九年级数学下册《二次函数的综合问题》分项练习真题【解析版】.docx

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1、【解析版】专题2.10二次函数的综合问题姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分100分,试题共24题,其中选择10道、填空8道、解答6道答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020平顶山模拟)下列关于二次函数yax22ax+1(a1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A只有一个交点,且它位于y轴的右侧B只有一个交点,且它位于y轴的左侧C有两个交点,且它们位于y轴的两侧D有两个交点,且它们位于y轴的右侧【分析】根据题目中的函数解

2、析式和二次函数的性质,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题【解析】二次函数yax22ax+1a(x1)2a+1(a1),该函数图象开口向上,对称轴为直线x1,当y0时,(2a)24a14a24a(2a1)210,即该函数与x轴有两个交点,当x0时,y10,该函数与x轴两个交点,且它们位于y轴的右侧,故选项D正确,选项A、B、C错误;故选:D2(2020旌阳区模拟)已知y关于x的函数表达式是yax24xa,下列结论不正确的是()A若a1,函数的最大值是5B若a1,当x2时,y随x的增大而增大C无论a为何值时,函数图象一定经过点(1,4)D无论a为何值时,函数图象与x轴都有两个交点【

3、分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题【解析】yax24xa,当a1时,yx24x+1(x2)2+5,则当x2时,函数取得最大值,此时y5,故选项A不符合题意;当a1时,该函数图象开口向下,对称轴是直线x2,则当x2时,y随x的增大而增大,故选项B不符合题意;由yax24xaa(x21)4x知,x210时,x1,则y4,即无论a为何值时,函数图象一定经过点(1,4),故选项C不符合题意;当a0,函数为y4x,图象与x轴都只有1个交点,故选项D符合题意;故选:D3(2020成都模拟)已知抛物线yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x2,与

4、x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论:当x0时,y随x增大而增大;抛物线一定过原点;方程ax2+bx+c0(a0)的解为x0或x4;当4x0时,ax2+bx+c0;ab+c0其中结论错误的个数有()个A1B2C3D4【分析】根据函数图象变化趋势进行解答;根据对称轴,求出抛物线与x轴的另一个交点,便可判断;根据抛物线与x轴的交点横坐标进行判断;根据4x0时,抛物线在x轴上方,进行判断;根据当x1时,y的函数值的位置进行判断【解析】由函数图象可知,当2x0时,y随x增大而减小,则此小题结论错误;对称轴为直线x2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),另个交点为(0,0),即抛物

5、线一定过原点,则此小题结论正确;抛物线与x轴交于(4,0)和(0,0),方程ax2+bx+c0(a0)的解为x0或x4,则此小题结论正确;由函数图象可知,当4x0时,抛物线在x轴上方,即ax2+bx+c0,则此小题结论正确;则函数图象可知,当x1时,yab+c0,则此小题结论错误;故选:B4(2020海门市二模)使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度) (0x90)近似满足函数关系yax2+bx+c(a0)如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A

6、37.5B40C52.5D55【分析】根据题意和二次函数的性质,可以确定出对称x的取值范围,从而可以解答本题【解析】由图象可得,该函数的对称轴x且x50,37.5x50,此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40,故选:B5(2020沈河区一模)使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位:m3)与旋钮的旋转角度x(单位:度)(0x90)近似满足函数关系yax2+bx+c(a0)如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为()A18B37C54D58【分析】根据题意和二次函数的性质,可以确

7、定出对称x的取值范围,从而可以解答本题【解析】由图象可得,该函数的对称轴x且x54,36x54,故选:B6(2019秋吴兴区期末)学校组织学生去南京进行研学实践活动,小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图)于是好奇的小王同学进行了实地测量研究当小王用一定的力按住顶部A下压如图位置时,洗手液从喷口B流出,路线近似呈抛物线状,且a洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD小王同学测得:洗手液瓶子的底面直径GH12cm,喷嘴位置点B距台面的距离为16cm,且B、D、H三点共线小王在距离台面15.5cm处接洗手液时,手心Q到直线DH的水平距离为3cm,若小王不去接,则洗手液落在台面的位置距

8、DH的水平距离是()cmA12B12C6D6【分析】根据题意得出各点坐标,利用待定系数法求抛物线解析式进而求解【解析】根据题意:GH所在直线为x轴,GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,喷口B为抛物线顶点,共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴,根据题意,Q(9,15.5),B(6,16),OH6,设抛物线解析式为ya(x6)2+16,将点Q代入解得a,符号题意:洗手液从喷口B流出,路线近似呈抛物线状,且a所以抛物线解析式为:y(x6)2+16x2x+14当y0时,即0x2x+14,解得:x6+12(负值舍去),所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm故选

9、:B7(2020无锡模拟)一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成,如图所示,滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位:m)和滑行时间t1(单位:s)满足二次函数关系,并测得相关数据:滑行时间t1/s01234滑行距离y1/s04.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位:m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位:s)满足:y252t22t22,滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止,一共用了23s,则滑坡AB的长度()米A270B280C375D450【分析】设y1abt1,把(1,4.5)和(2,14)代入函数解析即可求解,y252t2t2,函数在对称轴上取得最大值,即滑雪者停下,求出t

10、值,即可求解【解析】设y1abt1,把(1,4.5)和(2,14)代入函数解析式得,解得:,二次函数解析式为:y12.5t12+2t1;y252t2t2,函数在对称轴上取得最大值,即滑雪者停下,此时,t13,则:滑雪者在AB段用的时间为231310,把t10代入式,解得:则ABy1270(米),故选:A8(2019杜尔伯特县二模)如图,抛物线yax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n)给出下列结论2a+c0;若(),(),(,y3)在抛物线上,则y1y2y3关于x的方程ax2+bx+k0有实数解,则kcn;当n时,ABP为等腰直角三角形;其中正确结论个数有

11、()个A1B2C3D4【分析】利用二次函数的性质一一判断即可【解析】,a0,ab,x1时,y0,ab+c0,2a+cab+c0,故正确,若(),(),(,y3)在抛物线上,由图象法可知,y1y2y3;故正确,抛物线与直线yt有交点时,方程ax2+bx+ct有解,tn,ax2+bx+ct0有实数解要使得ax2+bx+k0有实数解,则kctcn;故错误,设抛物线的对称轴交x轴于H,b24ac4,x,|x1x2|,AB2PH,BHAH,PHBHAH,PAB是直角三角形,PAPB,PAB是等腰直角三角形故正确综上,结论正确的是,故选:C9(2019秋宜兴市期末)已知抛物线yax2+bx+c(a、b、c

12、是常数,a0)经过点A(1,0)、B(3,0),顶点为C,则下列说法正确的个数是()当1x3时,ax2+bx+c0;当ABC是直角三角形,则a;若mxm+3时,二次函数yax2+bx+c的最大值为am2+bm+c,则m3A0B1C2D3【分析】根据a0可得抛物线的开口方向;根据抛物线经过点A(1,0)、B(3,0),可得抛物线的对称轴及其与x轴的交点坐标,据此对逐个结论分析即可【解析】抛物线yax2+bx+c(a、b、c是常数,a0)经过点A(1,0)、B(3,0),该抛物线开口向下,对称轴为x1,抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B,正确;点C为抛物线的顶点,当ABC是直角三角形时,此三角

13、形为等腰直角三角形,对称轴x1与x轴的交点将ABC分成两个全等的等腰直角三角形,其直角边长为2,此时点C坐标为:(1,2)设yax2+bx+ca(x1)2+2,将A(1,0)代入得:04a+2,a,故正确;对称轴为x1,a0,当x1时,二次函数yax2+bx+c的函数值随着x的增大而减小,中m1即可,故错误综上,正确的有故选:C10(2020春崇川区校级期末)二次函数yax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x21012yax2+bx+ctm22n且当x时,与其对应的函数值y0,有下列结论:函数图象的顶点在第四象限内;2和3是关于x的方程ax2+bx+

