2022年高数下册公式总结.docx

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1、精品_精品资料_第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示aaxiay jazk ax , ay , az 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量有大小、有方向 .记作 a 或 ABaxprj x a, ayprj y a, azprj za可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_模向量 a 的模记作 aaa 2a 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和差cabaxbx, ayby , azbz可编辑资料 - - - 欢

2、迎下载精品_精品资料_cabcab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0 ,就 eaax , ay , az e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位向量aaaa 2a 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxyzax , cosayaz, cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方向余弦设 a 与 x, y, z 轴的夹角分别为, ,aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就方向余弦分别为 cos, cos, coseacos , cos, cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2+cos

3、2cos 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a b点乘（数量积）角a b cos,为向量 a 与 b 的夹a baxbxa ybyazbz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c叉乘（向量积）caba b sin为向量 a 与 b 的夹角ijk abaxa yaz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 c 与 a , b 都垂直定理与公式bxbybz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_垂直aba b0abaxbxaxay byayazbz0az可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平

4、行a / bab0a ba / bbxax bxbya y bybzazbz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交角余弦两向量夹角余弦cosa bcos222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axayazbxbybz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 a 在非零向量 b 上的投影axbxa y byazbz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_投影prj aa cosa ba bprj ba222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbbxbybz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面直线可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_法向量 n A, B,C点 M 0 x0 , y0 , z0 方向向量 T m, n, p点 M 0 x0,y0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程名称方程形式及特点方程名称方程形式及特点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式AxByCzD0一般式A1 xA 2 xB1 yB 2 yC 1 zD 10C 2 zD 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点法式A xx0 B yy0 Czz0 0点向式x 0 my y0nz z0 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx1y y1z z1xx0mt

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三点式x 2x1y2y1z2z10参数式yy0ntx3x1y3y1z3z1zz0pt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截距式xyz1abc两点式x x0x1x0y y0y1y0z z0z1z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面面垂直面面平行A1 A2B1B 2A1B1A2B2C1C 20C1C 2线线垂直线线平行m1m2m1 m2n1n2n1 n 2p1 p 20p1 p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线面垂直ABCmnp点面距离线面平行AmBnCp0面面距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

7、精品资料_M 0 x0,y0 , z0 AxByCzD0AxByCzD10AxByCzD20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax0dBy0Cz0DdD1D2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2B 2C 2A2B2C 2面面夹角线线夹角线面夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1A1, B1 ,C1 n2 A2, B2,C2s1 m1 , n1 ,p1s2 m2 , n2 , p2s m, n, pn A, B,C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

8、品资料_cos| A1A2B1B2C1C2 |cosm1m2n1n2p1 p22sinAmBnCp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222A1B1C1222A2B2C2m1n1p1m2n2p2A2B2C 2m2n2p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222xx0y y0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xt,yt,切向量ztt ,Tt0 ,t0 ,t0 切“线”方程：空法平“面”方程：t 0 t 0t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间t 0 x曲x0 t 0 yy0 t

9、 0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线：yx切向量切“线”方程：x x01y y 0 x 0 z z 0 x 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zxT1 ,x , x法平“面”方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ xx0 x0 yy0 x0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法向量切平“面”方程：Fx x0 , y 0 , z0 xx0 Fx x0 , y0 , z0 yy 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品_精品资料_空F x, y, z0间n Fx x0, Fy x0,y0, z0 ,y0 , z0 ,F x x0 , y0 , z0 zz0 0法“线“方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲Fz x0,y0 , z0 x x0y y 0z z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面：zf x, ynf x x0 , y 0 ,f y x0 , y 0 , 1 Fx x 0 , y 0 , z0 切平“面”方程：F y x 0 ,y 0 , z0 F z x0 , y 0 , z0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0 x或x0

11、f y x0 , y 0 yy 0 zz0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n f x x0 , y0 ,f y x0 , y0 ,1法“线“方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0yy0zz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0 f y x0, y0 1第十章 重积分重积分积分类型运算方法典型例题（1） 利用直角坐标系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X型f x,Dy dxdyb2 xdxfa1 x d2 y x, ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

12、精品资料_二重积分Y型D（2） 利用极坐标系f x, y dxdydyc1 yf x, y dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_If x, y dD使用原就(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧 , 直线段 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面薄片的质量(2) 被积函数用极坐标变量表示较简洁含 x2y2 ,为实数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质 量 = 面 密 度面积f cos ,sinddD2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_df1 cos ,sind可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0202（3） 利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时,（关于 x 轴对称时,有类似结论）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0f x,y) 对于x是奇函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即f x, yf x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I2fD1 x, y dxdy f x, y对于x是偶函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_即f x, yf x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_运算步骤及留意事项1. 画出积分区域D1是D的右半部分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 挑选坐标系3. 确定积分次序标准：域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分别原就：积分区域分块少,累次积分好算为妙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 确定积分限5. 运算要简便方法：图示法先积一条线,后扫积分域留意：充分利用对称性,奇偶性投影法1利用直角坐标截面法by2 x z2 x, y 投影f x, y, z dVadxy1 x dyz1 x, yf x, y, zdz（2）

15、利用柱面坐标x r cosy r sinz z三重积分相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标If x, y, zdv适用范畴 :1 积分区域 表面用柱面坐标表示时 方程简洁. 如 旋转体2 被积函数 用柱面坐标表示时b变量易分别. 如 f x2y2 f x2z2 f x, y, zd Vadzdr2 r1 f cos,sin, zd空间立体物的质量（3）利用球面坐标质 量 = 密 度面积x y zdvcos sinr cosr 2 sinr sincosr sinsindrdd适用范畴 :1 积分域 表面用球面坐标表示时 方程简洁 ; 如,球体,锥体2 被积函数 用球面坐标表示时2 , 变

