2022年高考经典椭圆与双曲线的经典性质归纳 .docx

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1、精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆与双曲线的性质 -（必背的经典结论）11.AB 是椭圆a 2b 21的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为 AB 的中点,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆kOMkABb 22 ,即aK ABb2 x0a2 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 点 P 处的切线 PT 平分焦点 PF1F2 在点 P 处的 外角.2. PT 平分焦点 PF1F2 在点 P 处的外角, 就焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹12.如P0 x0, y0 在椭圆0x2y2221 内,就被Po

2、所平分的中点弦的方程是ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xy yx 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .0000.a 2b2a 2b 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 以 PF1 或 P F2 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .13.如P0 x0, y0 在 椭 圆2a21 内 , 就 过 Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 如P0 x0,y0 x2在 椭 圆2ay2

3、21 上 , 就 过bP0 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是x2y2x0 xy0 y.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xy0 y1a 2b2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.a 2b26. 如 P0 x0 , y0 在椭圆x2y2221 外 ,就过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、ab双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P ,就切点弦 P P的直线方程是x0xy0 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21 2x2y2a2b22. PT 平

4、分 PF1F2 在点 P 处的内角, 就焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.椭圆221aba b 0的左右焦点分别为F1, F 2 ,点 P 为椭圆上任意一Sb tan23. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为F1PF22 .4. 以 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支.外切：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x28. 椭圆2ay221 （ a b 0）的焦

5、半径公式：bP 在左支）x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| MF1 |aex0 , | MF2 |aex0 .F1c,0,F2 c,0M x0, y0 .5.如P0 x0, y0 在双曲线221 （ a 0,b 0）上,就过abP0 的双曲线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M 、N 两点,就 MF NF.切线方程是x0xy0 y1 .a 2b2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 过椭圆一个

6、焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点,6. 如P0 x0, y0 在双曲线2ab 21 （a 0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程是x0xy0 y1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1P 和 A 2Q 交于点 M , A 2P 和 A 1Q 交于点 N,就 MF NF.a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 双曲线221（ a 0,bo）的左右焦点分别为

7、F1,F 2,点 P 为双曲椭圆ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 上 任 意 一 点Sb2co tF1PF2, 就 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 为.x21. 椭圆 2ay1 （ ab o）的两个顶点为2b 2A1a,0, A2a,0,与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F1PF22x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2 P2 交点的轨迹方程是221 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 双曲线2ab 21 （ a 0,bo）的焦

8、半径公式： F1 c,0,F2 c,0x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00当 M x, y 在右支上时,| MF |exa , | MF|exa .2.过椭圆2ab21a 0, b 0上任一点A x0, y0 任意作两条倾斜角互可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1020当 M x0, y0 在左支上时, | MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a补的直线交椭圆于B,C 两点,就直线BC 有定向且kBCb2 x0a2 y（常数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P、Q 两点, A 为双曲线

9、长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M 、N 两点,就 MF NF.3.如 P 为椭圆0x2y2221（ ab 0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、A 2 为双曲线实点,PF1F2,acPF2 F1,就actanco t.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴上的顶点, A 1P 和 A 2Q 交于点 M , A 2P 和 A 1Q 交于点 N ,就 MF NF.

10、x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y24.设椭圆221 （a b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. AB 是双曲线2ab 21（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦, M x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 AB 的中点,就KOMKABb 2,即 KABa 2b 2x0a2 y.为 椭 圆 上 任 意 一 点 , 在 PF1 F2中 , 记F1PF2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x2y2PF1F2,F1F2 P,就有since .可编辑资料

11、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如 P0 x0, y0 在双曲线221（ a 0,b 0）内,就被 Po 所平分的中absinsina可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x xy yx 2y 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点弦的方程是0000.、F ,左准线为 L,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a 2b 2x2y25.如椭圆2ab21（a b 0）的左、 右焦点分别为F12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 如 P0 x0, y0 在双曲线221（ a 0,b 0）内,就过 Po 的弦中点的a

12、b就当21 e1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22轨迹方程是xyx0 xy0 y.离 d 与 PF的比例中项 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2a2b 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆与双曲线的性质 -（会推导的经典结论）x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. P 为椭圆221（ a b 0）上任一点 ,F1,F2 为二焦点, A 为椭圆内一ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定点,就 2a| AF2| | PA | PF1|2

