2022年高考数学总复习教案选修--几何证明选讲第课时-相似三角形的进一步认识 .docx

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1、精品_精品资料_选修 4 1几何证明选讲 第 1 课时相像三角形的进一步熟悉对应学生用书 理179181 页考情分析考点新知 懂得平行截割定理,相像三角形的判定定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用平行截割定理,相像三角形的判定定理与性质定懂得决有关三角形问题理与性质定理,能运用它们解决三角形中的运算与证明问题 .明白直角三角形的射影定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 如图, ABC 中, DE BC, DF AC , AE AC 3 5,DE 6,求 BF 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： DE AE63BC 10,可编辑资料

2、- - - 欢迎下载精品_精品资料_BCACBC5 BF 106 4.2. 如图,在 ABC 中, DE BC , DE 分别与 AB 、AC 相交于点 D、E,假设 AD 4, DB 2,求 DE 与 BC 的长度比解： 由于 DE BC ,所以 DE AD4236BCAB .作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如图,在 ABC 中, DE BC , EF CD.且 AB 2, AD 2,求 AF 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 设 AF x,就由 AD AE AF ,2x,解得 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DBE

3、CDF2 22 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24. 如图, 四边形 ABCD 中,DF AB ,垂足为 F,DF 3,AF 2FB 2,延长 FB 到 E, 使 BE FB. 连结 BD 、EC,假设 BD EC ,求 BCD 和四边形 ABCD 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： SBCD SBDE1 BE DF 11 33SABCD SADE1 AE DF 143可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 26., 四边形22 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如图,平行四边形ABCD 中, AE EB 1 2, A

4、EF 的面积为 6,求 ADF 的面积解： 由题意可得 AEF CDF ,且相像比为 13,由 AEF 的面积为 6,得 CDF 的面积为 54.又 SADF SCDF 1 3,所以 SADF 18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论定理：假如一组 平行线 在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也 相等推论：经过梯形一腰的中点 而平行于底边的直线平分另一腰(2) 平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形的边与原三角形的对应边作文录可编辑

5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成比例(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比(4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于 两底,并且等于 两底和的一半2. 相像三角形(1) 相像三角形的判定判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相像b. 两边对应成比例 且夹角 相等 的两个三角形相像c. 三边对应成比例 的两个三角形相像推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相像直角三角形相像的特别判定斜边与一条 直角边 对应成比例的两个直角三角形相像(2) 相像三角形的性质相像三角形的对应线段的比等于相像比 ,面积比等于 相

6、像比的平方(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方 等于该直角边在斜边上的射影 与斜边的 乘积 ,斜边上的 高的平方等于两条直角边在斜边上射影 的乘积备课札记 作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 1平行线分线段成比例问题例 1如图,在梯形ABCD 中, AD BC, ADC 90, E 是 AB 边的中点,求证：ED EC.证明： 如图,过 E 点作 EF BC 交 DC 于点 F.在梯形 ABCD 中, AD BC, AD EFBC. E 是 AB 的中点, F 是 DC 的中点 ADC 90, DFE 90. EF 是 DC 的垂直平分线, EDEC.备

7、选变式老师专享如图,在 ABC 中,作直线 DN 平行于中线AM ,设这条直线交边AB 于点 D,交边CA 的延长线于点 E,交边 BC 于点 N.求证： AD AB AE AC.证明： AM EN , AD AB NM MB , NM MC AE AC. MB MC , AD AB AE AC.题型 2三角形相像的证明与应用作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知：如图,在等腰梯形ABCD 中, AD BC ,AB DC ,过点 D 作 AC 的平行线 DE,交 BA 的延长线于点E.求证：(1) ABC DCB .(2) DE DC AEBD.证明： 1 四边形 A

8、BCD 是等腰梯形, AC DB. AB DC , BC CB , ABC BCD.2 ABC BCD , ACB DBC ,ABC DCB , AD BC, DAC ACB ,EAD ABC. EDAC , EDA DAC , EDA DBC ,EAD DCB. ADE CBD. DEBD AE CD , DEDC AEBD.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,在矩形ABCD 中, AB 12AD ,E 为 AD 的中点,连结 EC,作 EF EC,且 EF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交 AB 于 F,连结 FC.设AB k,是否存在实数 k,使

9、 AEF 、 ECF、 DCE 与 BCF 都BC相像？假设存在,给出证明.假设不存在,请说明理由 解： 假设存在实数k 的值,满意题设先证明 AEF DCE ECF.由于 EF EC,作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 AEF 90DEC DCE.而 A D 90,故 AEF DCE.CEDECEAE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故得 EF AF .又 DE EA ,所以EF AF .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 CEF EAF 90,所以 AEF ECF.再证明可以取到实数k 的值,使 AEF BCF ,由于 AFE BFC

10、90,故不行能有 AFE BFC, 因此要使 AEF BCF ,应有 AFE BFC ,AEBC111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时,有AF BF,又 AE 2BC ,故得 AF 2BF 3AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AECD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 AEF DCE ,可知AF DE,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此,12BC12,2 3AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB 2所以 BC2 3 AB3,求得 k.4 BC23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可以验证,

11、当k2 时,这四个三角形都是有一个锐角等于60的直角三角形,故它们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都相像题型 3射影定理的应用例 3已知：如下图,在 Rt ABC 中, ACB 90, CD AB 于 D ,DE AC 于 E, DF BC 于 F.求证： AEBFAB CD 3.证明： ACB 90,CD AB , CD 2 AD BD ,故 CD 4 AD 2BD 2 .又在 RtADC 中, DE AC , RtBDC 中, DF BC , AD 2 AEAC ,BD 2 BFBC.作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ CD 4 AEBFACBC. AC

12、 BC ABCD , CD 4 AEBFAB CD ,即 AEBFAB CD 3.备选变式老师专享如图,在梯形ABCD 中, AD BC , AC BD ,垂足为 E, ABC 45,过 E 作 AD的垂线交 AD 于 F,交 BC 于 G,过 E 作 AD 的平行线交 AB 于 H. 求证：FG2 AFDF BGCGAHBH.证明： 由于 AC BD ,故 AED 、 BEC 都是直角三角形 又 EF AD ,EG BC ,由射影定理可知 AFDF EF2,BGCG EG2.又 FG2 FE EG 2 FE2 EG2 2FEEG AFDF BGCG 2FEEG ,ABC 45,如图,过点 H

13、 、A 分别作直线HM 、AN 与 BC 垂直,易知, AH 2FE, BH 2EG,故AHBH 2EFEG.所以 FG2 AFDF BGCG 2FEEG AFDF BGCG AHBH.1. 如图,在ABCD 中, BC 24, E、F 为 BD 的三等分点,求 BM DN 的值 解： E、F 为 BD 的三等分点,四边形为平行四边形, M 为 BC 的中点连 CF 交 AD 于 P,作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P 为 AD 的中点,由 BCF DPF 及 M 为 BC 中点知, N 为 DP 的中点, BM DN 12 6 6.2. 如图,在四边形 ABCD 中

14、, ABC BAD.求证： AB CD.证明： 由 ABC BAD 得ACB BDA , 故 A 、B、C、D 四点共圆,从而 CAB CDB.再由 ABC BAD 得 CAB DBA.因此 DBA CDB ,所以 AB CD.3. 如图,梯形 ABCD 中,AD BC ,EF 是中位线, BD 交 EF 于 P,已知 EP PF 1 2, AD 7 cm,求 BC 的长解： EF 是梯形中位线,得EF AD BC ,PEPEBE1PFFD1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD 7 AB 2, BCCD 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ PEPF 1 2,

15、 BC 2PF 14cm.4. 如图,已知 A 、B、C 三点的坐标分别为 0, 1、 1, 0、1, 0, P 是线段 AC 上一点, BP 交 AO 于点 D ,设三角形 ADP 的面积为 S,点 P 的坐标为 x , y,求 S 关于 x 的函数表达式作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 如图,作 PE y 轴于 E, PFx 轴于 F,就 PE x, PF y. OA OB OC 1, ACO FPC 45, PF FC y, OF OCFC 1 y, x 1 y,即 y 1 x, BF 2y 1 x. OEFP, BOD BFP,ODBOOD1可编辑资料 - -

16、 - 欢迎下载精品_精品资料_ PF BF,即y 1 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ODy 1 x1 x,1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AD 1 OD 11 x1 x2x ,1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112xx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22SADP AD PE 1x x,1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Sx 21 x0x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可

17、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,求|PA|2 |PB|2|PC|2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：不失一般性, 取特别的等腰直角三角形,不妨令 |AC| |BC| 4,就|AB| 42,|CD|作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1|AB| 22,|PC| |PD|1|CD|2,|PA| |PB|AD| 2 |PD|2222 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 10,所以|PA|2 |PB|2|PC|210 102 10.可编辑

18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如图,在ABCD 中, E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F, DE 2CD.(1) 求证： ABF CEB .(2) 假设 DEF 的面积为 2,求ABCD 的面积(1) 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形, A C, AB CD , ABF CEB , ABF CEB. 2 24.3. 如图,四边形ABCD 是正方形, E 是 AD 上一点,且 AE 1AD , N 是 AB 的中点,4NF CE 于 F,求证： FN2 EFFC.证明： 连结 NC 、NE ,设正方形的边长为a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_1 AE 4a, AN 112a, NE54 a.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BN 2a, BC a, NC 2 a.35 DE4a, DC a, EC 4a.又 NE 2 5 a2, NC 25a2 ,EC 2 25 2,16164a且 NE 2 NC 2 EC2, ENNC. NFCE, FN2 EFFC.作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在梯形 ABCD 中,点 E、F 分别在腰 AB 、CD 上, EF AD ,AE EB m n.求证： m nEF mBC nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解： 如图,连结 AC

20、,交 EF 于点 G. AD EFBC, DF AEmFCEB n ,nAEmCFn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AB m, CD .m n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 EG BC,FGAD , AE EGm, CF GF n,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBCm nCDADm n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ EG mBC , GF nAD.mnm n又 EF EG GF, m nEF mBC nAD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC 当 mn 1 时, EF12 AD ,即表示梯形的中位线

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比例线段：对于四条线段a、 b、c、d,假如其中两条线段的长度的比与另两条线段的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长度的比相等,即 abcd或 a b cd 那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 1 在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成统一单位(2) 当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式c(3) 比例线段是有次序的,假如说a是 b,c,d 的第四比例项,那么应得比例式为：bd.a请使用课时训练A 第 1课时见活页 .作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_备课札记 作文录可编辑资料 - - - 欢迎下载