2022年高考数学难点突破_难点__不等式的综合应用 2.docx

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1、精品_精品资料_设二次函数 x2.2fx= ax+bx+ca 0,方程 f x x=0的两个根 x1 、x2 满意 0 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当x 0, x1时,证明 x fx x1.2 设函数 fx的图象关于直线 x=x0对称,证明： x0.案例探究例 1用一块钢锭烧铸一个厚度匀称,且表面积为2平方M 的正四棱锥形有盖容器 如右图 设容器高为 hM ,盖子边长为 aM ,1 求a关于 h的解读式.2 设容器的容积为 V立方 M ,就当 h为何值时, V最大？求出 V的最大值 求解此题时,不计容器厚度命题意图：此题主要考查建立函数关系式,棱锥表面积和体积的运算

2、及用均值定论求函数的最值.学问依靠：此题求得体积V的关系式后,应用均值定理可求得最值.错解分析：在求得 a的函数关系式时易漏 h 0. 技巧与方法：此题在求最值时应用均值定理. 解：设 h是正四棱锥的斜高,由题设可得：消去由h 0得：所以 V ,当且仅当 h=即h=1时取等号故当 h=1M 时, V有最大值, V的最大值为立方 M.例 2已知 a, b, c是实数,函数 fx=ax2+bx+c, gx= ax+b,当 1x1时|f x| 1. 1 证明： |c| .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 证明：当 1 x1时, |gx| .23 设a 0,有 1x1时, gx的最

3、大值为 2,求 fx.命题意图：此题主要考查二次函数的性质、含有肯定值不等式的性质,以及综合应用数学学问分析问题和解决问题的才能.属级题目 .学问依靠：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引,而肯定值不等式的性质敏捷运用是此题的灵魂 .错解分析：此题综合性较强,其解答的关键是对函数fx的单调性的深刻懂得,以及对条件 “ 1x1时|fx| 1的”运用.肯定值不等式的性质使用不当,会使解题过程空洞,缺乏严密,从而使题目陷于僵局.技巧与方法：此题 2问有三种证法,证法一利用gx的单调性.证法二利用肯定值不等式： |a| |b| a|b| a|+|b|.而证法三就是整体处理gx与fx的关系 .1 证明

4、：由条件当 =1x1时, |fx| ,1取 x=0得： |c|=|f 0| ,1即 |c| 1.2 证法一：依题设 |f0| 而1f0= c,所以 |c| 当1. a 0时, gx= ax+b在 1, 1上是增函数,于是g1gxg1, 1x 1. |fx| ,1 1x1, |c| ,1 g1= a+b=f1 cf|1|+|c|=2,g1= a+b= f 1+c|f 2|+| c| 2,因此得 |gx| 2 1x1.当a 0时, gx= ax+b在 1, 1上是减函数,于是 g1gxg1 , 1x1, |fx| 1 1x1, |c| 1 |gx|=|f1 c| f|1|+| c| 2.综合以上结

5、果,当 1x1时,都有 |gx| 2.证法二： |f x| 1 1x1 |f 1| ,1|f1| ,1|f0| ,1 f x= ax2+bx+c, |a b+c| ,1|a+b+c| ,1|c| ,1因此,依据肯定值不等式性质得：|a b|=|a b+c c| a| b+c|+|c| ,2|a+b|=|a+b+c c| a|+b+c|+|c| ,2 gx= ax+b, |g 1|=| a+b|=|ab| ,2函数 gx= ax+b的图象是一条直线,因此|gx|在 1, 1上的最大值只能在区间的端点x=1或x=1处取得,于是由 |g 1| 得2|gx| 2, 1 x 1.当 1x1时,有 01,

6、 10, |fx| ,1 1x1, |f| ,1|f | .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此当 1x1时, |gx| f|+|f| 2.3 解：由于 a 0, gx在 1, 1上是增函数,当x=1时取得最大值 2,即g1= a+b=f1 f0=2. 1f0= f1 21 2= 1, c=f0= 1.由于当 1x1时, f x 1,即 fxf0 ,依据二次函数的性质,直线x=0为fx的图象的对称轴, 由此得 0 ,即b=0.由得 a=2,所以 fx=2 x2 1.锦囊妙计1. 应用不等式学问可以解决函数、方程等方面的问题,在解决这些问题时,关键是把非不等式问题转化为不等式问

7、题,在化归与转化中,要留意等价性 .2. 对于应用题要通过阅读,懂得所给定的材料,查找量与量之间的内在联系,抽象出事物系统的主要特点与关系,建立起能反映其本质属性的数学结构,从而建立起数学模型,然后利用不等式的学问求出题中的问题 .消灭难点训练一、挑选题1. 定义在 R 上的奇函数 fx为增函数,偶函数gx在区间 0, +的图象与fx的图象重合,设 a b 0,给出以下不等式,其中正确不等式的序号是 f b f ag a g b fb f aga g b f a f bg b g a fa f b gb g aA. B. C. D. 二、填空题2. 以下四个命题中： a+b2sin2x+ 4设

8、 x, y都是正数,如=1,就 x+y的最小值是 12如 |x2| , |y 2| ,就 |x y| 2,其中全部真命题的序号是 .3. 某公司租的建仓库,每月土的占用费y1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比,假如在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为 2万元和 8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 公里处 .三、解答题4. 已知二次函数fx= ax2+bx+1a, b R, a 0 ,设方程 f x=x的两实数根为 x1, x2. 1 假如x1 2 x2 4,设函数 fx的对称轴为 x=x0,求证 x0 1. 2 假如|x1

9、| 2, |x2 x1|=2,求 b的取值范畴 .5. 某种商品原先定价每件 p元,每月将卖出 n件,假如定价上涨 x成这里 x成即, 0x10 .每月卖出数量将削减 y成,而售货金额变成原先的z倍 .1 设y=ax,其中 a是满意a 1的常数,用 a来表示当售货金额最大时的x的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如y=x,求使售货金额比原先有所增加的x的取值范畴 .6. 设函数 fx定义在 R 上,对任意 m、n恒有 f m+n=fmfn,且当 x 0时, 0 fx 1.1 求证： f0=1 ,且当 x 0时, f x 1. 2 求证： fx在R 上单调递减.3 设集合

10、A=x,y|fx2fy2 f1 ,集合 B= x, y|faxg+2=1 ,a R ,如 AB=,求 a的取值范畴 .7. 已知函数 fx=b 0的值域是 1, 3, 1 求b、c的值.2 判定函数 F x=lg f x,当 x 1,1时的单调性,并证明你的结论. 3 如t R,求证： lgF|t| |t+| lg.科普美文数学中的不等式关系数学是争论空间形式和数量关系的科学,恩格斯在自然辩证法一书中指出,数学是辩证的帮助工具和表现形式,数学中包蕴着极为丰富的辩证唯物主义因素,等与不等关系正是该点的生动表达,它们是对立统一的,又是相互联系、相互影响的.等与不等关系是中学数学中最基本的关系 .等

11、的关系表达了数学的对称美和统一美,不等关系就犹如仙苑奇葩出现出了数学的奇特美.不等关系起源于实数的性质,产生了实数的大小关系,简洁不等式,不等式的基本性质,假如把简洁不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式,不等式进展为一个人丁 兴盛的大家族,由简到繁,形式各异.假如给予不等式中变量以特定的值、特定的关系,又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗？明显不是,由此又产生明白不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满意的范畴或条件,不同类型的不等式又有不同的解法.不等式证明就是推理性问题或探干脆问题.推理性即在特定条件下,阐述论证过程,揭示内在规律,基

12、本方法有比较法、综合法、分析法.探究性问题大多是与自然数n有关的证明问题,常采纳观看 归纳 猜想 证明的思路,以数学归纳法完成证明.另外,不等式的证明方法仍有换元法、放缩法、反证法、构造法等 .数学科学是一个不行分割的有机整体,它的生命力正是在于各个部分之间的联系.不等式的学问渗透在数学中的各个分支,相互之间有着千丝万缕的联系,因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题,诸如集合问题,方程组的解的争论,函数单调性的争论,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解读几何中的最大值、最小值问题无 一不与不等式有着亲密的联系.很多问题最终归结为不等式的求解或证明.不等式仍可以解决现实世界

13、中反映出来的数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类争论、数形结合、函数与方程.总之,不等式的应用表达了肯定的综合性,敏捷多样性.等与不等形影不离,存在着概念上的亲缘关系,是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和规律的严谨性,而不等关系是深刻而生动的表达 . 不等虽没有等的温顺,没有等的和谐,没有等的恰到好处,没有等的天衣无缝,但它如山之挺立,峰之隽秀,海之宽敞,天之高远,怎能不让人心旷神怡,魂牵梦绕了？参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_难点磁场解： 1令Fx= fx x,由于 x1, x2是方程 fx x=0的根,所以

14、Fx=ax x1x x2.当x 0,x1 时,由于 x 1x2,得 xx1 xx2 0, 又a 0,得Fx=ax x1x x2 0,即 x fxx1 fx=x1 x+Fx =x1 x+ax1 xx x2= x1 x 1+a xx2 0 x x1 x2, x1 x 0, 1+ax x2=1+ ax ax2 1 ax2 0 x1fx 0,由此得 fx x1.2 依题意： x0=,由于 x1、x2是方程 fx x=0的两根,即 x1, x2是方程 ax2+b 1x+c=0的根 . x1+x2= x0=,由于 ax21, x0消灭难点训练一、 1.解读：由题意 fa= g a0, fb= gb 0,且

15、 fa fb,g a gb f b f a=fb+fa=ga+gb而ga g b= g a gb ga+gb gagb=2 gb 0, fbf aga g b同理可证： fa f bgb g a答案： A二、 2.解读：不满意均值不等式的使用条件“正、定、等 ”.式： |x y|=|x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 2| x|答案：2 y 2| x| 2|+|y 2| +=. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 解读：由已知 y1=. y2 =0.8xx为仓库与车站距离费用之和 y=y1+y2=0.8 x+2=8当且仅当 0.8x=即 x=5时“=

16、”成立答案： 5公里处三、 4.证明： 1 设gx=fx x=ax2+b 1x+1,且 x 0. x12 x2 4, x1 2x2 2 0,即x1x2 2x1+x2 4,2 解：由方程 g x= ax2+b 1x+1=0 可知 x1x2= 0,所以 x1,x2同号 1如0 x1 2,就 x2 x1=2, x2=x1+2 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ g2 0,即 4a+2b1 0 又x2 x12= 2a+1= a 0 代入式得,2 32b解得 b2如 2 x1 0,就 x2= 2+x1 2 g 2 0,即 4a 2b+3 0 又2a+1=,代入式得2 2b 1解得 b.

17、综上,当 0 x1 2时, b,当 2 x1 0时, b.5.解： 1 由题意知某商品定价上涨x成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是： p1+元、 n1元、 npz元,因而,在 y=ax的条件下, z= a x 2+100+ .由于a1,就 0 10.要使售货金额最大,即使z值最大,此时 x=.2 由z=10+ x10 x 1,解得 0x 5.6.1 证明：令 m0, n=0得： f m=f mf0. fm0, f0=1取m=m, n= m,m 0,得 f0= fmfm f m=, m 0, m 0, 0 f m 1, fm 12 证明：任取 x1, x2 R ,就fx1 fx

18、2 =fx1 f x2 x1+ x1 =fx1 fx2x 1f x1=fx1 1 fx2 x1, f x1 0, 1 fx2 x10, fx1fx2,函数 fx在R上为单调减函数 .3 由,由题意此不等式组无解,数形结合得3：1,解得 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a,7.1 解：设 y=,就 y 2 x2 bx+yc=0 x R,的判别式 0,即 b2 4y 2 y c0,即4y2 42+ cy+8c+b2 0由条件知,不等式的解集是1, 3 1, 3是方程 4y2 42+ cy+8c+b2=0的两根 c=2, b= 2, b=2舍）2 任取x1, x2 1, 1,且 x2 x1,就 x2 x1 0,且 x2 x11 x1x2 0, fx2 fx1= 0, f x2 fx1, lg fx2 lgf x1,即 Fx2Fx1 Fx为增函数 .即u ,依据 Fx的单调性知FF uF, lgF|t| |t +| lg对任意实数 t 成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载