2022年高中数学圆的方程典型例题巨有用 .docx

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1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型一：圆的方程高中数学圆的方程典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 求过两点A1 , 4 、B3 , 2 且圆心在直线 y0 上的圆的标准方程并判定点P2 , 4 与圆的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系分析： 欲求圆的标准方程, 需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判定点 P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,假设距离大于半径,就点在圆外.假设距离等于半径,就点在圆上.假设距离小于半径,就点在圆内解法一：待

2、定系数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆的标准方程为xa2 yb 2r 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2圆心在 y0 上,故 b0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的方程为 xa) 2y 2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又该圆过A1 , 4 、B3 , 2 两点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a 216r 23a 24r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得： a1 , r 220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以所求圆的方程为 x12y220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：直接求出圆心坐标和半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于圆过A1 , 4 、B3 ,2 两点,所以圆心C 必在线段 AB 的垂直平分线l 上,又由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42k AB131 ,故 l 的斜率为1,又 AB 的中点为2 , 3 ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

4、精品资料_y3x2 即 xy10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又知圆心在直线y0 上,故圆心坐标为C 1 , 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径 rAC1 124220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12y220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又点 P2 ,4 到圆心 C 1 , 0 的距离为可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dPC2124225r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 P 在圆外说明： 此题利用两种方法求解了圆的方程,都环围着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后依据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,假设将点换成直线又该如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_何来判定直线与圆的位置关系了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求半径为 4,与圆 x2y 24 x2 y40 相切,且和直线 y0 相切的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分

6、析： 依据问题的特点,宜用圆的标准方程求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 就题意,设所求圆的方程为圆C： xa) 2 yb 2r 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 C 与直线 y0相切,且半径为4,就圆心 C 的坐标为C1 a , 4 或C 2a ,4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又已知圆 x2y24 x2 y40 的圆心 A的坐标为2 ,1 ,半径为 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

7、品_精品资料_假设两圆相切,就CA437 或 CA431可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当C1a , 4 时 , a2241272 , 或 a2241 212 无 解 , 故 可 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a22 10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆方程为 x22 10 2 y4242 ,或 x22102 y4 242 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 当C 2 a ,4 时 , a2241272 , 或

8、a2 241 212 无 解 , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a226 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆的方程为x226 2 y4 242 ,或 x226 2 y4 242 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 对此题,易发生以下误会：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y0 相 切 且 半 径 为 4 , 就 圆 心 坐 标 为C a , 4, 且 方 程 形 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xa 2 y4242

9、 又圆x2y24 x2 y40 ,即 x22 y1232 ,其圆心为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A2 ,1, 半 径 为 3 假 设 两 圆 相 切 , 就 CA43 故 a2241272 , 解 之 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a22 10 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 x22 10 2 y424, 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x22 10 2 y4242 可编辑资料 - -

10、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述误会只考虑了圆心在直线y0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线y0 下方的情形另外,误可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解中没有考虑两圆内切的情形也是不全面的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3 求经过点A 0 , 5 ,且与直线 x2 y0 和 2 xy0 都相切的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：欲确定圆的方程 需确定圆心坐标与半径, 由于所求圆过定点A ,故只需确定圆心坐标 又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品_精品资料_解： 圆和直线 x2 y0 与 2 xy0 相切,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C 在这两条直线的交角平分线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆心到两直线 x2 y0 和 2 xy0 的距离相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y5x2 y5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两直线交角的平分线方程是x3 y0 或 3xy0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品_精品资料_又圆过点A0 , 5 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 C 只能在直线 3xy0 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心Ct, 3t 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C 到直线 2xy0 的距离等于 AC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2t3t5t 23t5 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简整理得 t 26t50 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得： t1或 t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆

13、心是1 , 3 ,半径为5 或圆心是5 ,15 ,半径为 55 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆的方程为x12 y325 或 x5 2 y152125 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,从而确定圆心坐标得到圆的方程,这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满意： 1截 y 轴所得弦长为 2. 2 被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为3 :1 ,在满意条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 的全部圆中,求圆心到直

14、线l： x2 y0 的距离最小的圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程满意两个条件的圆有很多个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,假设能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 设圆心为Pa , b ,半径为 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a 由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为90 ,故圆截

15、 x 轴所得弦长为2 r r 22b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆截 y 轴所得弦长为 2 r 2a 21 又 Pa , b 到直线 x2 y0 的距离为a2bd5 5d 2a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 24b 24ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 24b 22a2b 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2b2a 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 ab 时取“ =”号,此时5d min5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

16、精品资料_ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这时有2b2a21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1a1或b 1b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 r 22b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12 y122 或 x12 y122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二： 同解法一,得a2bd5 a2b5d 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 24b 245bd5d 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 a 22b 21 代入上式得：可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品_精品资料_2b 245bd5d 210 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述方程有实根,故285d10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d55将 d55代入方程得 b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 2b2a 21 a1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a2b1知 a 、 b 同号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为x12 y122 或 x12 y122 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 此题是求点到直线距