16、量易分别 .如,f x2.2yz 2I2d2df sin cos ,sinsin ,2111 , cos sin d（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型运算方法典型例题参数法 （转化为定积分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一类曲线积分（ 1） L : y xIf t,t 2 t2 t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_If x, ydsLx t b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） L :tIf x, y x1y x dx可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲形构件的质量质 量 = 线密 度y t ax r cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弧长（ 3） rr L :y r sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_If r cos,r sinr 2 r 2 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 参数法 （转化为定积分）xtL :t单调的从 到 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yPdxLtQdy P t,t t Qt ,t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 利用格林公式 （转化为二重积分）条件： L 封闭,

18、分段光滑,有向（左手法就围成平面区域D） P, Q具有一阶连续偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面其次类曲线结论：PdxLQdy QDxPdxdy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积分应用：满意条件直接应用有瑕点,挖洞不是封闭曲线,添加辅 助线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_LIPdxQdy（3） 利用路径无关定理 （特别路径法）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等价条件：QPxyPdxLQdy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精

19、品_精品资料_PdxLQdy与路径无关,与起点、终点有关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变力沿曲线所做 PdxQdy 具有原函数u x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的功（特别路径法,偏积分法,凑微分法）（4） 两类曲线积分的联系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IPdxLQdyPcosLQcosds可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 参数法（转化为定积分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间其次类曲线PdxQdyRdz Pt ,t ,t t Qt ,t , tt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

20、资料_积分Rt ,t,t t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 利用斯托克斯公式 （转化其次类曲面积分）IPdx Qdy Rdz条件： L 封闭,分段光滑,有向L P, Q,R 具有一阶连续偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变力沿曲线所做的功结论：PdxLQdyRyRdzQ Pdydzz zR Qdzdxxxpdxdyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一类曲面积分应用：投影法满意条件直接应用不是封闭曲线,添加辅 助线可编辑资料 - -

21、- 欢迎下载精品_精品资料_If x, y, zdv： zzx, y投影到 xoy面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I曲面薄片的质量质 量 = 面密 度f x, y,zdvzyxDxyf x, y, zx, y 12z2dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面积类似的仍有投影到yoz面和 zox 面的公式（1）投影法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1PdydzDyzp x y, z, y, zdydz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_： zzx, y , 为的法向量与 x 轴的夹角前侧取“ +”, cos0 .后侧取“”, cos

22、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2QdzdxDyzpx, y x, z, zdzdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次类曲面积分： yyx, z ,为的法向量与 y 轴的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右侧取“ +”, cos0 .左侧取“”, cos0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3QdxdyDyzQ x, y, zx, ydxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_IPdydz Qdzdx Rdx：dy xx y, z ,为的法向量与 x 轴的夹角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_流体流向曲

23、面一侧的流量上侧取“ +”, cos0 .下侧取“”, cos0（2）高斯公式右手法就取定的侧条件： 封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧 P, Q,R 具有一阶连续偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论：PdydzQdzdzRdxdyPQRxyz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用：满意条件直接应用不是封闭曲面,添加辅 助面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx RdxdyPcosQcosRcos d

24、S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_转换投影法：dydzz dxdydzdxz dxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy全部类型的积分：1 定义：四步法分割、代替、求和、取极限.2 性质：对积分的范畴具有可加性,具有线性性.3 对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第十二章 级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用收敛定义,一般limnsn 存在1如级数收敛 ,各项同乘同一常数仍收敛2 两个收敛级数的和差仍收敛注： 一敛、一散之和必发散.两散和

25、、差必发散.3 去掉、加上或转变级数有限项不转变其收敛性4 如级数收敛就对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项常数项级数的基本性质级数常数项级数的基本性质常推论 假如加括号后所成的级数发散就原先级数也发散注： 收敛级数去括号后未必收敛.5 （必要条件） 假如级数收敛就 lim un0n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数交叉项级数级莱布尼茨判别法如 unun 1且 lim un n0 ,就n 11 n1收敛un可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数比较判别法un 和vn 都是正项级数,且unvn .

26、如vn 收敛,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_un 也收敛.如正un 发散,就vn 也发散 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项比较判别法u n 和v n 都 是正 项 级 数 , 且u nlimnv nl, 就 1 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_级的极限形式数0l,un 与vn 同敛或同散 ; 2 如 l0 ,v n 收可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_敛,u n也收敛.3 假如 l,v n 发散,u n 也发散.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u n 是正项级

27、数,nlimun 1, lim n u,就1 时收可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比值判别法根值判别法nunn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_敛.1 时发散.1时可能收敛也可能发散 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n收ax n ,lima n 1, R1 ,0; R,0; R0 ,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_敛n 0na n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性无幂穷和级级函数数数缺项级数用比值审敛法求收敛半径s x 的性质 1 在收敛域 I 上连续 ;2 在收敛域 R , R 内可导,且可逐项求导;3 和函数

28、 s x 在收敛域 I 上可积分,且可逐项积分. R不变,收敛域可能变化 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_展直接绽开 :泰勒级数间接绽开 :六个常用绽开式成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n幂11x级数n1x 1x1ex1nxxn 1 n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T2傅T2lf xa02 ann 1cos nxbn sin1nx a 0f x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1立a n叶1f x cos nxdxbnf x sin1nxdx收敛定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_级x 是连续点 ,收敛于数周期f x; x 是间断点 ,收敛于 f x2f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_延拓fx 为奇函数,正弦级数,奇延拓.f x 为偶函数,余弦级数、偶延拓.可编辑资料 - - - 欢迎下载