2022年高二数学平面的基本性质.docx

《2022年高二数学平面的基本性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高二数学平面的基本性质.docx（96页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆高二数学平面的基本性质本周课题：平面的基本性质教学目标：把握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够依据图形想象它们的位置关系.重点难点：1. 懂得平面的无限延展性. 正确的用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系.初步把握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化.2. 懂得公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题 . 懂得公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点 ”和“三点共线

2、 ”问题 . 懂得公理三的三个推论. 进一步把握“点线共面 ”的证明方法 . 将三条定理及三个推论用符号语言表述,提高几何语言水平. 通过公理三导出其三个推论的摸索与论证培育规律推理才能本周内容要点：1. 平面的两个特点：无限延展平的 没有厚度 平面是没有厚薄的,可以无限延长,这是平面最基本的属性,一个平面把空间分成两部分,条直线把平面分成两部分.2. 平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1) 一个平面：水平放置和直立.当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成45,横边画成邻边的2 倍长,如图 11.(2) 直线与平面相交,如图12 、3 ,：(3) 两个相交平面：画两个相交平面

3、时,如一个平面的一部分被另一个平面遮住,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画 如图 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆3. 平面的画法及其表示方法：在立体几何中,常用平行四边形表示平面. 当平面水平放置时,通常把平行四边形的锐角画成 45,横边画成邻边的两倍. 画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮

4、住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画.一般用一个希腊字母来表示,仍可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面,平面 AC 等.4. 空间图形是由点、线、面组成的.空间图形的基本元素是点、直线、平面. 从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、 平面看成是点的集合, 因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外, 仍可借用集合中的符号语言来表示 . 规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示, 点用一个大写的英文字母表示,而平面就用 个小写的希腊字母表示 .点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言 读法 A a点 A 在直线 a 上点 A 不在直线a 上点 A 在

5、 平面内点 A 不在平面内可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆ab=A直线 a、 b 交于 A 点直线 a 在平面内直线 a 与平面无公共点直线 a 与平面交于点 A平面相交于直线l集合中 “ ”的符号只能用于点与直线,点与平面的关系,“”和“的”符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系,虽然借用于集合符

6、号,但在读法上仍用几何语言.平面外的直线a表示5. 平面的基本性质立体几何中有一些公理,构成一个公理体系. 人们经过长期的观看和实践,把平面的三条基本性质归纳成三条公理.公理 1 假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的全部点都在这个平面内.推理模式：,如图示：或者：应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面,如泥瓦工用直的木条刮平的面上的水泥浆.判定直线在平面内.判定点在平面内. 模式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 48 页 - - - - - - - - - -

7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆公理 1 说明白平面与曲面的本质区分. 通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延长 ”来描述平面的“无限延展性”,它既是判定直线在平面内,又是检验平面的方法.公理 2 假如两个平面有一个公共点,那么它们仍有其他公共点,且全部这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.推理模式：,如下列图：或者：应用：确定两相交平面的交线位置.判定点在直线上.公理 2 揭示了两个平面相交的主要特点,是判定两平面相交的依据,供应了确定两个平面交线的方法 .

8、指出：今后所说的两个平面或两条直线,如无特殊说明,均指不同的平面直线 .公理 3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推理模式：或者： A , B, C 不共线,存在唯独的平面应用：确定平面.证明两个平面重合.“有且只有一个”的含义分两部分懂得,“有”说明图形存在,但不唯独,“只有一个 ”说明图形假如有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性, 又保证了图形的唯 性. 在数学语言的表达中,“确定一个 ”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个 ”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性 ”和 “唯独性 ”两方面来论证.推论 1 经

9、过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆已知：直线l,点 A 是直线 l 外一点 .求证：过点A 和直线 l 有且只有一个平面.证明： 存在性 ：在直线l 上任取两点B、 C,由公理3,经过不共线的三点A, B, C 可确定一个平面点 B , C 在平面内,依据公理1,即平面是经

