直角三角形存在性问题.pdf

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1、 2 直 角 三 角 形 存 在 性 问 题(总 1 7页)-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-2 直角三角形存在性问题【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得ABC是直角三角形，求点C坐标 yxOAB【几何法】两线一圆得坐标（1）若A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（2）若B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；（3）若C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C（直径所对的圆周角为直角）C4C3C2C1yxOAB 重点还是如何求得点坐标，1

2、2CC、求法相同，以2C为例：【构造三垂直】3 故C2坐标为（132，0）代入得：BN=32AMBN=MBNC2由A、B坐标得AM=2，BM=4，NC2=3易证 AMBBNC2MNBAOxyC2 34CC、求法相同，以3C为例：故a=1或3设MC3=a，C3N=b易证 AMC3C3NB，由A、B坐标得AM=1，BN=3，AMC3N=MC3NB代入得：1b=a3，即ab=3，又a+b=4，故C3坐标为（2,0），C4坐标为（4,0）MNBAOxyC3 构造三垂直步骤：第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似 【代数法】表示线段构勾股 还剩下1

3、C待求，不妨来求下1C：4 BAOxyC1（1）表示点：设1C坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；（2）表示线段：2 5AB，22111ACm，22153BCm；（3）分类讨论：当1BAC为直角时，22211ABACBC；（4）代入得方程：2222201153mm，解得：32m 5 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线斜率之积为-1 考虑到直线1AC与AB互相垂直，11ACABkk，可得：12ACk，又直线1AC过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3，所以与x轴交点坐标为3,02，即1C坐标为3,02 确实很简便，但问题是这个公式出现在高

4、中的教材上 【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数 代数法：（1）表示点A、B、C坐标；（2）表示线段AB、AC、BC；（3）分类讨论AB+AC=BC、AB+BC=AC、AC+BC=AB；（4）代入列方程，求解 6 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等 【三垂直构造等腰直角三角形】【2019 兰州中考（删减）】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB=90，将斜边AB绕点A顺时针旋转90得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABC

5、DAE，进而得到AC=DE，BC=AE 我们把这个数学模型成为“K型”推理过程如下：ABCDE321AC=DE，BC=AEABCDAE（AAS）BCA=AED=90AB=AD1=23+1=902+3=90ACB=90，DEACACB=90BAD=90斜边AB绕点A顺时针旋转90，得到AD【模型迁移】二次函数22yaxbx的图像交x轴于点A（-1,0），B（4,0）两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒（1）求二次函数22yaxbx的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当PB

6、C是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标 7 ABCDOMNxy 8【分析】（1）213222yxx；（2）本题直角顶点P并不确定，以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P点，再过点P作水平线，得三垂直全等 设HP=a，PQ=b，则BQ=a，CH=b，由图可知：42abba，解得：13ab 故D点坐标为（1,3）HQPyxNMODCBA 同理可求此时D点坐标为（3,2）yxNMODCBAHQP 思路 2：等腰直角的一半还是等腰直角 如图，取BC中点M点，以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点根据B点和M点坐标，此处全等的两三角形两直角边分别为 1 和 2，故P

7、点坐标易求 P点横坐标同D点，故可求得D点坐标 9 ABCOxyMPPMyxOCBA【2017 本溪中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与x轴交于A、B两点，点B（3,0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为5(4,)2C，与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A、C重合）（1）求该抛物线的解析式（2）点Q在抛物线的对称轴上运动，当OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标 ABCDOxy【分析】（1）21322yxx；（2）当POQ为直角时，考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为 1，可知过点P向x轴作

8、垂线，长度必为 1，故P的纵坐标为1如下图，不难求出P点坐标 设P点坐标为213,22mmm，可得：213122mm 解得：112m ，212m ，316m ，416m （舍）如下图，对应P点坐标分别为12,1、12,1、16,1 10 PyxODCBAQNMPyxODCBAQNMMNQABCDOxyP 11 当OPQ为直角时，如图构造OMPPNQ，可得：PM=QN 设P点坐标为213,22mmm，则22131302222PMmmmm，QN=1m，213122mmm，若213122mmm，解得：15m，25m （舍）若213122mmm，解得：125m，225m（舍）如下图，对应P点坐标分别为

9、5,15、25,15 PyxODCBAQNMQABCDOxyP 对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键 其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可 12【2019 阜新中考】如图，抛物线22yaxbx交x轴于点(3,0)A 和点(1,0)B，交y轴于点C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点D的坐标为(1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO为等腰直角三角形，且MNO为

