2022年高等数学习题 .docx

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1、精品_精品资料_P.124 习题1. 试争论以下函数在指定区间内是否存在一点,使 f 0 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f xxsin 1x00x1,x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 1由于 f 在0,1 连续,在 0,1 可导,且f 0f 1 ,所以由 Rolle 定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理,0,1 ,使得f 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32. 证明： 1

2、方程 x3xc0 这里 c 为常数在区间 0, 1 内不行能有两个不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同的实根.证明设f xx33xc ,由于方程f x3x 230在 0, 1 内没有根, 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 P.120,例 1方程 x33xc0 在区间0, 1内不行能有两个不同的实根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2方程 xnpxq0 n 为正整数当 n 为偶数时至多有两个实根.当n

3、 为奇可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数时至多有三个实根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明设f xxnpxq ,于是f xnxn 1p0 .当 n 为偶数时, n-1 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇数,故方程f xnxn 1p0 至多有一个实根由于幂函数nxn 1p 严格递增,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而方程 xnpxq0 至多有两个实根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n为 奇 数 时 , n-1

4、为 偶 数 , 故 由 上 述 证 明 的 关 于 偶 数 的 结 论 有 ： 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xnx n 1p0 至多有两个实根, 从而方程 xnpxq0 当 n 为奇数时至多有三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个实根.3. 证明： 假设函数 f 和 g 均在区间 I 上可导, 且fxg x , xI ,就在区间 I可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 f 和 g 只相差一常数,即f xg xc c 为某一常数可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明令F xf xg x ,就 F 在区间 I 上可导,且 Fxf xg x0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由推论 1,存在常数 c,使得F xc ,即f xg xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 证明 1假设函数 f 在 a, b 上可导, 且fxm ,就f bf amba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设函数 f 在 a,b 上可导,且| f x |M

6、,就 |f bf a |M ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3对任意实数x1 , x2 ,都有| sin x1sin x2 | x2x1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明由于 f 在 a,b 上可导,所以 f 在 a, b上满意 Lagrange 中值定理的条件, 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是a,b ,使得f bf af ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品_精品资料_1由于f xm,所以f bf af bamba) ,从而有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f bf amba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 | f x |M ,所以 |f bf a | | f | | ba |M ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3不妨设x1x2 ,正弦函数f xsinx在 x1,x2 上连续,在x1,x2 可导,于可编辑资料 - - - 欢迎

8、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是a,b) ,使得| sin x1sin x2 | cos| | x1x2 | x2x1 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 应用拉格朗日中值定理证明以下不等式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ba bln b aba,其中 0aba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明设f xln x ,就 f 在 a, b上连续且可导, 所以 f 在 a,b 上满意 Lagrange可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资

9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中值定理的条件,于是 a, b ,使得ln b aln bln af ba1 ba ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 0ab ,所以 babbaba ,从而 ba abln bba aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212harctan h h 2h ,其中 h0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明设f xarctan x,就 f 在 0,h 上满意 Lag

10、range 中值定理的条件,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0, h,使得arctanharctanharctan0f h0h2 .由于1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0h ,所以h 1h 2hh ,从而12h 21h 2arctan hh .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 确定以下函数的单调区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x3xx 22f x2x 2ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3f

11、x2xx 24f xx 21 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 f x32 x ,令 fx0 ,得 x32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3当 x时, f2 x0 , f 递增.当 x3 时, f2 x0 , f 递减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f 的定义域为 x0 . fx4x1 x4 x2x1 ,令 f x0 ,得 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 时, f2 x0 , f 递减.当x1 时, f 2

12、1x x0 , f 递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 f 的定义域为 0x2 . f x2xx 2,令 fx0 ,得 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0x1 时,f x0 , f 递增.当 1x2 时,f x0 , f 递减.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 f 的定义域为 x0 . f x11x 2x21x 20 ,故 f 在其定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,

13、00, 递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 应用函数的单调性证明以下不等式：x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 tan xx, x0, 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明设f xtan xxx3,就 f 在 x30 连续,且f 00 .由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xsec2 x1x2tan2 xx20 , x0, ,故 f 在 0,3 严格单调递3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3增,又因f 在 x0 连续,于是f xf 00 ,从而ta

14、n xxx, x 30, .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 xsin x 2 xx , x0,22sin xsin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明先证sinx ,为此证明：.设 fx xx,就 f 在 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2连续,且f 0 .由于f xxcos xsin x xtan x cos x0 , x0, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f 在 0, 严格单调递减,于是2f x

15、f 20 ,从而sin x x2 , x0, .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次证明：sin xx .设f xxsinx ,就 f 在 x0 连续,且f 00 .由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1cos x0 , x0, .所以 f 在 0,2 严格单调递增,又因f 在 x0 连2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_续,于是f xf 00 ,从而xsin x , x0, .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223 xxln1xxx, x02221x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2证明先证： xx2ln