10、过直线l 和点 A 的平面. 唯独性 ：由公理3,经过不共线的三点A, B, C 的平面只有一个,所以,经过l 和点 A 的平面只有一个.推理模式：推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面.已知：直线求证：过直线a 和直线 b 有且只有一个平面.证明： 存在性 ：在直线a 上任取两点A ,直线 b 上 B ab=P, A , B, P 不共线.由公理3,经过不共线的三点A, B, P 可确定一个平面点 A , B , P 在平面内,依据公理1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 48 页 - - - - -

11、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆是经过直线a 和直线b 的平面. 唯独性 ：由公理3,经过不共线的三点A, B, P 的平面只有一个,所以经过直线a 和直线 b 的平面只有一个.推理模式：推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面.已知：直线a b求证：过直线a 和直线 b 有且只有一个平面证明： 存在性 ： a b 由平行线的定义,直线a 和直线b 在同一个平面内即平面是经过直线a 和直线b 的平面. 唯独性 ：取 A , C a, B b,点 A , B ,

12、 C 不共线且由公理3,经过不共线的三点A , B, C 的平面只有一个,所以,经过直线a 和直线b 的平面只有一个 .推理模式：6. 两条直线的位置关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆异面：不同在任何一个平面内,没有公共点如直线a 与直线 b、直线 c 都相交,就直线a 与直线 b 的位置关系是：相交、平行、异

13、面(1) 空间平行直线两条平行直线：同一平面内不相交的两条直线.三条直线两两平行：确定一个平面或三个平面公理四：平行于同一条直线的两条直线相互平行.定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角 相等.(2) 空间异面直线两条异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线.三条直线两两异面：如直线a 与直线 b、直线 c 都异面,就直线a 与直线 b 的位置关系是：相交、平行、异面异面直线a、b 所成的角：异面直线a、b 的公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线.异面直线a、b 的距离：两条

14、异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段 公垂线段 的长度.异面直线的判定：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面本周例题：例 1. 已知：一条直线与两条平行直线都相交,求证：这三条直线共面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆已知,直线a,b,c 满意 a b, ac=A,bc=B,求证： a,

15、 b, c 共面.证明： a b,过 a, b 可确定一个平面又 A c,B c所以 a, b, c 共面.例 2. 已知, ABC 的三条边的延长线与平面交于 P、 Q、R 三点,求证： P、Q、R 三点共线.证明： A , B, C 为不共线的三点过 A , B , C 可以确定一个平面由公理2 知同理,所以 P、Q、R 三点共线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -

16、- - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆例 3. 由空间中的四个点可以组成几个平面？解： 1 如四点在同始终线上,就可组成许多个平面.(2) 如四点共面,但不在同始终线上,就可组成1 个平面.(3) 如四点不共面,就可组成4 个平面.例 4. 已知如图,E、F 、G、H 分别在空间四边形ABCD 四边上的点,求证： EH FG .证明：由公理4 知 EH FG. 评当 m=n 时,四边形EFGH 是平行四边形.当mn时,四边形EFGH 是梯形.例 5. 如图,四周体A-BCD中, AD BD , AD CD , BD CD ,且 AD=BD=CD=2,点 E 是线段 AB 的中

17、点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆(1) 求证： DE 是异面直线AB 与 CD 的公垂线.(2) 求异面直线AB 与 CD 间的距离.(3) 求异面直线DE 与 BC 所成的角.解： 1 在 Rt ABD 中 AD=BD=2 , E 为线段AB 的中点,连结 CE,由题意知在ABC 中,在 CDE 中即DE22

18、2+CD =CE CDE=90即 DE CD DE 是异面直线AB 与 CD 的公垂线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆(2) 异面直线AB 与 CD 间的距离是(3) 取 AC 中点 F,连结EF, DF ,在 ABC 中EF BC 且 DEF 为异面直线DE 与 BC 所成的角在 Rt ADC 中, AD=