10、直角若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由 yxOCBA备用图ABCD OPxy 13【分析】（1）224233yxx；（2）连接AC，将四边形面积拆为APC和ADC面积，考虑ADC面积为定值，故只需APC面积最大即可，铅垂法可解；（3）过点N作NEx轴交x轴于E点，如图 1，过点M向NE作垂线交EN延长线于F点，易证OENNFM，可得：NE=FM 设N点坐标为224,233mmm，则224233NEmm，1FMm，2242133mmm 2242=133mmm，解得：17734m（图 1），27734m（图 4）对应N点坐标分别为773373,44 、773373,44 ；2242

11、=133mmm，解得：31734m（图 2）、41734m（图3）对应N点坐标分别为173373,44 、173373,44 14 EFEFEFEF图4图3图2图1NMNMNMMNABCOxyABCOxyABCOxyyxOCBA 当直角顶点不确定时，问题的一大难点是找出所有情况，而事实上，所有的情况都可以归结为同一个方程：NE=FM故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况 15 一般直角三角形存在性，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似 而题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等 【对称轴上寻找点】（2018安

12、顺中考）如图，已知抛物线2(0)yaxbxc a的对称轴为直线1x ，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中(1,0)A，(0,3)C（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴1x 上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P坐标-1ABCOxy 【分析】（1）直线BC：3yx 抛物线：223yxx；（2）将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点B，故MA+MC=MB+MC，当B、M、C三点共线时，M到A和C的距离

13、之后最小，此时M点坐标为（-1，2）；（3）两圆一线作点 P：16 P4P3P2P1-1ABCOxy 以1P为例，构造PNBBMC，考虑到BM=MC=3，BN=PN=2，故1P点坐标为（-1，-2）MNP1yxOCBA-1 易求2P坐标为（1,4）yxOCBA-1P2 3P、4P求法类似，下求3P：已知PN=1，PM=2，设CN=a，BM=b，由相似得：12ab，即ab=2，由图可知：b-a=3，故可解：13172b，23172b（舍），对应3P坐标为3171,2 17 MNNMP4-1ABCOxyyxOCBA-1P3 类似可求4P坐标为3171,2 18【抛物线上寻找点】（2018怀化中考）

14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线22yaxxc与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 OyxDCBA 19【分析】（1）抛物线：223yxx，直线AC：y=3x+3；（2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了 BABCDMxyO（3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P

15、点，有如下两种情况，PNMMNABCDxyOOyxDCBAP 先求过A点所作垂线得到的点P：设P点坐标为2,23mmm，则PM=m+1，AM=2202323mmmm，易证PMAANC，且AN=3，CN=1，212331mmm，解得：1103m，21m （舍），故第 1 个P点坐标为1013,39；再求过点C所作垂线得到的点P：223232PMmmmm，CN=m，2321mmm，解得：173m，20m（舍），故第 2 个P点坐标为7 20,39 综上所述，P点坐标为1013,39或7 20,39 20【动点还可能在】（2019鄂尔多斯中考）如图，抛物线22(0)yaxbxa与x轴交于(3,0)A

16、，(1,0)B两点，与y轴交于点C，直线yx 与该抛物线交于E，F两点（1）求抛物线的解析式（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PHEF于点H，求PH的最大值（3）以点C为圆心，1 为半径作圆，C上是否存在点M，使得BCM是以CM为直角边的直角三角形若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由 yxOCBAHABCEFOxyP【分析】（1）224233yxx；（2）过点P作x轴的垂线交EF于点Q，所谓PH最大，即PQ最大，易解 QPyxOFECBAH（3）CM为直角边，故点C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点 当BCM为直角时，如图：放大EFEyOxCBM2M1BCxOyABCOxy

17、 21 1M：不难求得CF=1，BF=2，1:1:2EMEC，又11CM，可得：155EM，2 55EC 故1M坐标为2 55,255；同理可求2M坐标为2 55,255 当BMC为直角时，如图：M4M3FyOxCBBCxOyE放大yxOCBA 3M：不难发现CM=1，BC=5，2BM，即MECBFM，且相似比为 1：2，设EC=a，EM=b，则FM=2a，BF=2b，由图可知：2221abba，解得：3545ab 故点3M的坐标为36,55 至于4M坐标，显然1,2 综上所述，M点坐标为2 55,255 或2 55,255 或36,55或1,2 【总结】对于大部分直角三角形存在性问题，构造三垂直全等或相似基本上可解决问题，牢记构造步骤：（1）过直角顶点作水平或竖直线；（2）过另外两端点向其作垂线