16、 1x ,x0 .令f xxxln1 2x ,就 f 在 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续, 且f 00 .由于f x1x11xx0 , x21x0 .所以 f 在 x0 严格可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调递减, 又因 f 在 x0 连续,于是x2f xf 00 ,从而 xxln1 22x2x ,x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次证明：ln1xx, x21x0 .令f xx21xln1x ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 在 x0 连续,且f 00 .由于f x12x21x21x 21xx 21x 2

17、0 ,x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以f 在 x0 严格单调递增,又因f 在 x0 连续,于是f xf 00 ,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln1x2xx, x0 .21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 以Sx 记由 a,f a ,b,f b ,x,f x 三点组成的三角形面积, 试对S x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明由于aSx1b 2xf af bf x11 ,

18、假设1f x 在 a,b 连续 , 在a, b可导 , 就易可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_见 S x 也在 a, b连续 , 在a, b可导 , 且S aSb0 .故由罗尔定理知, 存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a, b , 使得 S 0 . 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1S xb 21f a1f b1f x01 f xb2af bf a , 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f bf af ba) .可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 试问函数f xx 2 , g xx 3 在区间 -1, 1 上能否应用柯西中值定理得到相应的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结论,为什么？解由于 f x2x,g x3x2,故当 x0 时, f00, g00 ,不满意柯可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_西中值定理的条件,所以在区间-1, 1 上不能用柯西中值定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设函数 f 在 a, b 上可导,证明：存在a,b) ,使得可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f bf ab 2a 2 f 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22证明设F xx2 f bf ab2a2 f x ,就F x 在 a,b 上连续并可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导 , 且F aa f bb f aF b, 由 Rolle定 理 , 存 在a, b, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F 2 f

21、bf ab 2a 2 f 0 ,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 f bf ab 2a 2 f 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设函数 f 在点 a 处具有连续的二阶导数.证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf ahf ah2 f afa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h0h 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明由于 f 在点 a 处具有连续的二阶导数,所以f 在点 a 的某邻域阶导数,于是由洛必达法就,分子分母分别对h 求导,有U a 内具有一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

22、limf ahf ah2 f alimf ahf ah可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h01 limf ah 2hfaf ah02hf ah可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 h0h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 limf ahf alimf ahf a 1 faf afa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 h0hh0h2sinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 设0.证明存在, ,使得cot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2coscos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证

23、明设f xsin x,g xcos x ,就f , g 都在 , 连续,在 , 可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_且 f , g都 不 等 于 0 , gg . 由 柯 西 中 值 定 理 , 存 在, 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin cossin coscos sin,即 sincossin coscot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求以下不定式极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex11 limexlim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 sin xx0 cos x可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_2 lim 1x62 sin xcos 3 xlimx62 cosx33sin 3x311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 limln1xxlim 1xlimx11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0cosx1x0sin xx0 sin x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24 limtan xxlimsec2 x1limtan 2 xlimxlim2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xsin xx0 1cos xx0 1cos xx0 1cos xx0 sin x可编辑资料 - -

25、- 欢迎下载精品_精品资料_5 limtan x6limsec2 xlimsecx1lim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxx6secx52xsecx tan x2xtan x2xsin x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xlim11lim e1xlime1lime lim11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xe1x0 xe1x0 e1xex0 2exex0 2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxxx7 limtan x sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x02sec2 x可编辑资料 -

26、- - 欢迎下载精品_精品资料_解limsin x lntan xlimlntan xlimlntan xlimtan xlimx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x01sin xx01xx01x 2x0 tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xlim sin x lntan x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 lim tan xex 0e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 lim1x1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 1可编辑资料

27、- - - 欢迎下载精品_精品资料_解由于lim1ln xlimln x1limx1 ,所以lim1x 1 xlim 1ex 11 xln xe 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1 1xx 1 1xx 11x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 lim 11x 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解由于lim1 ln 1x 2 limln1x2 lim2 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 xx0xx0 1x2可编辑资料

28、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11limln 1x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以lim 1x 2 xex 0 xe01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10limsin xln xlimx ln xlimln x1limxlimx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x0x01xx01x0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2211 lim11limsin 2 xx 222limsin 2 xx24可编辑资料 - -

29、 - 欢迎下载精品_精品资料_x0xsinxx0xsinxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limsin 2 x2x3lim2 cos 2 x22lim4 sin 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x04 xtan xx01xx 2lim12x1 ln2tan xx 024 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 lime0 xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xsec2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1limlntan xlimlntan xln xlimtan xxlim xsinxcos x可编辑资料 - - - 欢迎