18、离最小时的圆的方程,假设变换为求面积最小了？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知圆O： x2y24 ,求过点P 2,4与圆 O 相切的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 点 P2,4不在圆 O 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线 PT 的直线方程可设为yk x24依据 dr2k42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得k1k234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以y3 x4即3 x4 y24100可编辑资料 -

19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_由于过圆外一点作圆得切线应当有两条,可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2 说明： 上述解题过程简单漏解斜率不存在的情形,要留意补回漏掉的解此题仍有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于0 解决也要留意漏可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解仍可以运用x0 xy0 yr 2 ,求出切点坐标x0 、y0 的值来解决,此时没有漏解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6 两圆C ： x22yD1xE1yF10 与 C ： x2y2D xE2 yF20 相交于 A 、

20、B 两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_122点,求它们的公共弦AB 所在直线的方程分析： 第一求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程太繁为了防止求交点,可以采纳“设而不求”的技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设两圆C1 、 C 2 的任一交点坐标为x0, y0 ,就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y0D1x0E1y0F10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x0y0D2 x

21、0E2 y0F20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得： D1D 2 x0E1E2 y0F1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ A、 B 的坐标满意方程D1D 2 x E1E2 yF1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 D1D2 xE1E2 yF1F20 是过 A 、 B 两点的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又过 A 、 B 两点的直线是唯独的可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_两圆C1 、 C2 的公共弦 AB 所在直线的方程为 D1D 2 x E1E 2 yF1F20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 上述解法中,奇妙的躲开了求A 、 B 两点的坐标,虽然设出了它们的坐标,但并没有去求它,而是利用曲线与方程的概念到达了目标从解题的角度上说,这是一种“设而不求”的技巧, 从学问内容的角度上说,仍表达了对曲线与方程的关系的深刻懂得以及对直线方程是一次方程的本质熟悉它的应用很广泛可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、过圆x2y21 外一点M 2,3,作这个圆的两条切线MA 、 MB ,切点分别是 A 、

23、B ,求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 AB 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：1求过点2M 3,1 ,且与圆 x12y4 相切的直线 l 的方程 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设切线方程为y1kx3 ,即kxy3k10 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心 1,0 到切线 l 的距离等于半径 2 , | k3k1|2 ,解得 k3 ,k 21 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_切线方程为 y13x3 ,即 3x44 y130 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当过点 M

24、 的直线的斜率不存在时,其方程为x3 ,圆心 1,0 到此直线的距离等于半径2 ,故直线 x3 也适合题意.所以,所求的直线 l 的方程是 3x4 y130 或 x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、过坐标原点且与圆x 2y 24x2 y520 相切的直线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设直线方程为y10kx ,即 kxy2k10 .圆方程可化为 x102 2 y1125,圆心为 2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-1 ,半径为.依题意有2k 21,解得 k23 或 k,直线方程为3y3x 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品_精品资料_y1 x .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、已知直线 5x12 ya0 与圆 x 22 xy 20 相切,就 a的值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：圆 x1 2y 21的圆心为 1, 0,半径为 1,5a5212 21,解得 a8 或 a18.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型三：弦长、弧问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8、求直线l : 3xy60 被圆C : x 2y22 x4 y0 截得的弦 AB 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

26、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9、直线3xy230 截圆x 2y 24 得的劣弧所对的圆心角为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意得,弦心距d3 ,故弦长 AB2r 2d 22 ,从而 OAB 是等边三角形,故截可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得的劣弧所对的圆心角为AOB.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10、求两圆 x2y2xy20 和 x2y25 的公共弦

27、长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类型四：直线与圆的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11、已知直线3xy230 和圆x2y24 ,判定此直线与已知圆的位置关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12、假设直线 yx m与曲线 y4x2有且只有一个公共点,求实数m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：曲线y4x 2表示半圆 x2y 24 y0 ,利用数形结合法,可得实数m 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下

28、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围是2m2 或 m22 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13 圆 x32 y329 上到直线 3x4 y110 的距离为 1 的点有几个？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1、 l 2 的方程,从代数运算中查找解答可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一： 圆 x3 2 y3 29 的圆心为O1 3

29、, 3,半径 r3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1到直线 3 x4 y110 的距离为 d ,就 d334323114223 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图, 在圆心O1 同侧,与直线 3x4 y110 平行且距离为 1 的直线l1 与圆有两个交点,这两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个交点符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 rd321可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与直线 3x4 y110 平

30、行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3 x4 y110 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求直线为 3 x4 ym0 ,就 dm111,3242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m115 ,即 m6 ,或 m16 ,也即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑

31、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1：3x4 y60 ,或l2：3x4 y160 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆 O ： x3 2 y3 29 的圆心到直线l 、 l的距离为d 、 d ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1d33436132423 , d2334321212316142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ l1 与 O1相切,与圆点共 3 个O1 有一个公共点.l2 与圆 O1 相交,与圆O1 有两个公共点即符合题意的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明： 对于此题,假设不留心,就易发生以下误会：334311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设圆心O1到直线 3 x4 y110 的距离为 d ,就 d324223 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆 O1到 3x4 y110 距离为 1 的点有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -