常见导数公式(共7页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上常见导数公式： C=0(C为常数函数)； (xn)= nx(n-1) (nQ*)； (sinx) = cosx； (cosx) = - sinx； (tanx)=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2 -(cotx)=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2 (secx)=tanxsecx (cscx)=-cotxcscx (sinhx)=hcoshx (coshx)=-hsinhx (tanhx)=1/(coshx)2=(sechx)2 (coth)=-1/(sinhx)2=-(cschx)2 (sechx)=-tanhxsechx (

2、cschx)=-cothxcschx (ex) = ex； (ax) = axlna （ln为自然对数） (Inx) = 1/x（ln为自然对数） (logax) =(xlna)(-1),(a0且a不等于1) (x1/2)=2(x1/2)(-1) (1/x)=-x(-2)另外就是复合函数的求导： (uv)=uv (uv)=uv+uv (u/v)=(uv-uv)/ v2 后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解， (arcsinx)=1/(1-x2)1/2 (arccosx)=-1/(1-x2)1/2 (arctanx)=1/(1+x2) (arccot

3、x)=-1/(1+x2) (arcsecx)=1/(|x|(x2-1)1/2) (arccscx)=-1/(|x|(x2-1)1/2) (arsinhx)=1/(x2+1)1/2 (arcoshx)=1/(x2-1)1/2 (artanhx)=1/(x2-1) (|x|1) (arsechx)=1/(x(1-x2)1/2) (arcschx)=1/(x(1+x2)1/2)1、x0，sin(x)x 1 2、x0，（1 + x）（1x）e x ，（1 + 1x）（1/x） 1 （其中e2. 是一个）函数极限的运算法则设lim f(x) ，lim g(x)存在，且令lim f(x) =A, lim

4、g(x)=B，则有以下，线性运算加减： lim ( f(x) g(x) )= A B 数乘： lim( c* f(x)）= c * A（其中c是一个常数）非线性运算乘除： lim( f(x) * g(x)= A * B lim( f(x) / g(x) = A / B ( 其中B0 ) 幂： lim( f(x) ) n = A n 导数公式及证明这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）:1.y=c(c为常数) y=0 2幂函数.y=xn, y=nx(n-1)(nQ*) 熟记1/X的导数3.(1)y=ax ,y=axlna ；(2)熟记y=ex y=ex唯一一个

5、导函数为本身的函数4.(1)y=logaX, y=1/xlna (a0且a不等于1,x0) ；熟记y=lnx ,y=1/x 5.y=(sinx y)=cosx 6.y=（cosx y）=-sinx 7.y=(tanx y)=1/(cosx)2 8.y=（cotx y）=-1/(sinx)2 9.y=（arcsinx y）=1/1-x2 10.y=（arccos y）=-1/1-x2 11.y=（arctanx y）=1/(1+x2) 12.y=（arccotx y）=-1/(1+x2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中g(x）看

6、作整个变量，而g(x)中把x看作变量 2.y=u/v,y=(uv-uv)/v2 3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y=1/x 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x这两个结果后能用复合函数的给予证明。 3.y=ax, y=a(x

7、+x)-ax=ax(ax-1) y/x=ax(ax-1)/x 如果直接令x0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数ax-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：x=loga(1+)。 所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/ 显然，当x0时，也是趋向于0的。而lim0(1+)1/=e,所以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。 把这个结果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axlna。 可以知道，当a=e时有y=ex y=ex。 4.y=logax y=loga(x+x)-logax=loga(x+x)

8、/x=loga(1+x/x)x/x y/x=loga(1+x/x)(x/x)/x 因为当x0时，x/x趋向于0而x/x趋向于，所以limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有 limx0y/xlogae/x。 也可以进一步用换底公式limx0y/xlogae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1)可以知道，当a=e时有y=lnx y=1/x。 这时可以进行y=xn y=nx(n-1)的推导了。因为y=xn,所以y=eln(xn)=enlnx, 所以y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。 5.y=sinx y=sin(x+x)-s

9、inx=2cos(x+x/2)sin(x/2) y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2) 所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx 6.类似地，可以导出y=cosx y=-sinx。 7.y=tanx=sinx/cosx y=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x 8.y=cotx=cosx/sinx y=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x 9.y=arcsinx x

10、=siny x=cosy y=1/x=1/cosy=1/1-sin2y=1/1-x2 10.y=arccosx x=cosy x=-siny y=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x2 11.y=arctanx x=tany x=1/cos2y y=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x2 12.y=arccotx x=coty x=-1/sin2y y=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2 另外在对shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过

11、查阅和运用开头的公式与 4.y=u土v,y=u土v 5.y=uv,y=uv+uv 均能较快捷地求得结果。 对于y=xn y=nx(n-1) ，y=ax y=axlna 有更直接的求导方法。y=xn由指数函数定义可知，y0等式两边取自然对数ln y=n*ln x等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数y * (1/y)=n*(1/x)y=n*y/x=n* xn / x=n * x (n-1)幂函数同理可证导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比值会

12、很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在.x/x,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1.建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,但永远到不了那个岸.并且要认识到导数是一个比值.三角函数公式:现列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。三倍角公式sin3=3sin-4sin3() cos3=4cos3()-3cos tan3=tan()*(-3+tan()2)/(

13、-1+3*tan()2)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin万能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos(-)和差化

14、积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 C=0(C为常数函

15、数)； (xn)= nx(n-1) (nQ*)；熟记1/X的导数 (sinx) = cosx； (cosx) = - sinx； (tanx)=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2 -(cotx)=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2 (secx)=tanxsecx (cscx)=-cotxcscx (arcsinx)=1/(1-x2)1/2 (arccosx)=-1/(1-x2)1/2 (arctanx)=1/(1+x2) (arccotx)=-1/(1+x2) (arcsecx)=1/(|x|(x2-1)1/2) (arccscx)=-1/(|x|(x2

16、-1)1/2) (sinhx)=hcoshx (coshx)=-hsinhx (tanhx)=1/(coshx)2=(sechx)2 (coth)=-1/(sinhx)2=-(cschx)2 (sechx)=-tanhxsechx (cschx)=-cothxcschx (arsinhx)=1/(x2+1)1/2 (arcoshx)=1/(x2-1)1/2 (artanhx)=1/(x2-1) (|x|1) (arsechx)=1/(x(1-x2)1/2) (arcschx)=1/(x(1+x2)1/2) (ex) = ex； (ax) = axlna （ln为自然对数） (Inx) = 1/x（ln为自然对数） (logax) =(xlna)(-1),(a0且a不等于1) (x1/2)=2(x1/2)(-1) (1/x)=-x(-2)专心-专注-专业