14、ct的两个根;0m+n,其中,正确结论的是()ABCD【分析】根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点,即可判断;根据二次函数的对称性即可判断;根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式,再根据已知条件求出a的取值范围即可判断【解析】根据图表可知:二次函数yax2+bx+c的图象过点(0,2),(1,2),对称轴为直线x,c2,a0,b0,函数图象的顶点在第四象限内;正确;根据二次函数的对称性可知:(2,t)关于对称轴x的对称点为(3,t),即2和3是关于x的方程ax2+bx+ct的两个根,正确;对称轴为直线x,ba,当x时,与其对应的函数值y0,ab20,即aa20,a对称轴为直线x,二

15、次函数yax2+bx+c的图象过点(1,m)(2,n),mn,当x1时,mab+ca+a22a2,m+n4a4,a4a4,错误故选:B二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2019秋乳山市期末)二次函数yx2+bx的图象如图所示,对称轴为x1若关于x的方程x2+bxt0(t为实数)在1x4范围内有实数解,则t的取值范围是1t8【分析】函数的对称轴为:x1,解得:b2,故抛物线的表达式为:yx22x,顶点为:(1,1),当x4时,y1688,即可求解【解析】函数的对称轴为:x1,解得:b2,故抛物线的表达式为:yx22x,顶点为:(1,1),当x4时,y

16、1688,故1x4范围内有实数解,则t的取值范围是为:1t8故答案为:1t812(2020涡阳县模拟)抛物线yx2+2ax3与x轴交于A,B(1,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,将抛物线沿y轴平移m(m0)个单位,当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时,则m的取值范围是0m3或m4【分析】根据题意,可以先求得原抛物线的解析式,然后根据将抛物线沿y轴平移m(m0)个单位,平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点,可知刚开始平移到平移后的抛物线恰好过原点这个过程中抛物线与线段OA有一个交点,第二种情况就是平移后的抛物线的顶点恰好在x轴上,从而可以求得m的取值范围【解析】抛物线y

17、x2+2ax3与x轴交于A,B(1,0)两点(点A在点B的左侧),1+2a30,得a1,yx2+2x3(x+3)(x1),当y0时,x13,x21,点A的坐标为(3,0),将抛物线沿y轴平移m(m0)个单位,平移后的抛物线解析式为yx2+2x3+m(x+1)24+m,当平移后的抛物线过点(0,0)时,0(0+1)24+m,得m3,当平移后抛物线的顶点在x轴上时,抛物线与OA有一个交点,即0(1+1)24+m,得m4,将抛物线沿y轴平移m(m0)个单位,平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点,0m3或m4,故答案为:0m3或m413(2019秋洪山区期中)已知二次函数yax2+bx+c(a0)

18、的图象与x轴交于不同的两点A、B,C为二次函数图象的顶点若ABC是边长为4的等边三角形,则a【分析】设点A、B的横坐标分别为m、n,利用根与系数的关系得:m+n,mn,根据AB4|mn|,列式变形后得:b24ac16a2,根据ABC是边长为4的等边三角形,计算其高为2,即二次函数顶点的纵坐标为2,根据公式列式为2,可得结论【解析】设点A、B的横坐标分别为m、n,则m+n,mn,AB4|mn|,(mn)216,m22mn+n2(m+n)24mn()2416,b24ac16a2,ABC是边长为4的等边三角形,点C到AB的距离为2,a0,点C的纵坐标为2,2,4acb28a,16a28a,a,故答案

19、为:14(2020荆州)我们约定:(a,b,c)为函数yax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”若关联数为(m,m2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为(1,0)、(2,0)和(0,2)【分析】根据题意令y0,将关联数(m,m2,2)代入函数yax2+bx+c,则有mx2+(m2)x+20,利用求根公式可得m,将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标;令x0,可得yc2,即得这个函数图象与y轴上整交点的坐标(0,2)【解析】根据题意,令y0,将关联数(m,m2,2)代入函数yax2+bx+c,则有mx2

