 总体密度曲线： 样本容量越大, 所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率. 设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 9

5、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_频率 / 组距总体密度曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位Oab它反映了总体在各个范畴内取值的概率. 依据这条曲线,可求出总体在区间（a,b）内取值的概率等于总体密度曲线,直线x=a, x=b 及 x 轴所围图形的面积.观看总体密度曲线的外形,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特点,具有这种特点的总体密度曲线一般可

6、用下面函数的图象来表示或近似表示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,xx 221e2, x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式中的实数、0 是参数,分别表示总体的平均数与标准差,x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.11. 正态曲线的性质：（ 1）曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交 .（ 2）曲线关于直线x=对称 .（ 3）当 x=时,曲线位于最高点.（ 4）当 x 时,曲线上升（增函数）.当 x 时,曲线下降（减函数）. 并且当曲线向左、右两边无限延长时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.（ 5） 肯定时,

7、曲线的外形由确定 .越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.越小曲线越“瘦高”,总体分布越集中：12. 标准正态曲线：当 =0、 =l时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式是 f x1e 22,（ x +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其相应的曲线称为标准正态曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【典型例题】学问点 1：离散型随机变量的均值例 1：已知离散型随机变量X 的分布列如下表. 如 EX b.0 ,DX1,就 a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路分析 ： 按分布列的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题知 abcb1 .411 ,ac11260 ,12a12c2 21121 ,解得 a5 ,12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题后的摸索：依据定义去求解.例 2：在 1, 2,3, L,9 这 9 个自然数中,任取3 个数 .（ I）求这

9、 3 个数中恰有 1个是偶数的概率.（ II ）设为这 3 个数中两数相邻的组数（例如： 如取出的数为1,2,3 ,就有两组相邻的数1,2 和 2,3 ,此时的值是 2 ）求随机变量的分布列及其数学期望E.思路分析 ： 解决此类题目的关键是正确懂得随机变量取每一个值所表示的详细大事.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I ）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为大事A ,就（ II ）随机变量的取值为 0,1,2,的分布列为P A4510 .CC C312921可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P所以的数学期望

10、为E511122120511212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122123解题后的摸索：依据公式进行求解.例 3：某同学在上学路上要经过4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是1 ,遇到红灯时停留的时间都是2min .3（）求这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率.（）求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.思路分析 ： 分析清晰详细大事,特殊留意随机变量的可能取值.解：（）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为大事A ,由于大事A 等于大事“这名同学在第一和其次个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,

11、所以大事 A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的概率为 PA111114 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33327（）由题意,可得可能取的值为0, 2, 4,6, 8（单位： min ）.大事“2k ”等价于大事“该同学在路上遇到k 次红灯”（ k0, 1, 2, 3, 4）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - -

12、-的分布列是,0246816328818181278181即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P的期望是 E1632802481868.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_81812781813解题后的摸索： 此题主要考查随机大事、互斥大事、相互独立大事等概率学问、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础学问,考查运用概率与统计学问解决实际问题的才能.小结： 离散性随机变量的均值的意义：（ 1）均值是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.（ 2）E（ X ）是一个实数,由X 的分布列唯独确定,它描述X 取值的平均状态.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、（ 3） E aXbaEX b ,说明随机变量X 的线性函数Y aXb 的均值等于随机可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变量 X 均值的线性函数.学问点 2：离散型随机变量的方差例 4：在发生某公共卫生大事期间,有专业机构认为该大事在一段时间内没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过7 人” . 依据过去10 天甲、乙、丙、丁四的新增疑似病例数据,肯定符合该标志的是A .甲的：总体均值为3,中位数为4B. 乙的：总体均值为1,总体方差大于0C. 丙的：中位数为2,众数为3D. 丁的：总体均值为2,总体方差为3思路分析 ： 依据信息可知,连续10 天内