13、a| AF1 | ,当且仅当A, F2, P 三点共心 率 , 就 有 1PA2ab2cos.2tantan1e2.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线时,等号成立 .S PAB2a 2 b222 cot.a 2 -c 2 cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 2 yy 2ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 椭圆00a 2b21 与直线AxByC0 有公共点的充要x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件是A 2a 2x2B 2b 2y2 Ax 0By 0C 2 .13.已知椭圆2a21 （ a b0）的右准线

14、l 与 x 轴相交于点 E ,过椭b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知椭圆2ab21（ a b0）,O 为坐标原点, P、Q 为椭圆上两动点,圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、 B两点 ,点 C 在右准线l 上,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 OPOQ .（ 1）1111;（ 2）|OP|2+|OQ|2 的最 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a2 b2|OP |2|OQ |2a 2b 2a 2b2BCy轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小值为a2x2,最大值为 a2+b

15、2;（ 3）b2y2S OPQ 的最小值是22 .ab14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 过椭圆221（ a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆于M,N 两点,ab点与相应焦点的连线必与切线垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,就 | PF |e .15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2| MN |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知椭圆

16、221 （ ab 0） ,A、 B、是椭圆上的两点,线段ABab线必与焦半径相互垂直.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的垂直平分线与 x 轴相交于点Px0,0 , 就abab.16.椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2aa常数 e 离心率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 设 P 点是椭圆221 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2ab（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长

17、轴交点分别称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为 其 焦 点 记F1PF2, 就 1| PF1| PF2 |2b 21cos.2内、外点 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S PF1F2b2 tan.17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A 、B 是椭圆221（

18、 a b 0）的长轴两端点, P 是椭圆上的一ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,PAB,PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21. 双曲线2ay2b21 （ a0,b 0）的两个顶点为A1a,0, A2 a,0 ,6.P 为双曲线x2y2121 （a 0,b 0）上任一点 ,F ,F为二焦点, A 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2 时 A 1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑

19、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 a2b 21 .双曲线内肯定点, 就|AF2|2a| PA | PF1 | ,当且仅当 A,F 1,P 三点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2共线且 P 和 A,F1在 y 轴同侧时,等号成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 过双曲线221（ a 0,b o）上任一点abA x0, y0 任意作两条倾x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,就直线BC有定向且b2 x7. 双曲线2ab 21 （ a 0,b 0）与直线AxByC0 有公共点可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品_精品资料_kBC00a2 y（常数） .的充要条件是x2A 2a 2y2B2 b 2C 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y28. 已知双曲线2a21 （ b a 0）, O 为坐标原点, P、Q 为双曲b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 P 为双曲线2a21（ a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的b线上两动点,且 OPOQ .（ 1）1111;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最小值为4a 2b 2;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_任 一 点 ,F1,F2是 焦 点 ,PF1F2,PF2F1, 就|

21、 OP |2| OQ |2a 2b2b 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cacaa 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t a n cot （或tancot） .（ 3） SOPQ 的最小值是.b 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ca22ca22x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 29.过双曲线221 （a 0,b 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设双曲线221 （a 0,b 0）的两个焦点为F1 、F2,P（异于长abab右支于 M,N 两点,

22、弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,就| PF |e.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴端点）为双曲线上任意一点,在PF1F2 中,记F1PF2,x2y2| MN |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinc10.已知双曲线221 （ a 0,b 0） ,A、B 是双曲线上同一支上的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1F2,F1F2P,就有e.sinsina任意两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点Px0 ,0 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x25. 如双曲线2ay 221 （a 0,b 0）的左、右焦点分别

23、为F1、F2,左ba 2b2x0或 x0ax2a 2b 2.ay2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_准线为 L ,就当 1 e 21 时,可在双曲线上求一点P,使得 PF11. 设 P 点是双曲线221 （ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一ab2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1点,F 、F为其焦点记F PF,就 1 | PF| PF |.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .1S PF1F2212b 2 cot.2121cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑

24、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设 A 、B 是双曲线a 2b21 （ a 0,b 0）的长轴两端点,P 是双18.双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e 分别是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双曲线的半焦距离心率,就有1PA2abc 2cos 2cos-a2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2tantan1e2 .3S2 a2b2cot.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2PABb2a 2可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 已知双曲线221（ a 0,b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点 C 在右准线 l上,且 BCy 轴,就直线 AC 经过线段 EF 的中点 .14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交, 就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e 离心率 . 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .17. 双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.可编辑资料 - - - 欢迎下载