20、+(m2)x+20,(m2)242m(m2)20,mx2+(m2)x+20有两个根,且m2,由求根公式可得x,x,x11,x2,当m1时符合题意;此时x22;所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0);令x0,可得yc2,即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)综上所述,这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0)和(0,2);故答案为:(2,0),(1,0)和(0,2)15(2020浙江自主招生)已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0)若二次函数yx2+(a3)x+3的图象与线段AB只有一个交点,则a的取值范围是1a或a32【分析】根据题意,当二次函数顶点在x轴下方或

21、当二次函数的顶点在x轴上时,分情况讨论问题借助于根的判别式即可解答【解析】依题意,应分为两种情况讨论,当二次函数顶点在x轴下方,若yx10且yx20,即,解得此不等式组无解;若yx20且yx10,即,解得1a;当二次函数的顶点在x轴上时,0,即(a3)2120,解得a32,而对称轴为x,可知12,故a32故答案为:1a或a3216(2019秋高邮市期末)如图,若抛物线yax2+h与直线ykx+b交于A(3,m),B(2,n)两点,则不等式ax2bkxh的解集是2x3【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解【解析】抛物线yax2+h与直线ykx+b交于A(3,m),B(2,n)两点,不

22、等式ax2bkxh的解集为2x3,故答案为:2x317(2019秋东海县期末)如图,二次函数yx(x3)(0x3)的图象,记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1点A1旋转180得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180得C3,交x轴于点A3;若P(2020,m)在这个图象连续旋转后的所得图象上,则m2【分析】x(x3)0得A1(3,0),再根据旋转的性质得OA1A1A2A2A3A673A6743,所以抛物线C674的解析式为y(x2019)(x2022),然后计算自变量为2020对应的函数值即可【解析】当y0时,x(x3)0,解得x10,x23,则A1(3,0),将C1点A1旋转180

23、得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180得C3,交x轴于点A3;OA1A1A2A2A3A673A6743,抛物线C674的解析式为y(x2019)(x2022),把P(2020,m)代入得m(20202019)(20202022)2故答案为218(2018秋鼓楼区期中)如图,将球从点O正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式ya(x6)2+h,边界距点O的水平距离为18m,若球发出后不出边界,则h的取值范围是h【分析】根据当球正好过点(18,0)时,抛物线ya(x6)2+h还过点(0,2),抛物线ya(x6)2+h还过点(0,2)时分别得

24、出h的取值范围,或根据不等式即可得出答案【解析】当球正好过点(18,0)时,抛物线ya(x6)2+h还过点(0,2),代入解析式得:,解得:,此时二次函数解析式为:y(x6)2,此时球若不出边界h,故答案为:h三、解答题(本大题共6小题,共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2020宁波模拟)如图,抛物线y1x2x+c与直线y2x+b交于A,B(1,0)两点(1)分别求c,b的值(2)求y1y2的最大值(3)求点A的坐标,并根据图象判断,当x取何值时,y1y2?【分析】(1)根据抛物线y1x2x+c与直线y2x+b交于A,B(1,0)两点,可以求得b、c的值;(2)根据(1)

25、中b、c的值,可以写出y1和y2的解析式,然后作差,根据二次函数的性质,即可得到y1y2的最大值;(3)将y1和y2的解析式联立方程组,求出x、y的值,即可得到点A的坐标,然后根据图象,可以写出当x取何值时,y1y2【解析】(1)抛物线y1x2x+c与直线y2x+b交于A,B(1,0)两点,011+c,01+b,解得,b,c2;(2)b,c2,抛物线y1x2x+2,直线y2x,y1y2(x2x+2)(x)x2x(x)2,即当x时,y1y2取得最大值,即y1y2的最大值是;(3),解得,或,点A的坐标为(,),由图象可得,当x1时,y1y220(2020海珠区一模)已知二次函数l1:yx2+6x