14、,每天的新增疑似病例不能有超过7 的数,选项A中,中位数为4,可能存在大于7 的数.同理,在选项C 中也有可能存在大于7 的数.选项 B 中的总体方差大于0,表达不明确, 假如数目太大, 也有可能存在大于7 的数. 选项 D 中,依据方差公式,假如有大于7 的数存在,那么方差不会为3,故答案选D .解：【答案】 D解题后的摸索：利用离散型随机变量的方差与期望的学问,可以解决实际问题. 利用所学学问分析和解决实际问题的题型,越来越成为高考的热点,应予以重视.例 5：某市出租车的起步价为6 元, 行驶路程不超过3km 时,租车费为6 元,如行驶路程超过 3km ,就按每超出1km （不足 1km

15、也按 1km 计程）收费3 元计费 . 设出租车一次行驶的路程数X （按整 km 数运算,不足1km 的自动计为1km ）是一个随机变量,就其收费 也是一个随机变量. 已知一个司机在某一天每次出车都超过了3km,且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30（ km ）,它们显现的概率依次是0. 12、0. 18、0. 20、0. 20、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100a 23a 、4a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）求这一天中一次行驶路程X 的分布列,并求X 的均值和方差.（ 2）求这一天中一次所收出租车费Y 的均值和方差.可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -思路分析 ： 正确求出分布列是求均值和方差的前提.解：（ 1）由概率分布的性质有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.120.180.200.20100a23a4a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_100a27a0.3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1000a2

17、70a30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3或 a 1001（舍去）,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 a=0. 03.100a23a0.18, 4a0.12 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ X 的分布列为：X202224262830Y0. 120. 180. 200. 200. 180. 12EX 200.12220.18240.20260.20280.18300.1225km .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D X 520.12320.18120.20120.2

18、0320.185 20.129.64.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）由已知 Y3X3 X3, XZ ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EY E3X33EX3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_325372 （元）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D Y D 3X332 D X 86.76 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题后的摸索：要善于使用公式E abaEb 、

19、 D ab) a 2 D来简化运算 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结： 离散性随机变量的方差的意义：（ 1） D 表示随机变量对 E（ ）的平均偏离程度, D越大说明平均偏离程度越大,说明的取值越分散.反之,D越小,说明平均偏离程度 越小, 的取值越集中在E（ ）邻近,统计中常用标准差来描述的分散程度 . （ 2） D 与E一样,也是一个实数,由的分布列唯独确定.【本讲涉及的数学思想、方法】日常生产生活中的一些问题,我们可以转化为数学问题, 借助于函数、方程、不等式、概率、统计等学问解决. 同时,要提高分析问题和解决问题的才能,必需关注生产和生活.【模拟试题】（答题时间：

20、 90 分钟）一、挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 数据a , a , a ,., a 的方差为2 ,就数据 2a , 2a , 2a ,., 2a的方差为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123n123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A .B .2C.222D .42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 一套重要资料锁在一个保险柜中,现有n 把钥匙依次分给n 名同学依次开柜,但其中只有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为（）A .1B .nC.n1D .n1 223.设 随 机 变 量服 从 标

21、 准 正 态 分 布N （ 0 , 1 ）, 已 知1.960.025 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -P|1.96 =A . 0. 025B . 0. 050C. 0. 950D . 0. 9754. 设每门高射炮命中飞机的概率是0. 6,今有一架飞机来犯,问需要多少门高射炮射击,才能以至少99%的概率命中它（）A . 3B . 4

22、C. 5D . 65. 已知随机变量听从二项分布 B（ n,P）,且 E=12 ,D=4,就 P 等于（）1211A .B .C.D .73541可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 设离散型随机变量 B6 , ,就D（ 224 ）等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A . 9B . 6C. 30D . 36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题7. 某的区气象台统计,该的区下雨的概率是14 ,刮风的概率是152 ,既刮风又下雨的15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_概率是,设 A= “刮风”, B= “下雨”,10P B

23、A =. P A B =.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 在某项测量中,测量结果听从正态分布N （1,2）（0）,如在（ 0,1）内取值的概率为0. 4,就在（ 0, 2）内取值的概率为 .9. 某学校要从5 名男生和 2 名女生中选出2 人作为上海世博会理想者,如用随机变量 表示选出的理想者中女生的人数,就数学期望E为 （结果用最简分数表示）.10. 接种某疫苗后,显现发热反应的概率为0.80,现有 5 人接种了该疫苗,至少有3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_人显现发热反应的概率为 . （精确到0. 01）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