19、CD=2在 DEF 中异面直线DE 与 BC 所成的角为60.高二数学直线与平面平行、直线与平面垂直本周题目：直线与平面平行、直线与平面垂直本周重点：1. 空间直线和平面的位置关系2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理3. 直线和平面垂直的判定定理和性质定理本周难点：1. 敏捷运用线面平行的判定定理和性质定理把握实现“线线 ”线“面 ”平行的转化.2. 应用直线与平面垂直的性质定懂得决相关问题本周内容：1. 直线和平面的位置关系(1) 直线在平面内 许多个公共点 .(2) 直线和平面相交 有且只有一个公共点.(3) 直线和平面平行 没有公共点 - 用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如

20、下,符号分别可表示为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆2. 直线与平面平行的判定与性质(1) 判定定理：(2) 性质定理：3. 线面垂直定义：假如一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面相互垂直,其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足.直线与平面垂

21、直简称线面垂直,记作：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆4. 直线与平面垂直的判定与性质(1) 判定定理：(2) 性质定理：本周例题：例题 1 如图 5 两个完全相等的正方形ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,点 M ,N 分别在它们的对角线AC 、BF 上,且CM=BN ,求证： MN 平面 BCE .证明

22、 1：连结AN 并延长交BE 于 G,连结CG, 如图 6易得 AFN GBN ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆由题设 CM=BN得 AM=FN故：而得 CG平面CBE .证明 2：过 M , N 作 MH AB ,交 BC 于 H , 作 NG AB 交 BE 于 G,连接 GH ,得 MH NG ,又易

23、得Rt CMH Rt BNG ,得 MH=NG故四边形MNGH是平行四边形,MN HG而故 MN 平面CBE .评点： 证明线面平行的关键是找到平面内的某一条未知直线与平面外的已知直线平行, 方法是逆用线面平行的判定定理,即利用性质定理的 “思路 ”过面外已知直线作平面与已知平面的 “交线”,然后证明,已知直线与交线平行即可得证.例题 2 已知：直线a平面,直线a平面 ,平面平面 =b求证： a b分析：利用公理4,寻求一条直线分别与a,b 均平行,从而达到a b 的目的,可借用已知条件中的证明：经过a 作两个平面分别相交于直线c 和 d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资

24、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆 a c,a d c d又又 c b,又 a c所以, a b证明 2：在 b 上取一点P,而又同理而 b, b与 b 均过 P 点, b, b重合即 b为两平面的交线b, a b评点：帮助线面 是解证有关线面问题的关键,要充分发挥帮助线与帮助面在转化空间问题为平面问题中的化归作用.例题 3 已知： ABCD为正方形, SA 平面A

25、BCD ,过 A 且垂直于SC 的平面分别交SB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 15 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆SC, SD 于 E、F、 G求证： AE SB, AG SD分析： 要证明线线垂直,应充分挖掘题设中的垂直关系,然后利用判定定理及性质定理证明.证明： SC平面AEFG , SC AE ,又 SA 平面ABCD , SA BC

26、又 AB BC , BC 平面 SAB而, BC AE ,而 SCBC=C , AE 平面SBC , AE SB又 SC平面AEFG , SC AG SA 平面 ABCD , SA CD , 而 CD AG , CD 平面 ASD ,又, CD AG , AG 平面SCD , AG SD评点：证不共面的线线垂直,常先证线面垂直,即证其中一线垂直于过另一线的平面.合理挑选平面是解题的关键.例题 4 在平面有始终径为AB 的 O,SA 平面,且 SBA=30 ,在 O 上的点 M 使MAB=,又知点A 在 SB 、 SM 上的射影P, Q,如下列图求证： 1SB 平面APQ2证明： 1 BM AM

27、 , BM SA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 16 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆而 SAAM=A, BM 面 SAM ,又, BM AQ而 AQ SM, BMSM=M故 AQ 平面SBM而, AQ SB又由 AP SB , APAQ=A ,就 SB 平面 APQ2 AM B 同, AMB是直角三角形,又 AQ 平面SBM , AQ PQ故