26、+5k和l2:ykx2+6kx+5k,其中k0且k1(1)分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标;(2)若两条抛物线l1和l2相交于点E,F,当k的值发生变化时,判断线段EF的长度是否发生变化,并说明理由;(3)在(2)中,若二次函数l1的顶点为M,二次函数l2的顶点为N;当k为何值时,点M与点N关于直线EF对称?是否存在实数k,使得MN2EF?若存在,求出实数k的值,若不存在,请说明理由【分析】(1)二次函数l1的对称轴为x3,令x0,则y5k,故该抛物线和y轴的交点坐标为(0,5k);同理可得l2的对称轴为x3,与y轴的交点坐标(0,5k);(2)可令y1y2,求出点

27、E、F的横坐标,从而得到点E、F的坐标,进行得到EF的长,就可解决问题;(3)易得点M、N的坐标及直线EF的关系式,然后根据条件建立关于k的方程,就可解决问题【解析】(1)二次函数l1的对称轴为x3,令x0,则y5k,故该抛物线和y轴的交点坐标为(0,5k);同理可得:l2的对称轴为x3,与y轴的交点坐标(0,5k);(2)线段EF的长度不发生变化,理由:当y1y2时,x2+6x+5kkx2+6kx+5k,整理得:(k1)(x2+6x)0k1,x2+6x0,解得:x10,x26不妨设点E在点F的左边,则点E的坐标为(6,5k),点F的坐标为(0,5k),EF|0(6)|6,线段EF的长度不发生

28、变化;(3)由y1x2+6x+5k(x+3)2+5k9得M(3,5k9),由y2kx2+6kx+5kk(x+3)24k得N(3,4k)直线EF的关系式为y5k,且点M与N关于直线EF对称,4k5k5k(5k9),解得:k1,当k为1时,点M与N关于直线EF对称;MN|(5k9)(4k)|9k9|,MN2EF12,|9k9|12,解得k1,k2,实数k为或21(2019曲靖一模)如图,对称轴为x1的抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(3,0)与y轴交于点B,顶点为C(1)求抛物线的解析式;(2)求ABC的面积;(3)若点P在x轴上,将线段BP绕着点P逆时针旋转90得到PD,点D是否会落在抛物线

29、上?如果会,求出点P的坐标;若果不会,说明理由【分析】(1)抛物线对称轴为x1,点A(3,0),则抛物线与x轴另外一个交点为(1,0),即可求解;(2)利用SABCCHOA即可求解;(3)会,理由:证明DNPPOB(AAS),则PNOB3,DNOPm,即点D的坐标(m+3,m),即可求解【解析】(1)抛物线对称轴为x1,点A(3,0),则抛物线与x轴另外一个交点为(1,0),则抛物线的表达式为:y(x+1)(x3)x22x3,令x0,则y3,即点B(0,3),点C的坐标为(1,4);(2)设对称轴交直线AB与点H,把点B、A坐标代入一次函数表达式:ykx3得:03k3,解得:k1,则直线BA的

30、表达式为:yx3,则点H(1,2),SABCCHOA233;(3)会,理由:如图所示,过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M,设点P坐标为(m,0),DPN+OPB90,OPB+OBP90,OBPDPN,DNPBOP90,PBPD,DNPPOB(AAS),PNOB3,DNOPm,即点D的坐标(m+3,m),将点D坐标代入二次函数表达式解得:m5或0,即点P坐标为(5,0)或(0,0)22(2019苍南县二模)如图,抛物线yax2+6x+c的顶点为C(3,4),交x轴于点A,B(点B在点A的右侧),点P在第一象限,且在抛物线AC部分上,PDPC交y轴于点D(1)求该抛物线的表达式(2)若PD2PC