24、三、解答题11. 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个（ n =1,2, 3, 4） . 现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列,期望和方差.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）如ab , E1 , D11,试求 a, b 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 一次单元测试由50 道挑选题构成,每道挑选题有4 个选项,其中恰有1 个是正确答案 . 每题挑选正确得2 分,不选或错选得0 分,满分是 100 分. 同学甲选对任一题的概率为0. 8,求他在这次测试中成果的数学期望和标准差.13. 袋

25、中有 4 只红球, 3 只黑球,今从袋中随机取出4 只球 . 设取到一只红球得2 分,取到一只黑球得1 分,试求得分的概率分布和数学期望.14. 一台设备由三大部件组成,在设备运转中,各部件需要调整的概率相应为0. 10,0. 20 和 0. 30. 假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望 E.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - -

26、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【试题答案 】一、挑选题nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_211. D解析： xx2 , 12 x2x241 xx242 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iii可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n i 1n i 1n i 1可编辑资料 - -

27、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. C解析：当 n =2 时,打开柜门需要的次数为3 ,或已知每一位同学打开柜门的概2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_率为 1 ,所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为n1121nnn1n1 , n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故答案为 C3. C解析：听从标准正态分布N 0,1 ,P |1.96P1.961.96可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.961.96121.96120.0250.950.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. D. 解析

28、： 10.4 n99% , n5 ,n=6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nP12n18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. B. 解析：6. B. 解析：nP1D6P4P2 31131D222D aD ba 2 D6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、填空题7. 3 , 3 .解析： Q P A2 , P B4 , P AB14 8151510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PB A =P ABP A3 . P A B =4PAB3.PB8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

29、精品资料_8. 0. 8解析：在某项测量中,测量结果听从正态分布N（ 1,2 ）（0）,正态分布图象的对称轴为x=1 ,在（ 0, 1）内取值的概率为0. 4,可知,随机变量在（ 1,2）内取值的概率与在（ 0,1）内取值的概率相同,也为0. 4,就随机变量在（ 0,2）内取值的概率为 0. 8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_49.7C 210C1C110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：可取 0,1, 2,因此 P（0）5C27,P（ 1）52,C721221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2C2P（ 2）2710. 0. 941101

30、0, E 01212121142217可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解答题11.解：（）的分布列为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_012341113122010205P E01112133411.5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22010205可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01.5 2111.5 2121.5 2131.5 2341.5 212.75.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22010205可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）由 Da 2 D,得 a22. 7511,即 a2. 又EaEb, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a=2 时,由 1 21. 5+ b,得 b=-2 .当 a=-2 时,由 1 -2 1. 5+b,得 b=4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2,a或b 2b2,即为所求 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

32、品资料_12.解：成果的数学期望为E=E（ 2） =2E=2500. 8=80（分）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成果的标准差为 =D=C1 C 3D 2 =4D=2500.80.2 =42 5. 7（分） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13.解：P（=5） =434 ,C7435可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C2 C 2C3 C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P（=6） =43 = 18 , P（=7） =C743543 = 12 ,C7435可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢

33、迎下载精品_精品资料_C4 C 0141812122044可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=P（=8） =43C7435, E=535+635+735+8=35=.357可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14.解： P（=0） =P（ A1A2A3）=0 . 90. 80. 7=0 . 504.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P（=1） =P（A1 A2A3 ） +P（A1 A2 A3） +P（ A1A2 A3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=0. 10. 80. 7+0 . 90. 20. 7+0 . 90. 80. 3=0 .

34、 398.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P（=2） =P（A1A2 A3） +P（ A1 A2A3） +P（A1 A2A3）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=0. 10. 20. 7+0 . 10. 80. 3+0 . 90. 20. 3=0 . 092.P（=3）=P（ A 1A 2A 3） =0. 10. 20. 3=0 . 006. E=10. 398+20. 092+30. 006=0. 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载