28、 APQ 是 Rt ,又易得Rt SPQ Rt SMB ,又 Rt SAM 中,故：而 Rt SPA 中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 17 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆评点：此题涉及线面垂直,线线垂直,三角函数等多种学问技能,是一难度较大的综合题.第一联系2 与 sin30 的相像性,确定目标等式,应归结到30的 Rt SBA或 Rt SA

29、P 中加以解决.其次分析AQ 与平面 SMB 的关系,利用相像直角三角,三角形性质,分层次探究的表达式及关系,转化直角三角形的边之比.另外此题1 以后仍可以利用三垂线定理简化证明过程,请读者自行探究.例题5 已知： a, b 是两条异面直线, AB 是 a, b 公垂线,交a于 A ,交 b 于 B求证： AB l证明方法一：利用线面垂直的性质定理过 A 作 b b,就 a,b可确定一平面 AB 是异面垂线的公垂线,即 AB a, AB b AB b l a,l b l b证明方法二：利用同一平面内垂直于同始终线的两条直线相互平行 AB 是异面直线a, b 的公垂线,过AB 与 a 作平面可编

30、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 18 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆又 m AB又过 AB 作平面 g, 同理： n AB m n,于是有又 AB 本周练习：1. 已知 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1) 求证： MN 平面 PAD .(2) 如 MN=BC=4 ,求异面直线PA 与 MN 所成的角

31、的大小.2. 点 P 位于三角形ABC所在平面之外,PA、PB 、PC 两两垂直, PA=PB=PC , G 是 PAB的重心, E 是 BC 上的一点,且F 是 PB 上的一点,且求证： 1GF 平面PBC. 2FE BC(3) GE 是异面直线PG 与 BC 的公垂线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 19 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆3. 已

32、知两条异面直线 AB 与 CD 所成角等于 ,且 AB=m , CD=n ,平面 MNPQ 与 AB 、CD都平行,且 M , N , P, Q 依次在线段 AC 、BC 、BD 、AD 上,问： M 点在何位置时 MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？参考答案：1. 略证 1 取 PD 的中点 H ,连接 AH ,解 2 ：连接 AC 并取其中点为O,连接 OM 、ON就 OM 平行且等于BC 的一半, O 怦行且等于PA 的一半,所以 ONM 就是异面直线PA 与 MN 所成的角,由 MN=BC=4 ,所以 ONM=30,即异面直线PA 与 MN 成 30的角.2. 证明： 1 连结 BG

33、 和 PG,并延长分别交PA 、 AB 于 M 和 D在 PBM 中, G PAB 的重心 GF PM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 20 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆又 PA PB , PA PC PA平面 PBC,就 GF平面PBC(2) 在 EC 上取一点Q 使,结 FQ又 PB=PC , FB=FQ E 是 BQ 的中点, FE BQ

34、,即 FE BC(3) 连结 GE , GF平面PBC由三垂线定理得GE BC 于 E取 BF 中点 N ,连结 EN ,就 EN FQ PC PC平面 PAB , EN 平面PAB ,连结 NG ,那么 NG 是 EG 在平面 PAB 上的射影, 在 Rt PDB 中, NG DB , NG PD由三垂线定理得EG PD 于 G, GE 是异面直线PG 与 BC 的公垂线3. 提示：引入参数,设CM ： MA=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 21 页,共 48 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆同理,又易证截面四边形MNPQ 是平行四边形,当且仅当=1时,高二数学直线与平面所成的角本周学习要点：直线与平面所成的角本周学习内容： 斜线在平面内的射影、直线与平面所成角的概念、直线与平面所成角的求法.基本概念：一 . 斜线在乎面内的射影：定义： 过一点向平面引垂线,垂足叫做这点在平面内的射影.这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和一个平面相交,但不