31、,求OD的长【分析】(1)抛物线的顶点为C(3,4),则抛物线的表达式为:ya(x3)2+4ax26ax+9a+4,即可求解;(2)证明DHPPFC,即可求解【解析】(1)抛物线的顶点为C(3,4),设抛物线的表达式为:ya(x3)2+4ax26ax+9a+4,故6a6,解得:a1,故抛物线的表达式为:yx2+6x5;(2)作PHOD,交OD于点H,CFPH,交PH于点F,设P(a,a2+6a5),DPH+CPF90,CPF+PCF90,PCFDPF,DHPPFC,PD2PC,DHP、PFC相似比为:2:1故,化简,得2a213a+180,解得a2或(舍去),此时DH2PF2(3a)2,OHa

32、2+6a53,ODOH+HD3+2523(2020秋椒江区校级月考)如图,已知抛物线yax2+bx+3(a0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点,则PBC的面积最大值为;若点T为对称轴直线x2上一点,则TCTB的最大值为(3)抛物线上是否存在点Q,使得ACQ45?若存在,请求出Q的坐标,若不存在,请说明理由【分析】(1)设抛物线的表达式为ya(xx1)(xx2)a(x1)(x3)a(x24x+3)ax2+bx+3,即可求解;(2)利用PBC的面积SPHC+SPHB即可求解;点B关于函数对称轴的对称点为点A,连接

33、CA交函数对称轴于点T,则点T为所求点,进而求解;(3)证明OCABCQ,RtCNH中利用解直角三角形的方法求出点H的坐标,进而求解【解析】(1)设抛物线的表达式为ya(xx1)(xx2)a(x1)(x3)a(x24x+3)ax2+bx+3,解得a1,故抛物线的表达式为yx24x+3;(2)如图1,过点P作PHy轴交BC于点H,由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为yx+3,设点P(x,x24x+3),则点H(x,x+3),PBC的面积SPHC+SPHBPHOB3(x+3x2+4x3)x2x,故PBC的面积有最大值,当x时,其最大值为,故答案为;点B关于函数对称轴的对称点为点A,连接CA交函数

34、对称轴于点T,则点T为所求点,则TCTBTCTAAC为最大,故TCTB的最大值为AC,故答案为;(3)如图3,连接AC,由点B、C的坐标知,OBOC,故OCB45CBO,OCBOCA+ACB45,而ACQ45ACB+BCQ,OCABCQ,在RtAOC中,tanOCAtanBCQ,设直线CQ交x轴于点H,过点H作HNBC于点N,在RtBHN中,HBNCBO45,故设BNHNx,则HBx,在RtCNH中,tanNCH,解得x,故BHx3,则点H(6,0),由点H、C的坐标得,直线CH的表达式为yx+3,联立并解得(不合题意的值已舍去),故点Q的坐标为(,)24(2020春江阴市期中)如图,二次函数

35、yax2ax+c图象的顶点为C,一次函数yx+3的图象与这个二次函数的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧),与它的对称轴交于点D(1)求点D的坐标;(2)若点C与点D关于x轴对称,且BCD的面积等于4,求此二次函数的关系式;若CDDB,且BCD的面积等于4,求a的值【分析】(1)二次函数的对称轴为直线x1,则把x1代入yx+3,得y2,即可求解;(2)设点B横坐标为x,则,解得x3,得到B点坐标为(3,0),进而求解;分a0、a0两种情况,利用二次函数的性质分别求解即可【解析】(1)二次函数的对称轴为直线x1,把x1代入yx+3,得y2,点D的坐标为(1,2);(2)点C与点D关于x轴对称,点C的坐标为(1,2),CD4,设点B横坐标为x,则,解得x3,B点在函数yx+3的图象上,B点坐标为(3,0),二次函数的顶点为C(1,2),它的函数关系式可设为,把B点坐标代入,得a1,此二次函数的关系式为;设B(m,m+3)(m1),由yx+3可知yx+3图象与DC相交成45,过点B作BECD于E,如下图所示,由图可得BEm1,DBDCBE,由SBCD4得(m1)24,m13,m21(舍去),DC4,B(3,0),当a0时,则点C在点D下方,则点C的坐标为(1,2),将B点代入得a,当a0时,则点C在点D上方,则点C的坐标为(1,6),将B点代入得a,综上所述,a的值为或26